4 数列在日常经济生活中的应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦数列在日常经济生活中的应用，涵盖单利、复利、零存整取、定期自动转存及分期付款模型。通过《白毛女》“驴打滚的账”案例导入，联系银行计息方式，搭建从生活问题到等差、等比数列模型的学习支架。 其亮点在于以生活实例（如教育储蓄、房贷还款）引导学生用数学眼光观察经济现象，通过例题推导与跟踪训练培养数学思维，借助公式构建与模型应用强化数学语言表达。采用案例导入、分层训练的教学方法，小结明确易错点，助力学生提升应用能力，为教师提供丰富教学资源。

§4　数列在日常经济生活中的应用 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上． 思考　这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中我们银行又是采用怎样的计息方式呢？ 提示：“驴打滚”问题实际上是利滚利问题，本利越滚越多，所以永远也还不上，与银行中的复利问题相似，银行常见的计息方式有单利和复利． 新知学习 探究 返回导航 P(1＋nr) 新知学习 探究 返回导航 P(1＋r)n 新知学习 探究 返回导航 (对接教材例1)王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知今年“教育储蓄”存款的月利率是0.36%. (1)若每月存500元，则3年后，能一次支取本息多少元？ 【解】　每月存500元，3年后的利息为 500(36×0.36%＋35×0.36%＋…＋2×0.36%＋1×0.36%)＝1 198.8≈1 199 元， 所以3年后的本息和为500×36＋1 199＝19 199(元)． 新知学习 探究 返回导航 (2)欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？(精确到1元) 新知学习 探究 返回导航 “零存整取”是单利计息方式，所有的利息和实际为等差数列求和问题． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 某人从1月起每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计息，那么实际取出多少钱？ 解：实际取出的钱等于：本金＋利息． 到12月最后一天取款时： 第1个月的存款利息：100×12×0.165%， 第2个月的存款利息：100×11×0.165%， …… 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 P(1＋r)n 新知学习 探究 返回导航 (对接教材例2)某家庭打算2033年新买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2025年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2033年年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取出多少元？ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 “零存整取模型”，存期n，每一次存款到期后的利息构成等差数列，到期后每一次存款的本利和也构成等差数列．“定期自动转存模型”，到期后每一次存款的本利和构成等比数列．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] 某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日都在银行中存入2 000元，连续存5年，有以下两种存款的方式： ①如果按5年期零存整取计，即每存入a元，按a(1＋n·6.5%)计算本利(n为年数)； ②如果按每年转存计，即每存入a元，按(1＋5.7%)n·a计算本利(n为年数)． 请问用哪种存款的方式在第6年的7月1日到期的全部本利较高？(结果精确到1元，1.0576≈1.395) 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 三　分期付款模型 分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清． 新知学习 探究 返回导航 (对接教材例3)王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清．银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)． (1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还15 000元，最后一个还贷月应还6 500元，试计算王先生该笔贷款的总利息； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3%，银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为23 000元，试判断王先生该笔贷款能否获批．(不考虑其他因素．参考数据：1.003119≈1.428，1.003120≈1.433，1.003121≈1.437) 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 分期付款中的有关计算方法既是重点，又是难点，突破难点的关键在于： (1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额的增值．(注：最后一次付款没有利息) (2)明确各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和． (3)等额本息还款法是每期所付的金额相同，每期所付金额及产生的利息和成等比数列；等额本金还款法是每期所付金额为每期应还本金与所欠款额的利息，每期所付金额成等差数列．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] 王老师在手机店买了一部手机，价值10 000元．双方协商，按分期付款方式，月利率为1%，每月以复利计息还款，王老师从拿到手机后第二个月开始等额本息还款，分6个月还清，试问每月应还款多少元？(结果精确到1元，1.016≈1.062，1.015≈1.051) 新知学习 探究 返回导航 解：方法一：：设每个月还款a元，未还款时欠款为a0元，以后第n个月还款a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)， 则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a， … a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 1．小蕾2024年1月31日存入银行若干万元，年利率为1.75%，到2025年1月31日取款时，银行按国家规定给付利息469元，则小蕾存入银行的本金介于(　　) A．1万～2万元之间　 B．2万～3万元之间 C．3万～4万元之间 D．4万～5万元之间 解析：设小蕾存入银行的本金为x元，依题意，1.75%x＝469，解得x＝26 800(元)， 所以小蕾存入银行的本金介于2万～3万元之间．故选B. √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 3．银行一年定期的存款的利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期，……，则10年后到期本利共___________元． 解析：由题意知，第一年本利和为a(1＋p)元， 第二年本利和为a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2元， 第三年本利和为a(1＋p)2(1＋p)＝a(1＋p)3元， 以此类推，第十年本利和为a(1＋p)10元． a(1＋p)10 课堂巩固 自测 返回导航 4．(教材P38练习T1改编)程先生买了一套总价为80万元住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清．问程先生每月应还款多少元(精确到0.01元)． (注：如果上个月欠银行贷款a元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额x元，此时贷款余额为a(1＋0.5%)－x元) 课堂巩固 自测 返回导航 解：设程先生在第n个月时还欠银行贷款an万元，每月固定还款x万元，则 an＝an－1(1＋0.5%)－x，a0＝50， 设an＋k＝1.005(an－1＋k)， 则an＝1.005an－1＋0.005k. 所以k＝－200x，{an－200x}是公比为 1.005 的等比数列， 即an－200x＝(a0－200x)·1.005n. 由a360＝0得0－200x＝(50－200x)·1.005360. 利用计算器可以求得x≈0.299 775万元，即每月还款 2 997.75 元． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：单利与复利、零存整取、定期自动转存、分期付款模型． 2．须贯通：分期付款模型及应用． 3．应注意：(1)题意理解错误，没能构造出合适的数列模型； (2)数列模型的首项与项数弄错．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.通过学习三种储蓄模型，体会数列在日常经济生活中的应用，并感受其应用的广泛性．　2.能在实际问题的具体情境中发现等差、等比关系，并能利用等差、等比数列的通项公式与前n项和公式解决相应的问题． eq \a\vs4\al(一　零存整取模型) 1．单利与复利 (1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息． 利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，S代表本金与利息和(简称本利和)，则本利和S＝eq \o(□,\s\up1(1))____________． (2)复利：复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法． 利息按复利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝eq \o(□,\s\up1(2))____________． 2．零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，若每月存入本金为P元，月利率r保 持不变，存期为n个月，则到期整取时本利和为S＝eq \o(□,\s\up1(3))________________． Peq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n＋\f(n（n＋1）r,2))) 【解】　设王先生每月存入x元，则有x(36＋eq \f(36×37,2)×0.36%)＝20 000， 解得x≈521元， 故王先生每月大约存入521元． 第11个月的存款利息：100×2×0.165%， 第12个月的存款利息：100×1×0.165%， 所以利息和S12＝100×12×0.165%＋100×11×0.165%＋…＋100×2×0.165%＋100×1×0.165%＝100×0.165%×(1＋2＋3＋…＋12) ＝100×0.165%×eq \f(12×13,2) ＝12.87. 所以实际取出100×12＋12.87＝1 212.87(元)． eq \a\vs4\al(二　定期自动转存模型) 如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，这种存款方式称为定期自动转存．n年后，本利和为S＝________________． 【解】　设从2026年年初到2033年年初的本利和组成数列{an}，到2033年为止，把2026年年初存款的本利和看作a1，则2033年年初存款的本利和为a8， 则a1＝a(1＋p)，a2＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，…， an＝a(1＋p)n＋a(1＋p)n－1＋…＋a(1＋p)＝eq \f(1,p)a(1＋p)n＋1－eq \f(1,p)a(1＋p)(1≤n≤8)， 所以这个家庭共取出的金额为 a8＝eq \f(1,p)a(1＋p)9－eq \f(1,p)a(1＋p)(元)． 解：选方式①，5年的零存整取本利是 2 000(1＋5×0.065)＋2 000(1＋4×0.065)＋…＋2 000(1＋0.065)＝11 950(元)； 选方式②，5年的转存本利是2 000(1＋0.057)5＋2 000(1＋0.057)4＋…＋2 000(1＋0.057)≈2 000×eq \f(0.338,0.057)≈11 860(元)．因为11 950>11 860， 所以，第①种存款方式到期的全部本利较高． 【解】　由题可知，等额本金还贷方式中，每月的还贷额构成一个等差数列{an}，Sn表示数列{an}的前n项和， 则a1＝15 000，a120＝6 500，故S120＝eq \f(15 000＋6 500,2)×120＝1 290 000. 故王先生该笔贷款的总利息为1 290 000－1 000 000＝290 000(元)． 【解】　设王先生每月还贷额为x元，则有 x＋x(1＋0.003)1＋x(1＋0.003)2＋…＋x(1＋0.003)119＝1 000 000×(1＋0.003)120， 即xeq \f(1－1.003120,1－1.003)＝1 000 000×(1＋0.003)120， 故x＝eq \f(1 000 000×（1＋0.003）120×0.003,1.003120－1)≈9 928. 因为9 928<23 000×eq \f(1,2)＝11 500，故王先生该笔贷款能够获批． 由题意，可知a6＝0，即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0， 所以a＝eq \f(1.016×102,1.016－1)， 因为1.016≈1.062，所以a＝eq \f(1.016×102,1.016－1)≈1 713， 故每月应还款1 713元． 方法二：一方面，将10 000元以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1＝104·(1＋0.01)6＝104×1.016(元)． 另一方面，设每个月还款a元，分6个月还清，到还清时，其本利和为 S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a＝eq \f(a[（1＋0.01）6－1],1.01－1)＝a(1.016－1)×102(元)． 由S1＝S2，得a＝eq \f(1.016×102,1.016－1). 以下解法同方法一，得a≈1 713，故每月应还款 1 713 元． 2．从2025年到2028年期间，甲每年1月1日都到银行存入a元的一年定期储蓄．若年利率q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄．若2029年1月1日，甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是(　　) A．a(1＋q)4元 B．a(1＋q)5元 C.eq \f(a[（1＋q）4－（1＋q）],q)元 D.eq \f(a[（1＋q）5－（1＋q）],q)元 解析：2025年的a元到了2029年本息和为 a(1＋q)4元， 2026年的a元到了2029年本息和为a(1＋q)3元， 2027年的a元到了2029年本息和为a(1＋q)2元， 2028年的a元到了2029年本息和为a(1＋q)元， 所有金额为a(1＋q)＋a(1＋q)2＋a(1＋q)3＋a(1＋q)4＝eq \f(a（1＋q）[1－（1＋q）4],1－（1＋q）)＝eq \f(a[（1＋q）5－（1＋q）],q)(元)．故选D. $