1.2 数列的函数特性-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦数列的概念与通项公式应用，从基础定义辨析（如数列与集合的区别）到通项公式求解（如分段数列、符号控制），搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接函数与数列的知识脉络。 其亮点在于通过分层题目设计（基础达标到素养拓展），结合实际情境（火柴棒图形、会徽图案）培养数学眼光，通过逻辑推理（通项归纳、不等式求解）发展数学思维，用符号表达（分段函数、对数运算）强化数学语言。学生能提升抽象能力与应用意识，教师可利用分层练习落实素养教学。

1．1　课后达标 检测 1．(2024·陕西西安期中)下列说法正确的是(　　) A．数列2，4，6，8可表示为集合{2，4，6，8} B．数列1，2，3，4与数列4，3，2，1是相同的数列 C．数列{n2＋n}的第k项为k2＋k D．数列0，1，2，3，4，…可记为{n} 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 √ 课后达标 检测 解析：对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列{n2＋n}的第k项为k2＋k，故C正确； 对于D，因为0∈N，所以n∈N，这与数列的定义不相符，故D错误．故选C. 3 4 5 6 7 8 9 10 2 12 13 14 15 16 11 1 课后达标 检测 2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋1，则下列是该数列中的项的是(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 3 4 5 6 7 8 1 9 10 12 13 14 15 16 11 2 √ 课后达标 检测 解析：由题意得，a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.故选C. 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 3 √ 课后达标 检测 3 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 4 √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 √ 课后达标 检测 3 4 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 5 课后达标 检测 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 √ √ √ 课后达标 检测 解析：对于A，a1＝1＋(－1)1＋1＝2，a2＝1＋(－1)2＋1＝0，a3＝1＋(－1)3＋1＝2，a4＝1＋(－1)4＋1＝0，故A正确； 3 4 5 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 6 对于C，a3＝1＋(－1)3＋1＋(3－1)×(3－2)＝4，故C错误； 对于D，a1＝1－cos π＝2，a2＝1－cos 2π＝0，a3＝1－cos 3π＝2，a4＝1－cos 4π＝0，故D正确．故选ABD. 课后达标 检测 3 4 5 6 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 7 3－4n 课后达标 检测 8．如图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由7根火柴棒组成，按这种规律排列下去，第51个图中的火柴棒有________根．   解析：第一个图由4根火柴棒组成，第二个图由4＋3＝7根火柴棒组成，第三个图由4＋2×3＝10根火柴棒组成，……，第51个图中的火柴棒有4＋50×3＝154(根)． 3 4 5 6 7 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 8 154 课后达标 检测 9．已知数列{an}的通项公式为an＝19－2n，则使an＞0成立的最大正整数n的值为________． 3 4 5 6 7 8 1 10 2 12 13 14 15 16 11 9 9 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 (3)0.8，0.98，0.998，0.999 8，…. 3 4 5 6 7 8 1 9 2 12 13 14 15 16 11 10 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 √ √ 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 16 11 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 13 14 15 16 11 12 9 课后达标 检测 13．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第8个图有________个点． 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 57 课后达标 检测 解析：根据题意，第1个图中只有1个点，无分支； 第2个图除中间一个点外，有两个分支，每个分支有1个点； 第3个图除中间一个点外，有三个分支，每个分支有2个点； 第4个图除中间一个点外，有四个分支，每个分支有3个点，……，则第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有n－1个点，所以第n个图中有1＋n(n－1)个点， 故第8个图中有1＋8×7＝57个点． 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 14 15 16 11 13 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 (2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0，1)内； 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 15 16 11 14 课后达标 检测 15．(2024·广西桂林期中)将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此数列中第10项为(　　) A．116 B．131 C．146 D．161 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 √ 课后达标 检测 解析：在正整数中，被3除余2的数依次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，…，3n－1，…，被5除余1的数依次为1，6，11，16，21，26，31，36，41，…，5n－4，…，被3除余2且被5除余1的数为11，26，41，…，15n－4，….故第10项为a10＝15×10－4＝146.故选C. 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 16 11 15 课后达标 检测 16．如图1是第七届国际数学教育大会(简称 ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续做下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，求此数列的通项公式． 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 3 4 5 6 7 8 1 9 10 2 12 13 14 15 11 16 课后达标 检测 解析：对于A，令n2＋1＝7，解得n＝±eq \r(6)∉N＋，故A不正确； 对于B，令n2＋1＝8，解得n＝±eq \r(7)∉N＋，故B不正确； 对于C，令n2＋1＝9，解得n＝±2eq \r(2)∉N＋，故C不正确； 对于D，令n2＋1＝10，解得n＝3或n＝－3(舍去)，故D正确．故选D. 3．已知数列的通项公式是an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n＋1，n是奇数，,2n－2，n是偶数，))则a2·a3＝(　　) A．70 B．28 C．20 D．8 4．已知数列{an}的通项公式为an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是(　　) A.eq \f(1,5) B．5 C．6 D.eq \f(log23＋log3132,5) 解析：a1a2·…·a30＝log23×log34×…×log3132＝eq \f(lg 3,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)×…×eq \f(lg 32,lg 31)＝log232＝log225＝5.故选B. 5．(2024·安徽亳州期中)数列－3，eq \f(5,4)，－eq \f(7,9)，eq \f(9,16)，…的第11项是(　　) A．－eq \f(23,121) B.eq \f(23,121) C．－eq \f(21,121) D.eq \f(21,121) 解析：设该数列的第n项为an， 由已知a1＝－3，a2＝eq \f(5,4)，a3＝－eq \f(7,9)，a4＝eq \f(9,16)， 变形可得a1＝(－1)1×eq \f(2×1＋1,12)，a2＝(－1)2×eq \f(2×2＋1,22)，a3＝(－1)3×eq \f(2×3＋1,32)，a4＝(－1)4×eq \f(2×4＋1,42)， 所以数列{an}的一个通项公式可以是an＝(－1)neq \f(2n＋1,n2)， 则a11＝(－1)11×eq \f(2×11＋1,112)＝－eq \f(23,121).故选A. 6．(多选)已知数列{an}的前4项分别为2，0，2，0，则下列各式可作为数列{an}的通项公式的是(　　) A．an＝1＋(－1)n＋1 B．an＝2sin2eq \f(nπ,2) C．an＝1＋(－1)n＋1＋(n－1)(n－2) D．an＝1－cos nπ 对于B，a1＝2sin2eq \f(π,2)＝2，a2＝2sin2eq \f(2π,2)＝0，a3＝2sin2eq \f(3π,2)＝2，a4＝2sin2eq \f(4π,2)＝0，故B正确； 7．若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，n∈N＋，则a2n＝________，eq \f(a2,a3)＝________． 解析：因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，eq \f(a2,a3)＝eq \f(3－22,3－23)＝eq \f(1,5). eq \f(1,5) 解析：因为an＝19－2n，且an＞0，于是有19－2n＞0，解得n＜eq \f(19,2)，又因为n∈N＋，则nmax＝9，所以使an>0成立的最大正整数n的值为9. 10．写出下列数列的一个通项公式． (1)eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，－eq \f(1,16)，…； 解：由已知数列eq \f(1,2)，－eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，－eq \f(1,16)，…可得数列各项的绝对值的分母为2n，又数列所有的奇数项为正，偶数项为负，故可用(－1)n－1来控制各项的符号，故所求数列的一个通项公式为an＝eq \f(（－1）n－1,2n)，n∈N＋. (2)1eq \f(1,2)，2eq \f(2,3)，3eq \f(3,4)，4eq \f(4,5)，…； 解：此数列的整数部分1，2，3，4，…恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为eq \f(n,n＋1)， 故所求数列的一个通项公式为an＝n＋eq \f(n,n＋1)＝eq \f(n2＋2n,n＋1)，n∈N＋. 解：原数列各项可变为1－0.2＝1－eq \f(2,10)，1－0.02＝1－eq \f(2,102)，1－0.002＝1－eq \f(2,103)，1－0.000 2＝1－eq \f(2,104)，归纳可得，an＝1－eq \f(2,10n)，n∈N＋. 11．(多选)已知数列eq \r(2)，2，eq \r(6)，2eq \r(2)，…，则下列说法正确的是(　　) A．此数列的通项公式是eq \r(2n) B．8是它的第32项 C．此数列的通项公式是eq \r(n＋1) D．8是它的第31项 解析：数列eq \r(2)，2，eq \r(6)，2eq \r(2)，…，即eq \r(2)，eq \r(4)，eq \r(6)，eq \r(8)，…， 则此数列的通项公式为eq \r(2n)，故A正确，C错误， 令eq \r(2n)＝8，解得n＝32，故B正确，D错误．故选AB. 12．已知数列{an}的通项公式为an＝n＋eq \f(16,n)，从第________项起各项均大于10. 解析：令n＋eq \f(16,n)＞10，即n2－10n＋16＞0， 解得n＜2或n＞8，又n∈N＋， 所以从第9项起，各项均大于10. 14．已知数列{an}的通项公式是an＝eq \f(9n2－9n＋2,9n2－1)(n∈N＋)． (1)判断eq \f(98,101)是不是数列{an}中的项； 解：因为an＝eq \f(9n2－9n＋2,9n2－1) ＝eq \f(（3n－1）（3n－2）,（3n－1）（3n＋1）)＝eq \f(3n－2,3n＋1)， 所以由an＝eq \f(3n－2,3n＋1)＝eq \f(98,101)，解得n＝eq \f(100,3)， 因为eq \f(100,3)不是正整数， 所以eq \f(98,101)不是数列{an}中的项． 解：因为an＝eq \f(3n－2,3n＋1)＝eq \f(3n＋1－3,3n＋1)＝1－eq \f(3,3n＋1)，n∈N＋，0<eq \f(3,3n＋1)<1，所以0<an<1， 所以数列{an}中的项都在区间(0，1)内． (3)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有没有数列{an}中的项？若有，是第几项；若没有，请说明理由． 解：令eq \f(1,3)<an<eq \f(2,3)，即eq \f(1,3)<eq \f(3n－2,3n＋1)<eq \f(2,3)， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n＋1<9n－6，,9n－6<6n＋2，))解得eq \f(7,6)<n<eq \f(8,3). 又n∈N＋，所以n＝2. 故在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有数列{an}中的项，且只有一项，是第二项，a2＝eq \f(4,7). 解：因为OA1＝1，OA2＝eq \r(2)，OA3＝eq \r(3)，…，OAn＝eq \r(n)，…， 所以a1＝1，a2＝eq \r(2)，a3＝eq \r(3)，…，an＝eq \r(n)，…. 所以此数列的通项公式为an＝eq \r(n). $