第1章 2.4 圆与圆的位置关系（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦圆与圆的位置关系，涵盖判断方法（几何法、代数法）、方程求解及公共弦、圆系方程等内容。以日食现象抽象为圆引入，类比直线与圆的位置关系，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点是通过几何法优先策略，结合公切线条数判断外切等例题，培养数学思维与数学语言。学生能提升逻辑推理能力，教师可借助分层练习和系统小结，高效开展教学。

2.4 圆与圆的位置关系 第一章　直线与圆 <<< 1.了解圆与圆的位置关系. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题. 学习目标 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 导 语 一、两圆位置关系的判断 二、利用两圆的位置关系求圆的方程 课时对点练 三、相交弦及圆系方程问题 随堂演练 内容索引 两圆位置关系的判断 一 1.代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 　　个 　　个 　　个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2 1 0 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离   d　　r1＋r2 外切   d　　r1＋r2 > ＝ 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 相交   |r1－r2|< d<r1＋r2 内切   d　　|r1－r2| 内含   0≤d　　|r1－r2| ＝ < 在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法.因为利用代数法判断两圆位置关系时，当方程组无解或一解时，无法判断两圆的位置关系. 注 意 点 <<< 9 　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求当a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切； 例 1 10 圆C1，C2的方程经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. 当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切. 解 11 (2)相交； 当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交. 解 (3)外离； 当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离. 解 (4)内含. 当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含. 解 12 判断两圆的位置关系的三种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法. (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系. (3)根据公切线的条数有时也可判断两圆的位置关系. 反 思 感 悟 13 　(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a(a>0)恰有三条公切线，则实数a的值是 A.4 B.6 C.16 D.36 跟踪训练 1 √ 圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1， ∵两圆有三条公切线，∴两圆外切， ∴＝1＋， 解得a＝16. 解析 14 (2)到点A(－1，2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有　　条. 4 到点A(－1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，－1)的距离为1的直线是以B为圆心，1为半径的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5. 半径之和为3＋1＝4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条. 解析 15 二 利用两圆的位置关系求圆的方程 　(课本例10)　已知圆C与x轴和y轴都相切，且与圆O：x2+y2＝1相外切，求圆C的方程. 例 2 17 设圆C：(x－a)2+(y－b)2＝r2. 因为圆C与x轴和y轴都相切， 所以|a|＝|b|＝r. ① 因为圆C与圆O：x2+y2＝1相外切， 所以＝1+r. ② 由方程①化简方程②，得r＝1+r， 所以r＝+1. 所以|b|＝|a|＝+1＝r， 解 18 所以圆C的方程为 C1：(x－－1)2+(y－－1)2＝(+1)2 或C2：(x++1)2+(y－－1)2＝(+1)2 或C3：(x++1)2+(y++1)2＝(+1)2 或C4：(x－－1)2+(y++1)2＝(+1)2. 如图. 解 19 　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程. 例 2 20 设所求圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 由题意知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则＝r＋1. ① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0， 故， ② ＝r. ③ 由①②③得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 解 21 将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”. 延伸探究 因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2， 又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)， 所以又r>0，解得 所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 解 22 通过直线与圆、圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题. 反 思 感 悟 23 相交弦及圆系方程问题 三 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； 例 3 25 设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B两点坐标是方程组 的解. ①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心为C1(－3，0)，r＝， 解 26 ∴C1到直线AB的距离d＝， ∴|AB|＝2＝2＝5， 即两圆的公共弦长为5. 解 27 (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程. 28 方法一　解方程组 得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2). 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则， 解得a＝. 故圆的方程为. 解 29 方法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0， 解得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 解 30 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆方程相减得公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. (3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1). 反 思 感 悟 31 圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为_______________________________ 　　 . 跟踪训练 2 (x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋ 2y－6＝0) 32 方法一　由 解得 所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3，3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1). 由 所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4， 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 解析 33 方法二　同方法一求得A(－1，－1)，B(3，3)， 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 方法三　设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1， 化简可得x2＋y2－x－y－6＝0， 解析 34 圆心坐标为. 又圆心在直线x－y－4＝0上， 所以－4＝0， 解得λ＝－， 所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0. 解析 35 1.知识清单： (1)两圆的位置关系. (2)两圆的公共弦. (3)圆系方程. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：将两圆内切和外切相混. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是 A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 √ 把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，则O1(1，0)，O2(0，2)，|O1O2|＝<r1＋r2，又r2－r1<，所以两圆相交. 解析 1 2 3 4 2.(多选)若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为 A.2 B.－5 C.－2 D.5 √ √ 圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3， 圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2. 依题意有＝3＋2， 即m2＋3m－10＝0， 解得m＝2或m＝－5. 解析 1 2 3 4 3.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是　　　 . (x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36 设圆C的半径为r， 圆心距d＝＝5， 当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4； 当圆C与圆O内切时，|r－1|＝5，解得r＝6(负值舍去)， 则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16 或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 解析 1 2 3 4 4.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝　　. 1 将两圆的方程相减， 得相交弦所在的直线方程为y＝， 圆心(0，0)到直线的距离d＝＝1， 所以a＝1. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A C BCD C D x2+y2－x－y－＝0 题号 8 11 12 13 14 15 答案 8 AD ABD C 4 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x－1)2+(y+5)2＝50，C2：(x+1)2+(y+1)2＝10，则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.又|C1C2|＝2，r1+r2＝5+，r1－r2＝5，所以r1－r2<|C1C2|<r1+r2，所以两圆相交. (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y+4＝0. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)方法一　将公共弦所在直线的方程与圆C2方程联立，得方程组 解得y1＝0，y2＝2， 所以 所以两圆交点坐标为(－4，0)和(0，2)， 所以两圆的公共弦长为＝2. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　由(2)知x－2y+4＝0为两圆公共弦所在直线的方程. 由(1)知圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5，圆心C1到直线x－2y+4 ＝0的距离d＝＝3， 所以两圆的公共弦长为 2＝2×＝2. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)圆C：x2+y2－6x－8y+21＝0化为标准方程为(x－3)2+(y－4)2＝4， 所以圆C的圆心为(3，4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线l1的方程为x＝1，符合题意. ②若直线l1的斜率存在， 设直线l1的方程为y－1＝k(x－1). 即kx－y－k+1＝0. 由题意知，圆心C(3，4)到直线l1的距离等于半径， 所以＝2， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即＝2， 解得k＝， 所以直线C1的方程为5x－12y+7＝0. 综上，直线l1的方程为x＝1或5x－12y+7＝0. (2)依题意，设D(a，a+2). 又已知圆C的圆心为(3，4)，半径为2， 由两圆外切，可知|CD|＝5， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴＝5， 化简得a2－5a－6＝0， 解得a＝－1或a＝6. ∴D(－1，1)或D(6，8)， ∴圆D的方程为(x+1)2+(y－1)2＝9或(x－6)2+(y－8)2＝9. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)依题意得，圆心(0，0)到直线x+3y+4＝0的距离d＝r， ∴r＝d＝， ∴圆C的方程为x2+y2＝. 如图所示，连接OA，OB，OP， ∵PA，PB是圆C的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP， ∴S四边形OAPB＝2S△OAP 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝2×|OA|·|PA| ＝. ∴当|PO|取最小值8时， (S四边形OAPB)min＝× ＝. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)得，A，B在以OP为直径的圆上， 设点P的坐标为(8，b)，b∈R， 则线段OP的中点坐标为， ∴以OP为直径的圆的方程为 (x－4)2+＝16+， 即x2+y2－8x－by＝0. ∵AB为两圆的公共弦， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴由 得直线AB的方程为8x+by＝，b∈R， 即8+by＝0， 则直线AB恒过定点. 基础巩固 1.若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是 A.r<＋1 B.r>＋1 C.|r－|≤1 D.|r－|<1 √ 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，所以两圆圆心之间的距离为. 因为两圆有公共点，所以|r－1|≤≤r＋1，所以－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1，所以|r－|≤1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.圆M：x2＋y2－2x－5＝0与圆N：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是 A.x＋y－1＝0 B.2x－y＋1＝0 C.x－2y＋1＝0 D.x－y＋1＝0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1，0)，圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1，2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为，即x＋y－1＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知圆x2＋y2－2x＋m＝0与圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝36有一条公切线，则实数m的值为 A.0 B.－120 C.0或－120 D.5 √ 将圆x2＋y2－2x＋m＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1－m(m<1)，圆心为(1，0)，半径为，圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝36的圆心为(－3，－3)，半径为6，由题意知两圆内切，可得|6－|＝＝5，解得m＝0或m＝－120. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是 A.(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝9 C.(x－2)2＋(y－2)2＝25 D.(x－2)2＋(y＋2)2＝49 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1，2)，半径r＝2. A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3， ∵|C1C|＝∈(r1－r，r1＋r)，∴两圆相交，不满足条件； B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3， ∵|C2C|＝5＝r＋r2，∴两圆外切，满足条件； C项，圆心C3(2，2)，半径r3＝5， ∵|C3C|＝3＝r3－r，∴两圆内切，满足条件； D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7， ∵|C4C|＝5＝r4－r，∴两圆内切，满足条件. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为 阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满足＝2，则动点 P的轨迹与圆(x－1)2＋y2＝1的位置关系是 A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，整理得(x＋1)2＋y2＝4，表示圆心为(－1，0)，半径R＝2的圆，圆(x－1)2＋y2＝1表示圆心为(1，0)，半径r＝1的圆，两圆的圆心距为2，满足1＝R－r<2<R＋r＝3，所以两个圆相交. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为 A. B.4 C. D. 由圆C1与圆C2的方程相减得 l：2x－3y＋2＝0. 圆心O(0，0)到直线l的距离d＝， 圆O的半径r＝2，所以截得的弦长为2＝2. 解析 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1，2)的圆的方程 为　　　　　　　 . x2＋y2－x－y－＝0 由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0， 将(1，2)代入，可得λ＝－， 故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆的圆心距|C1C2|＝　　　　. 8 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)， ∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y＝x上. 设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)， 则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2， 即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根， 整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17. ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32， ∴|C1C2|＝＝8. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； 将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5； 圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝. 又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5，r1－r2＝5，所以r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，所以两圆相交. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求公共弦所在的直线方程； 将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求公共弦的长度. 方法一　将公共弦所在直线的方程与圆C2方程联立， 得方程组 解得y1＝0，y2＝2， 所以 所以两圆交点坐标为(－4，0)和(0，2)， 所以两圆的公共弦长为＝2. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　由(2)知x－2y＋4＝0为两圆公共弦所在直线的方程. 由(1)知圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5，圆心C1到直线x－2y＋4 ＝0的距离d＝＝3， 所以两圆的公共弦长为 2＝2×＝2. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. (1)若直线l1过定点A(1，1)，且与圆C相切，求l1的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4， 所以圆C的圆心为(3，4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线l1的方程为x＝1，符合题意. ②若直线l1的斜率存在， 设直线l1的方程为y－1＝k(x－1). 即kx－y－k＋1＝0. 由题意知，圆心C(3，4)到直线l1的距离等于半径， 所以＝2，即＝2， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得k＝， 所以直线C1的方程为5x－12y＋7＝0. 综上，直线l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，设D(a，a＋2). 又已知圆C的圆心为(3，4)，半径为2， 由两圆外切，可知|CD|＝5， ∴＝5， 化简得a2－5a－6＝0， 解得a＝－1或a＝6. ∴D(－1，1)或D(6，8)， ∴圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9. 解 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8上存在两个点到原点的距离为，则实数a的值可以是 A.－2 B.－1 C.1 D.2 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝8与圆O：x2＋y2＝2有两个交点，即两圆相交. 又|CO|＝|a|， 2<|a|<2， 即1<|a|<3. 故－3<a<－1或1<a<3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则下列结论正确的为 A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B.线段AB的垂直平分线的方程为x＋y－1＝0 C.公共弦AB的长为 D.若P为圆O1上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为＋1 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B， 两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确； 对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)， 又kAB＝1， 则线段AB的垂直平分线的斜率为－1， 即线段AB的垂直平分线的方程为 y－0＝－1×(x－1)， 整理可得x＋y－1＝0，故B正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d＝，半径r＝1，所以|AB|＝2，故C不正确； 对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离d＝，半径r＝1，即点P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若直线l与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则|AB|等于 A.1 B. C. D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，设直线l交x轴于点M， 由于直线l与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B， 则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2， ∵|BC2|＝2＝2|AC1|， ∴C1为MC2的中点，A为BM的中点， ∴|MC1|＝|C1C2|＝2， 由勾股定理可得|AB|＝|MA|＝. 解析 14.已知圆M：x2＋(y－3)2＝1和圆N：(x－4)2＋y2＝16，则圆M与圆N的所 有公切线中斜率的最大值为　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆M：x2＋(y－3)2＝1的圆心和半径分别为M(0，3)， r＝1，圆N：(x－4)2＋y2＝16的圆心和半径分别为 N(4，0)，R＝4， 由于|MN|＝＝5＝R＋r，因此两圆外切，有 3条公切线， 作出两圆的位置关系图如图所示， 由图可知，一条公切线平行于x轴，斜率为0，一条斜率为负， 一条垂直于MN，斜率为正，故斜率最大， 由于kMN＝－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为　　. 4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，由于☉O与☉O1在点A处的切线互相垂直， 因此OA⊥O1A， 所以|OO1|＝＝5. 又OO1垂直平分线段AB，设线段AB与x轴的交点为C， 在Rt△AOO1中，|OO1|·|AC|＝|OA|·|O1A|， 所以|AC|＝＝2， 故|AB|＝2|AC|＝4. 解析 16.如图，已知☉C的圆心在坐标原点，且与直线x＋ 3y＋4＝0相切.点P在直线x＝8上，过点P引☉C的 两条切线PA，PB，切点分别为A，B. (1)求四边形OAPB面积的最小值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意得，圆心(0，0)到直线x＋3y＋4＝0的距离d＝r， ∴r＝d＝， ∴圆C的方程为x2＋y2＝. 如图所示，连接OA，OB，OP， ∵PA，PB是圆C的两条切线， ∴ OA⊥AP，OB⊥BP， ∴S四边形OAPB＝2S△OAP 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝2×|OA|·|PA|＝. ∴当|PO|取最小值8时， (S四边形OAPB)min＝×. 解 (2)求证：直线AB过定点. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得，A，B在以OP为直径的圆上， 设点P的坐标为(8，b)，b∈R， 则线段OP的中点坐标为， ∴以OP为直径的圆的方程为 (x－4)2＋＝16＋， 即x2＋y2－8x－by＝0. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵AB为两圆的公共弦， ∴由 得直线AB的方程为8x＋by＝，b∈R， 即8＋by＝0， 则直线AB恒过定点. 证明 第一章　直线与圆 <<< $