1.6 第2课时 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

第2课时　点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式 学习目标 1.结合教材实例了解点到直线的距离公式的推导过程．　2.会求点到直线的距离． 3．掌握两条平行直线间的距离公式及应用．　4.能利用距离公式解决与交点相关的问题． 一　点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝____________(其中A，B不全为0). 点拨　(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|； (3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|； (4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|. [答案自填] 　求过点A(－1，2)，且原点到直线的距离等于的直线方程． 【解】　由条件可知所求直线的斜率是存在的．设所求直线的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋2＋k＝0.由题意得＝，解得k＝－1或k＝－7.故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0. 【变式探究】 (条件变式)将本例中的条件“原点到直线的距离等于”改为“点M(2，1)，N(－3，1)到直线的距离相等”，求直线的方程． 解：因为点M(2，1)与点N(－3，1)到直线x＝－1的距离不相等，所以直线的斜率存在，设直线的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点M(2，1)与点N(－3，1)到直线l的距离相等，得＝，化简得k2＋2k＝0，解得k＝0或k＝－2.所以直线l的方程为y＝2或2x＋y＝0. (1)应用点到直线的距离公式时应注意的3个问题： ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． ②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． ③对于直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． (2)用待定系数法求直线的方程时，首先考虑斜率不存在的情况是否满足题意． [跟踪训练1] (1)若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值是(　　) A． B．2 C．4 D．2 解析：选B．因为点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，所以|OP| 的最小值是点O到直线的距离＝2.故选B． (2)已知点A(3，4)，B(6，m)到直线3x＋4y－7＝0的距离相等，则实数m＝(　　) A． B．－ C．1 D．或－ 解析：选D．由题意得＝，解得m＝或m＝－.故选D． 二　两条平行直线间的距离公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝__________(其中A，B不全为0，且C1≠C2). 点拨　(1)两条平行直线间的距离是分别在两条直线上的两点间距离的最小值． (2)利用公式求平行直线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． [答案自填] 　(1)已知直线l1：2x＋y－4＝0，l2：2x＋y＋2＝0，则与直线l1，l2距离相等的直线方程为(　　) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0 (2)平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0之间的距离为________． 【解析】　(1)设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，c≠－4且c≠2，则＝，即|c＋4|＝|c－2|，解得c＝－1，故所求直线方程为2x＋y－1＝0. (2)方法一：在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d就是两条平行直线之间的距离，因此，两条平行直线之间的距离d＝＝＝. 方法二：直线2x＋6y－9＝0化为x＋3y－＝0，根据平行线间的距离公式d＝，得d＝＝＝. 【答案】　(1)A　(2) 求两条平行直线间的距离，一般是直接利用两条平行直线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且A，B不全为0，C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． [跟踪训练2] (1)(2024·河北沧州月考)已知两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为(　　) A．a＝2，d＝ B．a＝2，d＝ C．a＝－2，d＝ D．a＝－2，d＝ 解析：选B．因为直线2x－y＋3＝0与直线ax－y＋4＝0平行，所以－2＋a＝0，解得a＝2，所以两直线分别为2x－y＋3＝0和2x－y＋4＝0，所以d＝＝.故选B． (2)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0间的距离为2，则实数c的值为________． 解析：依题意＝＝2，得|c－1|＝10，解得c＝－9或c＝11. 答案：－9或11 三　距离公式的综合应用 　(2024·江西南昌开学考试)已知△ABC的边AC所在直线方程为3x－2y＋3＝0，边BC所在直线方程为x－4y＋1＝0，边AB的中点为D(2，2).求： (1)点A的坐标； (2)△ABC的面积． 【解】　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据中点公式结合点A在直线AC上，点B在直线BC上，则有解得所以点A的坐标为(1，3). (2)由(1)知，A(1，3)，B(3，1), 所以kAB＝＝－1，所以直线AB的方程为y－2＝(－1)×(x－2)，即x＋y－4＝0.所以|AB|＝＝2.联立解得所以C(－1，0).点C(－1，0)到直线AB的距离为d＝＝，所以△ABC的面积为S△ABC＝×|AB|×d＝×2×＝5. (1)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合． (2)利用式子的几何意义可以将一些最值问题转化为距离，通过数形结合或函数性质求解． [跟踪训练3] 已知正方形中心的坐标是(1，1)，一边所在直线的方程是y＝x－，求其余三边所在直线的方程． 解：如图，在直线y＝x－上取一点(1，－)，其关于点(1，1)的对称点为(1，)，所以与直线y＝x－平行的正方形的一边所在的直线方程为y－＝(x－1)，即3x－4y＋7＝0.设与直线y＝x－垂直的直线方程为y＝－x＋m，根据点(1，1)到四条直线的距离相等，可知＝，解得m＝或m＝.所以与直线y＝x－垂直的正方形的两边所在的直线方程分别为y＝－x＋和y＝－x＋，即4x＋3y－13＝0和4x＋3y－1＝0.综上所述，正方形的其余三边所在的直线方程分别为3x－4y＋7＝0，4x＋3y－13＝0和4x＋3y－1＝0. 易错点 忽视点与直线的位置关系致错 [典例展示]　已知点A(1，0)，B(4，－4)，若点A与点B到直线l的距离都为2，求直线l的方程． [错解展示]　因为点A与点B到直线l的距离都相等，所以直线l与直线AB平行．由于kAB＝ ＝－，可设直线l的方程为y＝－x＋b，即4x＋3y－3b＝0.依题意得，＝2，解得b＝－2或b＝，所以直线l的方程为4x＋3y＋6＝0或4x＋3y－14＝0. 正解：因为|AB|＝＝5，|AB|>2，所以A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，①当直线l平行于直线AB时，kAB＝＝－，可设直线l的方程为y＝－x＋b，即4x＋3y－3b＝0.依题意得，＝2，解得b＝－2或b＝，故直线l的方程为4x＋3y＋6＝0或4x＋3y－14＝0；②当直线l过线段AB中点时，AB的中点为(，－2)，当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝，不符合题意，舍去；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＋2＝k(x－)，即2kx－2y－5k－4＝0.依题意得＝2，解得k＝0或k＝，故直线l的方程为y＋2＝0或y＋2＝(x－)，化简为24x－7y－74＝0.综上所述，直线l的方程为4x＋3y＋6＝0或4x＋3y－14＝0或y＋2＝0或24x－7y－74＝0. [易错警示]　解决此类问题需要分为两类来研究，一类是点在直线的同侧，即直线l与A和B两点的连线平行，另一类是点在直线的异侧，即直线l过两点A和B的中点． 1．(2024·山东济南期中)已知直线5x＋12y－3＝0与直线5x＋12y＋10＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 B．2 C． D．4 解析：选A．由题意，两直线间的距离为＝1.故选A． 2．两条直线y＝x，6x－4y＋13＝0之间的距离为(　　) A． B． C． D．13 解析：选B．两条直线的方程分别为3x－2y＝0，3x－2y＋＝0，易知两条直线平行，所以两条直线之间的距离d＝＝.故选B． 3．点(，0)到直线x＋2y＝0的距离是_____________________________． 解析：由题意可得，点(，0)到直线x＋2y＝0的距离d＝＝1. 答案：1 4．已知两平行直线l1，l2分别过P1(1，0)，P2(0，5)，若l1与l2间的距离为5，求两直线方程． 解：依题意得，两直线的斜率都存在，设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.因为l1与l2间的距离为5，所以＝5，解得k＝0或k＝.所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0. 1．已学习：点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式． 2．须贯通：应用点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式解决问题时，常利用数形结合思想． 3．应注意：(1)在应用点到直线的距离公式时，特别注意直线的方程应为一般式； (2)在应用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别相同． 学科网（北京）股份有限公司 $