2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、通项公式及判定方法，通过冬奥会举办时间、鞋号排列等现实情境数列导入，引导学生观察共同特征，搭建从具体实例到抽象定义的认知支架，衔接后续概念辨析与公式推导。 其亮点在于以现实情境激活数学眼光，通过问题链（如分析数列差的共性、预测冬奥会年份）培养数学思维，结合定义法、通项公式法判定强化数学语言表达。实例贴近生活，如引体向上数列说明公差为0，小结突出方程思想与整体代入，助力学生系统认知，也为教师提供完整教学流程与多样化例题。

§2　等差数列 2．1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念及其通项公式 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022； (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…； (3)为增强学生体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 新知学习 探究 返回导航 思考1　以上数列有什么共同特征？ 提示：对于(1)，我们发现2010－2006＝4，2014－2010＝4，2018－2014＝4，2022－2018＝4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．对于(2)有44－45＝－1，43－44＝－1，….对于(3)，10－10＝0，有同样的取值规律． 思考2　第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京和张家口举行，北京冬奥会创造了历史，为奥运留下了一套全新的标准，将开启全球冰雪运动新篇章．你能预测第26届冬奥会在哪一年举行吗？ 提示：2030年． 新知学习 探究 返回导航 2 前一项 同一个常数 常数 d 新知学习 探究 返回导航 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 解析：由等差数列的定义得，A项，d＝0，故是等差数列； B项，d＝3，故是等差数列；   D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列． 新知学习 探究 返回导航 2．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C．数列{2n＋1}是等差数列 D．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 √ √ 新知学习 探究 返回导航 解析：A中，数列是公差为－2的等差数列； B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列； C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2为常数，是等差数列； D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列． 新知学习 探究 返回导航 3．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{3an}是(　　) A．公差为d的等差数列 B．公差为3d的等差数列 C．非等差数列 D．以上说法均不正确 解析：因为3an＋1－3an＝3(an＋1－an)＝3d(n∈N＋)，所以数列{3an}是公差为3d的等差数列．故选B. √ 新知学习 探究 返回导航 对等差数列的理解 (1)等差数列的定义必须强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (2)差必须是同一个常数． (3)公差可以是正数、负数、零．　 新知学习 探究 返回导航 a1＋(n－1)d 新知学习 探究 返回导航 角度1　等差数列的通项公式的求解 (对接教材例3)(1)在等差数列{an}中，已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9； 新知学习 探究 返回导航 (2)在等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 新知学习 探究 返回导航 在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的方程(组)求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．　 新知学习 探究 返回导航 角度2　等差数列通项公式的应用 (1)在等差数列{an}中，首项a1＝1，从第10项起开始比2大，求公差d的取值范围； 新知学习 探究 返回导航 (2)在等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d≠0, 若7ak＝a1＋a2＋…＋a7，求k的值． 【解】　因为a1＋a2＋…＋a7＝7a1＋21d＝7＋21d， 而ak＝1＋(k－1)d，所以7ak＝7＋7(k－1)d. 所以7＋7(k－1)d＝7＋21d，即k＝4. 新知学习 探究 返回导航 等差数列通项公式应用中的两种思想方法 (1)利用等差数列的通项公式求出首项a1及公差d，从而可求数列的其他项，注意方程思想． (2)利用等差数列的通项公式求出首项a1和公差d的关系式，从而可求指定的几项和，注意整体代入的思想．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] (1)(多选)已知数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N＋)的等差数列，若81是该数列中的项，则公差可能为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 (2)在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35，则数列{an}的通项公式为___________________． an＝－15－n，n∈N＋ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 等差数列的判定方法 (1)定义法 ①条件：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)或an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N＋)． ②结论：{an}是等差数列． ③应用范围：通常用于解答题． 新知学习 探究 返回导航 (2)通项公式法 ①条件：数列{an}的通项公式满足一次函数关系式an＝kn＋b(k，b是常数)． ②结论：{an}是等差数列． ③应用范围：通常用于选择、填空题．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 1．(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 √ √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 解析：根据等差数列的定义可得，A中，满足4－1＝7－4＝10－7＝3(常数)，所以是等差数列； B中，满足lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 16－lg 8＝lg 2(常数)，所以是等差数列； C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列； D中，满足8－10＝6－8＝4－6＝2－4＝－2(常数)，所以是等差数列．故选ABD. 课堂巩固 自测 返回导航 2．(教材P13T2改编)在等差数列{an}中，若a4＝6，a9＝1，则a1＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a4＝a1＋3d＝6，a9＝a1＋8d＝1，解得d＝－1，a1＝9.故选B. √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则a2 025＝________． 解析：由an＋1＝an＋1，得an＋1－an＝1，又a1＝1， 所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以等差数列{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n，故a2 025＝2 025. 2 025 课堂巩固 自测 返回导航 4．已知数列{an}是等差数列(n∈N＋)，若a1＝2，a5＝－14. (1)求{an}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d，a1＝2，a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4d＝－14，解得d＝－4， 所以an＝2＋(－4)×(n－1)＝－4n＋6，n∈N＋. 课堂巩固 自测 返回导航 (2)证明{an＋1＋an}是等差数列． 证明：因为(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝an＋2－an＝[a1＋(n＋1)d]－[a1＋(n－1)d]＝2d＝2×(－4)＝－8，所以{an＋1＋an}是公差为－8的等差数列． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的判定与证明． 2．须贯通：(1)等差数列中an，a1，n，d四个元素可以知三求一，体现方程思想； (2)证明等差数列的方法有定义法，而判断等差数列的方法还有通项公式法． 3．应注意：在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”．在证明中应注意验证“第一项”也满足条件．　 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.理解等差数列的概念．　2.通过学习等差数列的通项公式，掌握等差数列的通项公式及运用．　3.通过对等差数列判定方法的学习，掌握等差数列的判断与证明． eq \a\vs4\al(一　等差数列的概念) 文字 语言 对于一个数列，如果从第eq \o(□,\s\up1(1))________项起，每一项与它的eq \o(□,\s\up1(2))______________的差都是eq \o(□,\s\up1(3))____________________，那么称这样的数列为等差数列，称这个eq \o(□,\s\up1(4))________为等差数列的公差，通常用字母eq \o(□,\s\up1(5))______表示 符号 语言 an＋1－an＝d(n∈N＋)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N＋) 【即时练】 1．(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A．1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16 C.eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，1，eq \f(4,3)，eq \f(5,3) D．－3，－2，－1，1，2 C项，d＝eq \f(1,3)，故是等差数列； eq \a\vs4\al(二　等差数列的通项公式) 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝____________________． 【解】　设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d， 因为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a6＝2a1＋5d＝12，,a4＝a1＋3d＝7，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d＝2，,a1＝1，))所以a9＝a1＋8d＝17. 【解】　设首项为a1，公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d， 由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋（15－1）d＝33，,a1＋（61－1）d＝217，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－23，,d＝4.)) 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，n∈N＋， 令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N＋， 所以153是所给数列的项，是第45项． 【解】　an＝1＋(n－1)d， 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a10>2，,a9≤2，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋9d>2，,1＋8d≤2，)) 解得eq \f(1,9)<d≤eq \f(1,8). 所以公差d的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(1,8))). 解析：因为数列{an}是首项为1，公差为d(d∈N＋)的等差数列，所以an＝1＋(n－1)d. 因为81是该数列中的项，所以81＝1＋(n－1)d，所以n＝eq \f(80,d)＋1. 因为d，n∈N＋，所以d是80的因数，结合选项可知，d不可能是3.故选ACD. 解析：设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)， 由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a5＝a1＋4d＝－20，,a20＝a1＋19d＝－35，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－16，,d＝－1.)) 故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)×(－1)＝－15－n，n∈N＋. eq \a\vs4\al(三　等差数列的判定与证明) 　(对接教材例1)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2).数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？请说明理由． 【解】　数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下： 因为a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)， 所以eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,2an)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,an)，所以eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)，又eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)， 即数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,2)，公差为d＝eq \f(1,2)的等差数列． 【变式探究】 (综合变式)将本例中的条件“a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)”换为“a1＝4，an＝4－eq \f(4,an－1)(n>1)，记bn＝eq \f(1,an－2)”．试证明数列{bn}为等差数列． 证明：bn＋1－bn＝eq \f(1,an＋1－2)－eq \f(1,an－2)＝eq \f(1,（4－\f(4,an)）－2)－eq \f(1,an－2)＝eq \f(an,2（an－2）)－eq \f(1,an－2)＝eq \f(an－2,2（an－2）)＝eq \f(1,2). 又b1＝eq \f(1,a1－2)＝eq \f(1,2)， 所以数列{bn}是首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(1,2)的等差数列． [跟踪训练2] 在数列{an}，{bn}中，已知a1＝eq \f(1,2)，且2an＋1＝an＋(eq \f(1,2))n，bn＝2nan，求证：数列{bn}为等差数列． 证明：方法一：由2an＋1＝an＋(eq \f(1,2))n得an＋1＝eq \f(1,2)an＋(eq \f(1,2))n＋1，所以bn＋1－bn＝2n＋1an＋1－2nan＝2n＋1[eq \f(1,2)an＋(eq \f(1,2))n＋1]－2nan＝1，即bn＋1－bn＝1，又b1＝2a1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．　 方法二：2an＋1＝an＋(eq \f(1,2))n的两边同时乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn＋1－bn＝1，又b1＝2a1＝1，所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列． $