2026年江苏省南京市雨花台区华杰摸底中考一模数学试题

南京2025-2026学年第一学期升学摸底测试 2026.2 一、单选题（本题共6小题，共12分） 1．已知对于实数 ，，定义一种新运算“#”：#，若#，则实数的值为（    ） A．3 B．3或-4 C．8 D．3或8 2．某校初中部20个班开展合唱比赛，以抽签方式决定每个班的出场顺序，签筒中有20根形状、大小完全相同的纸签．上面分别标有1，2，…，20，某班长首先抽签，他在看不到纸签上的数字的情况下，从签筒中随机抽取一根纸签，抽中序号是5的倍数的概率是:（  ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像平移后， 所得函数的图像与轴的两个交点之间的距离为2个单位，则平移方式为（     ） A．向上平移2017个单位 B．向下平移2017个单位 C．向左平移2017个单位 D．向右平移2017个单位 4．一组数据：3，4，4，6，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 5．如图，在中，，，D，E，F分别为，，的中点，若，则的长度为（   ） A． B．3 C． D．4 6．如图，二次函数的图象与轴正半轴交于点，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④若点均在函数图象上，则；⑤对于任意实数，都有．其中结论正确的有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本题共10小题，共20分） 7．一组数据3、0、、5、8的极差是 ． 8．若，则的值为 ． 9．定义运算：．例如：，则方程的根 ． 10．圆锥的侧面积是，底面半径为，则圆锥的母线长是 ． 11．如图，铅球被小明从手中抛出，铅球距地面的高度与抛出时间之间满足函数关系，已知铅球被抛出后经过落地，则铅球距地面的最大高度是 ． 12．m是方程的根，则式子的值为 ． 13．如图，在四边形中，垂直平分，若，，则的度数是 . 14．如图，点A，B分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ．    15．如图，已知，，，且，则点的坐标为 ． 16．如图，在中，，A在边上，，D是的中点， ，则线段的最大值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共88分） 17．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 18．为了提高学生对毒品危害性的认识，我县公安部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了九年级20名学生在3月份测评的成绩．数据如下：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88 整理、描述数据： 成绩/分 88 89 90 91 95 96 97 98 99 学生人数 2 1 a 3 2 1 b 2 1 数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表 平均数 众数 中位数 93 c d 应用数据 (1)由上表填空：________，________，________， ； (2)根据所给数据，如果该校想确定九年级前的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为 分； (3)根据数据分析，该校决定在九年级授予测评成绩前的学生“禁毒小卫士”荣誉称号．请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由． 19．有两把不同的锁和三只不同的钥匙，其中两只钥匙分别能打开这两把锁，第三只钥匙不能打开这两把锁，随机取出一只钥匙开任意一把锁， (1)若取其中的一只钥匙去开第一把锁，则打开的概率是 ． (2)请用列表或画树状图的方法求一次打开锁的概率． 20．已知抛物线G的解析式为，直线的解析式为（）． (1)不论a取何值，抛物线G必过两个定点，请直接写出这两个定点的坐标：_________；_________． (2)若抛物线G的顶点在直线l上，求a与k的数量关系； (3)当时，若抛物线G在时的图象与直线有两个公共点，求a的取值范围． 21．如图，在中，，，交于点，为的中点，为的中点，连接．求证：． 22．在矩形中，点在上，，．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交，于点E，F，连接（如图①）． (1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求的长； (2)探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答： ①的值是否发生变化？请说明理由； ②直接写出从开始到停止，线段的中点经过的路线长． 23．在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度运动（不与点重合），同时点从点出发沿边向点以的速度运动（不与点重合），如果，两点同时出发，运动时间为秒． (1)用表示线段，的长度； (2)几秒种后，的斜边长？ (3)设运动开始后第秒钟后，五边形的面积为写出与的函数关系式，当为何值时，最小？最小值是多少？ 24．为增强学生身体素质，创设体育文化氛围，某校开展田径运动会，小贤同学报了投铅球比赛的项目，如图曲线AB就是他投出的铅球运动路线，呈抛物线形，出手点A离地面的高度为，铅球飞行的水平距离的长度为m．过作于点，以OB为轴，为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． (1)写出，两点的坐标； (2)若抛物线的解析式为 ①求的取值范围； ②若，求小贤同学投出的铅球运动路线（抛物线）的解析式． 南京2025-2026学年第一学期升学摸底测试 2026.2 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C A B D C 1．A 【分析】根据题意，可得：（1）x≥-2时，x2+x+（-2）=10；（2）x＜-2时，（-2）2+x+（-2）=10；据此求出实数x的值为多少即可． 【详解】解：（1）x≥-2时， x2+x+（-2）=10， ∴x2+x-12=0， 解得：x=-4或x=3， ∵x≥-2， ∴x=3； （2）x＜-2时， （-2）2+x+（-2）=10， ∴4+x+（-2）=10， 解得：x=8， ∵8＞-2， ∴x=8不符合题意． 综上，可得：实数x的值为3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“#”的含义． 2．C 【详解】一共有20种情况，序号是5的倍数有5、10、15、20共4种情况， ∴抽中序号是5的倍数的概率是4/20 ="1/5" ． 故选C 3．A 【详解】解：二次函数y=（x﹣2016）（x﹣2018）﹣2017向上平移2017个单位后得到二次函数y=（x﹣2016）（x﹣2018），该函数与x轴交于（2016，0）和（2018，0），两交点之间的距离为2，符合题意．故选A． 4．B 【分析】根据中位数的定义即可求解．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数． 【详解】解：∵一组数据：3，4，4，6的中位数为， 若添加一个数据3，则这组数据变为3，3，4，4，6，其中位数为4， ∴不发生变化的统计量是中位数，其他统计量均会发生变化， 故选：B． 【点睛】本题考查了求中位数，掌握中位数的定义是解题的关键． 5．D 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，含直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线的性质和含直角三角形的性质得出，再根据三角形中位线判定定理得，即可求出的长度． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵在中，点D为斜边中点，， ∴， 即 ∵E，F分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵ ∴ 故选：D 6．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，包括系数符号的判断、函数值的计算与比较、不等式的证明等知识点，解题的关键是根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等信息，确定的符号及它们之间的关系，并灵活运用二次函数的对称性和最值性质，根据抛物线开口向上，判断．根据对称轴，判断，结论①正确，是当时的函数值．利用抛物线的对称性，和，关于对称轴对称，所以时的函数值与时的函数值相等，②错误；将代入中，结合，得，③错误；根据二次函数的性质，点到对称轴的距离越远，函数值越大（因为开口向上），即可判断④正确；将等价转化为恒成立，即可判断⑤正确． 【详解】解：由图象开口向上得，对称轴得， 与轴交点在负半轴得，故，①正确； 当时，，由对称性，关于的对称点为， 此时，故，②错误； 将代入中，结合，得，③错误； 点距对称轴最远，在顶点，距对称轴较近，故，④正确； 由，知等价于恒成立，⑤正确， 故①④⑤正确，共3个， 故选：C． 7．12 【分析】该题考查了极差的定义，根据极差的定义，用最大值减去最小值即可． 【详解】解：这组数据的最大值是8，最小值是，极差为． 故答案为：12． 8．7 【分析】本题考查了比例的性质，用表示出是解题的关键．根据等式用表示出，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：7 9．， 【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，先根据新定义，把方程左边化成一般形式，然后根据公式法解方程即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴,． 故答案为：,． 10． 【分析】根据圆锥侧面积公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥的侧面积，， ∴圆锥的母线长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求圆锥的母线长，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 11． 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意得到时，，然后代入解析式得到，然后求出顶点纵坐标即可． 【详解】由题意得时，， 则， 解得， ∴， ∴铅球距地面的最大高度是． 故答案为：． 12．2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，求代数式的值；运用整体代入法求值是关键．由题意可得，再把所求代数式变形为，再整体代入即可． 【详解】解： m是方程的根， ， ， ， 故答案为：2025． 13． 【分析】根据垂直平分，得出，从而有，所以,再由四边形内角和即可求出的度数. 【详解】∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∵四边形内角和为360° 故答案为86° 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及四边形内角和，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键. 14．9 【分析】如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，可得，的面积是5，设，，则，，，利用面积可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解题即可． 【详解】解：如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴， ∴， ∵的面积为9，四边形的面积为14， ∴的面积是5，    设，， ∴，， ∴，，，， ∴，， 整理得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴，则③， 把③代入②得：， ∴，即④， 把③代入①得：⑤， 把④代入⑤得：； 故答案为：9 【点睛】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利用方程思想解题是关键． 15． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作轴于点D，易证，由证明，得出对应边相等，即可得出结果． 【详解】解：作轴于点D，如图①所示： 则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点B坐标为； 故答案为：． 16．12 【分析】根据直角三角形的性质可得；如图：延长至N，使，连接，证明可得，即，则；作的外接圆，连接，则，进而可得，则；再解直角三角形可得，，再根据三角形的三边关系求得的最大值为12即可解答． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， 如图：延长至N，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∴，， ∵， ∴的最大值为12，即线段的最大值为12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作差辅助线和辅助圆成为解题的关键． 17．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可； （3）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 或， ； （2）解：， 这里， ， ， ； （3）解：， ， ， 或， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 18．(1)5，3，90，91； (2)91； (3)估计评选该荣誉称号的最低分数为97分；理由见解析． 【分析】本题考查众数、中位数，频数分布表，熟练掌握众数、中位数是解题的关键． （1）根据收集的数据以及众数和中位数的意义进行解答即可； （2）由，结合题意即可得出结论； （3）由，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得：90分的有5个；97分的有3个； 出现次数最多的是90分， ∴众数是90分， 把这组数据按照从小到大的顺序排列，第10，第11个数都是91， ∴中位数是：， ∴，，90，91； （2）解：如果该校想确定九年级前的学生为“良好”等次，则“良好”等次的测评成绩至少定为91分； （3）解：估计评选该荣誉称号的最低分数为97分；理由如下： ∵， 97分以上含97分的共有：（人）， ∴估计评选该荣誉称号的最低分数为97分． 19．(1) (2) 【分析】此题考查了树状图法或列表法求概率以及利用枚举法解决问题，解题的关键是根据题意画出树状图或表格，再由概率所求情况数与总情况数之比求解． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】（1）解：（1）若取其中的一只钥匙去开第一把锁，则打开的概率是， 故答案为：； （2）根据题意列表得： 锁1 锁2 钥匙1 （锁1，钥匙1） （锁2，钥匙1） 钥匙2 （锁1，钥匙2） （锁2，钥匙2） 钥匙3 （锁1，钥匙3） （锁2，钥匙3） 所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的情况有2种， 则随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是． 20．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数与方程的关系． （1），则当代数式不含项时求出和的值，此时即过定点； （2）将二次函数解析式化为顶点式，求出抛物线顶点为，再代入，进而求解． （3）当时，直线的解析式为，联立得，解得，再抛物线G在时的图象与直线有两个公共点，得到，解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，此时与无关，解得， ∴不论a取何值，抛物线G必过两个定点，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴抛物线G的顶点为， ∵抛物线G的顶点在直线l上，直线的解析式为， ∴把代入得， 整理得； （3）解：当时，直线的解析式为， 联立得， ∴， ∴， ∵抛物线G在时的图象与直线有两个公共点， ∴， 解得． 21．见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 可得分别为斜边中线，则得到，那么，再由直角三角形锐角互余得到，则等量代换，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 22．(1) (2)①的值为2，不变，理由见解析；② 【分析】（1）勾股定理计算，证明，利用相似三角形的性质计算求解即可； （2）①作于，则，证明推出，再由正切的定义即可得到结论；②当点与点重合时，点恰好与点重合时，的中点恰好是的中点M；当点与点A重合时，点恰好与点B重合时，的中点恰好是的中点N，中点运动的路径长恰好是线段的长度即三角形的中位线长度，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图②所示，∵四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即， ∴； （2）解：①的值为2，不变，理由如： 如图所示，过点F作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证明， ∴， ∴再中，， ∴的值为2，不变；    ②如图1，点为的中点，则，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 如图2，点点与点重合时，点在的中点处； 当点与点重合时，点在线段的中点处， ∴整个运动过程中，线段的中点运动轨迹即为线段， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴为的中位线， ∴，即线段的中点经过的路线长为．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求角的正切值，勾股定理，三角形中位线定理等等，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键． 23．(1)，，； (2)或； (3)时， 有最小值． 【分析】（）根据，即可表示出的长； （）先根据勾股定理列式，再解方程即可； （）先表示的面积，再根据求面积即可，再把所求函数式配方，可得函数的最小值； 本题考查了二次函数的最值，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是用所给字母，表示相关线段的长度，再计算面积，把所得的代数式看作二次函数求最值． 【详解】（1）依题意，得，，； （2）在中， ， ∴， 解得：，， 故或后，的斜边长； （3）， ∴， ， 当时， 有最小值． 24．(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据题意可直接得出结果； （2）①根据对称轴在O、B之间可得：，由此确定的取值范围； ②利用待定系数法设该抛物线的表达式为，然后将点A代入求解即可； 【详解】（1）解：∵出手点A离地面的高度为，铅球飞行的水平距离的长度为m． ∴，． （2）解：①∵， ∴． ②∵， ∴对称轴：直线． 故该抛物线与轴的另一个交点为． ∴设． 将代入上式子得． ∴． ∴． 故小贤同学投出的铅球运动路线的解析式为． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握用待定系数法确定函数解析式及求方程的解是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $