2.1 圆的标准方程-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

§2　圆与圆的方程 2．1　圆的标准方程 学习目标 1.结合教材实例会用定义推导圆的标准方程并会求圆的标准方程．　2.能利用圆的标准方程解决相关的问题． 一　圆的标准方程 1．圆的定义：平面内到________的距离等于________的所有点的集合(或轨迹)叫作圆，其中________是圆心，________是半径． 2．圆的标准方程：圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为_____________. 点拨　(1)若圆心在原点O(0，0)且半径为r，则圆的标准方程为x2＋y2＝r2. (2)圆上的点都满足圆的方程，满足圆的方程的点都在圆上． (3)确定圆的标准方程的两个条件：圆心坐标与半径． [答案自填] 定点　定长　定点　定长 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 　(1)(多选)下列说法错误的是(　　) A．圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为5 B．圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为b C．圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心为(，－)，半径为 D．圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2，2)，半径为 (2)经过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线l：x＋y－3＝0上的圆的标准方程为________________． 【解析】　(1)圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为，A错误；圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为|b|，B错误；C正确；圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(－2，－2)，半径为，D错误．故选ABD． (2) 如图，连接AB，过AB的中点D作AB的垂直平分线，kAB＝－，可求出垂直平分线的方程为y－＝3，即为3x－y－5＝0，由垂径定理可知，圆心C也在该垂直平分线上，所以联立解得 即圆心C的坐标为(2，1).又该圆经过点A，则r2＝(1－2)2＋(3－1)2＝5，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 【答案】　(1)ABD　(2)(x－2)2＋(y－1)2＝5 【变式探究】 (条件变式)本例(2)变为，经过A(1，3)，B(4，2)两点，周长最小的圆的标准方程为_________________________________________． 解析：当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即所求圆以线段AB的中点D为圆心，|AB|＝为半径，故所求圆的标准方程为＋＝. 答案：＋＝ 求圆的标准方程的常用方法 (1)直接法：求出圆心和半径，直接写出方程． (2)待定系数法：一般步骤为： (3)几何法：巧妙利用几何性质如垂径定理、切线的性质等确定圆心和半径，求出圆的标准方程． [跟踪训练1] (1)已知一个圆的方程满足：圆心为(－3，4)，且过原点，则它的方程为(　　) A．(x－3)2＋(y－4)2＝5 B．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25 C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25 解析：选D．设圆的半径为r，因为圆心为(－3，4)，且过点(0，0)，所以r＝＝5，所以圆的方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25.故选D． (2)已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29 C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116 解析：选B．由题意得，AB的中点为(1，－3)，所以圆心C的坐标为(1，－3)，半径r＝|AC|＝＝，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.故选B． 二　点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 距离判断 方程判断 点在圆外 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 点在圆上 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 点在圆内 d____r (x0－a)2＋(y0－b)2____r2 [答案自填] >　>　＝　＝　<　< 　(1)(多选)下列各点中，不在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的外部的是(　　) A．(0，2) B．(3，3) C．(－2，2) D．(4，1) (2)已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)，若点M(6，9)在圆上，则a＝________． 【解析】　(1)对于A，(0－1)2＋(2＋2)2<25，点(0，2)在圆内；对于B，(3－1)2＋(3＋2)2>25，点(3，3)在圆外；对于C，(－2－1)2＋(2＋2)2＝25，点(－2，2)在圆上；对于D，(4－1)2＋(1＋2)2<25，点(4，1)在圆内．故选ACD． (2)因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，又a>0，可得a＝. 【答案】　(1)ACD　(2) 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小来判断． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断． [跟踪训练2] (1)(多选)已知圆C过点A(1，4)，B(3，2)，且圆心C在直线y＝0上，则(　　) A．点M1(2，3)在圆内 B．点M1(2，3)在圆外 C．点M2(2，4)在圆内 D．点M2(2，4)在圆外 解析：选AD．因为圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上．直线AB的斜率为－1，线段AB的中点坐标为(2，3)，故线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，又圆心在直线y＝0上，因此圆心坐标是方程组的解，即圆心坐标为C(－1，0)，半径r＝＝，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝20.点 M1(2，3)到圆心的距离为＝＜r，所以点M1在圆内，点M2(2，4)到圆心的距离为＝＞r，所以点M2在圆外．故选AD． (2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________． 解析：由题意知 即解得0≤a<1. 答案：[0，1) 三　与圆有关的最值问题 　(1)(2024·广西桂林期末)已知点P为圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4上一点，A(0，－4)，B(6，0)，则|＋|的最大值为(　　) A．5 B．7 C．10 D．14 (2)已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，则x2＋y2的最大值是________，最小值是________． 【解析】　(1)设P(x0，y0)，则(x0＋1)2＋(y0－1)2＝4，因为A(0，－4)，B(6，0)，所以＝(－x0，－4－y0)，＝(6－x0，－y0)，则＋＝(6－2x0，－4－2y0)，故|＋|＝＝ 2，而的几何意义为圆(x＋1)2＋(y－1)2＝4上的动点到点(3，－2)的距离，其最大值为＋2＝5＋2＝7，所以|＋|的最大值为14.故选D． (2)x2＋y2表示圆C：(x－2)2＋y2＝3上的点到原点的距离的平方．由平面几何知识知，x2＋y2在原 点与圆心C(2，0)所在直线与圆C的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心C(2，0)到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4. 【答案】　(1)D　(2)7＋4　7－4 常见代数式的几何意义 (1)x2＋y2表示点(x，y)与原点的距离的平方． (2)(x－a)2＋(y－b)2表示点(x，y)与点(a，b)的距离的平方． [跟踪训练3] 已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值与最小值． 解：因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，圆心C(0，－4)，半径r＝2，因此 表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离．因为|AC|2＝(－1－0)2＋(－1＋4)2＝10>4， 所以点A(－1，－1)在圆外．如图所示．所以|AC|＝，所以的最大值为|AC|＋r＝＋2，最小值为|AC|－r＝－2. 1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心和半径分别是(　　) A．(1，－2)，4 B．(1，－2)，2 C．(－1，2)，4 D．(－1，2)，2 解析：选D．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1，2)，半径r＝2.故选D． 2．(2024·江西省宜丰中学检测)以点(－，－2)为圆心，为半径的圆的标准方程是(　　) A．(x－)2＋(y－2)2＝3 B．(x＋)2＋(y＋2)2＝3 C．(x－)2＋(y－2)2＝ D．(x＋)2＋(y＋2)2＝ 解析：选B．易知以点(－，－2)为圆心，以为半径的圆的标准方程是(x＋)2＋(y＋2)2＝3.故选B． 3．点P(5，6)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 解析：选A．因为52＋62>24，所以点P(5，6)在圆x2＋y2＝24外. 故选A． 4．(2024·江西南昌检测)如图，已知两点P1(4，9)和P2(6，3). (1)求以P1P2为直径的圆的标准方程； (2)试判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)与所求圆的位置关系． 解：(1)设圆心C(a，b)，半径为r，则由C为P1P2的中点得a＝＝5，b＝＝6.又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝＝，所以所求圆的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. (2)分别计算点到圆心的距离：|CM|＝＝；|CN|＝＝>；|CQ|＝＝3<.因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内． 1．已学习：圆的标准方程及点和圆的位置关系． 2．须贯通：求圆的标准方程有待定系数法和几何性质法，利用方程思想和数形结合思想． 3．应注意：利用几何法求圆的标准方程时，要全面考虑，否则易出现漏解的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $