2.1 圆的标准方程-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　) A．－1<a<1 B．0<a<1 C．a>1或a<－1 D．a＝±4 解析：选A．由题意得(1－a)2＋(1＋a)2<4，即a2－1<0，解得－1<a<1.故选A． 2．(2024·河南驻马店期末改编)以A(0，0)，B(2，0)为直径两端点的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x＋1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 解析：选A．因为A(0，0)，B(2，0)，所以AB的中点坐标为(1，0)，所以以AB为直径的圆的圆心为(1，0)，又|AB|＝2，所以圆的半径为1，所以以AB为直径的圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.故选A． 3．(2024·河南南阳月考)已知直线l过圆C：(x＋3)2＋y2＝4的圆心，并且与直线x＋y＋2＝0垂直，则直线l的方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 解析：选D．由(x＋3)2＋y2＝4可知圆心为(－3，0)，又因为直线l与直线x＋y＋2＝0垂直，所以直线l的斜率为k＝1，由点斜式得直线l：y－0＝x＋3，化简得直线l的方程是x－y＋3＝0.故选D． 4．(2024·浙江嘉兴检测)方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线x－y＝0对称 D．关于直线x＋y＝0对称 解析：选D．易得圆心C(－a，a)，圆心C在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称．故选D． 5．已知圆C的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是(　　) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－2)2＋(y－1)2＝5 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝10 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝0 解析：选A．设该直径的两个端点分别A(a，0)，B(0，b)，圆心为C(－2，1)，由中点坐标公式，得＝－2，＝1，解得a＝－4，b＝2.所以半径r＝＝，所以圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5.故选A． 6．(多选)若有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，则下列命题正确的是(　　) A．所有圆Ck的半径均为2 B．所有的圆Ck的圆心恒在直线y＝x上 C．当k＝2时，点(3，0)在圆Ck上 D．经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 解析：选AB．对于A，(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，r＝2，故A正确；对于B, 根据(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)可得，圆心为(k，k)，在直线y＝x上，故B正确；对于C，当k＝2时，圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，将(3，0)代入不满足方程，故C错误；对于D，代入(2，2)，得(2－k)2＋(2－k)2＝4，即(2－k)2＝2，k＝2±，有两个解，故D错误．故选AB． 7．已知圆C1的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝5，圆C2与圆C1是同心圆且过点A(5，0)，则圆C2的标准方程为________________． 解析：依题意，圆C2的圆心为C2(－3，2)，则半径r＝|C2A|＝＝2，所以圆C2的标准方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝68. 答案：(x＋3)2＋(y－2)2＝68 8．已知两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点在圆x2＋y2＝4的内部，则实数k的取值范围是________． 解析：圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，由得则两直线y＝x＋2k与y＝2x＋k＋1的交点坐标为(k－1，3k－1)，依题意得(k－1)2＋(3k－1)2<4，解得－<k<1.所以实数k的取值范围是(－，1). 答案：(－，1) 9．若半径为3的圆经过点(6，8)，则其圆心到原点的距离的最小值为________． 解析：设圆心坐标为(x，y)，则＝3，即(x－6)2＋(y－8)2＝9，即圆心轨迹是以(6，8)为圆心，3为半径的圆，圆心(6，8)到原点的距离为＝10，故圆(x－6)2＋(y－8)2＝9上的点到原点距离的最小值为10－3＝7，即半径为3的圆经过点(6，8)，则其圆心到原点的距离的最小值为7. 答案：7 10．(2024·江西宜春期末)已知圆C过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上． (1)求圆C的标准方程； (2)将圆C向上平移1个单位长度后得到圆C1，求圆C1的标准方程． 解：(1)因为直线AB的斜率为＝－1，所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1.又易知线段AB的中点坐标为(，)，所以直线m的方程为y－＝1×(x－)，即x－y－1＝0.因为圆心在直线l上，所以圆心是直线m与直线l的交点．由解得所以圆心为C(3，2)，半径r＝|CA|＝.所以圆C的标准方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13. (2)由(1)知圆C的圆心坐标为(3，2)，将点(3，2)向上平移1个单位长度后得到点(3，3)，故圆C1的圆心坐标为(3，3)，半径为，故圆C1的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝13. 11．方程(x－1)＝0所表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．两个点 C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆 解析：选D．(x－1)＝0可转化为x－1＝0或x2＋y2＝3，因此表示一条直线和一个圆．故选D． 12．(多选)(2024·云南昆明检测)“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的曼哈顿距离为LPQ＝|x1－x2|＋|y1－y2|.若点P(－2，1)，Q是圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点，则LPQ的取值可能为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选ABC．依题意设Q(1＋cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0，2π)，则LPQ＝|－2－(1＋cos θ)|＋|1－(1＋sin θ)|＝|3＋cos θ|＋|sin θ|＝3＋cos θ＋|sin θ|.当0≤θ≤π时，LPQ＝3＋cos θ＋sin θ＝3＋sin(θ＋)，≤θ＋≤，sin(θ＋)∈[－，1]，LPQ∈[2，3＋ ]；当π<θ<2π时，LPQ＝3＋cos θ－sin θ＝3＋cos(θ＋)，<θ＋<，cos(θ＋)∈(－，1]，LPQ∈(2，3＋].综上所述，LPQ∈[2，3＋]，A，B，C选项符合，D选项不符合．故选ABC． 13．直线x＋y＋1＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－1)2＋y2＝1上，则△ABP面积的取值范围是________． 解析：由题意得A(－1，0)，B(0，－1)，所以|AB|＝＝.由圆(x－1)2＋y2＝1知，圆心为(1，0)，半径r＝1，所以圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d1＝＝＝，所以点P到直线x＋y＋1＝0的距离d2∈[d1－r，d1＋r]，即d2∈[－1，＋1].所以S△ABP＝|AB|·d2∈[1－，1＋]. 答案：[1－，1＋] 14．已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点． (1)求圆C的标准方程； (2)若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足＝3，求点Q的轨迹方程． 解：(1)由题意可知，AB的中点坐标为(2，3)，kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝2，它与x轴的交点为圆心C(2，0)，又半径r＝|AC|＝，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝10. (2)设P(x0，y0)，Q(x，y).由＝3，得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，所以又点P在圆C上，故(x0－2)2＋y＝10，所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝. 15．对于勾股定理我国历史上有多位数学家创造了不同的面积证法，如三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蘅芳等．如图为华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，若图中|CB|＝1，|CA|＝2，∠ACB＝90°，以C为原点，的方向为x轴正方向．的方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为______________________．(写出一个即可) 解析：由图可得B(1，0)，A(0，2)，M(－2，2)，N(－2，0)，Q(0，－1)，P(1，－1)，所以D(，1)，|AB|＝，|AC|＝2，|BC|＝1，所以|AD|＝|DB|＝|DC|＝，|DE|＝|DF|＝＝， |DM|＝＝，|DN|＝＝，|DQ|＝＝，|DP|＝＝，点D到三个正方形顶点的距离分别为，，，，，，，，，所以圆D的方程为(x－)2＋(y－1)2＝r2(≤r<). 答案：(x－)2＋(y－1)2＝(答案不唯一) 16.如图所示，一座圆拱桥，当水面为图示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽多少米？(结果保留根号) 解：如图所示，以圆拱桥的拱顶为原点O，建立平面直角坐标系，设圆拱桥所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2).设圆的半径为r，则圆心C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，解得r＝10.所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②当水面下降1 m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)，将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，解得x0＝.所以水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2(m). 学科网（北京）股份有限公司 $