1.6 第1课时 两点间的距离公式-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－1 C．1或5 D．1或－5 解析：选D．由两点间距离公式得(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，所以(a＋2)2＝32，所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5.故选D． 2．已知点P(－2，5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1，0)，那么点M到原点O的距离为(　　) A．41 B． C． D．39 解析：选B．设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5).则|OM|＝＝.故选B． 3．已知A(－1，2)，B(0，4)，点C在x轴上，且|AC|＝|BC|，则点C的坐标为(　　) A．(－，0) B．(0，－) C．(0，) D．(，0) 解析：选D．因为点C在x轴上，设点C(a，0)，且|AC|＝|BC|，所以＝，解得a＝，所以C(，0).故选D． 4．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C．根据两点间的距离公式得，|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝3，所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且|AB|2＋|AC|2≠|BC|2，故△ABC是等腰非等边三角形．故选C． 5．设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，则|PA|2＋|PB|2的值为(　　) A．5 B． C． D．与m的取值有关 解析：选A．直线x＋my－m＝0过定点A(0，1)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足1×m－m×1＝0，故两直线垂直，故|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝12＋22＝5.故选A． 6．(多选)十九世纪著名数学家赫尔曼·闵可夫斯基给出了两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的曼哈顿距离为D(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知△ABC的三个顶点坐标为A(2，4)，B(8，2)，C(12，10)，则下列不是△ABC的“好点”的坐标的是(　　) A．(2，4) B．(6，8) C．(0，0) D．(5，1) 解析：选ACD．对于A，设P(2，4)，则D(P，A)＝|2－2|＋|4－4|＝0，D(P，B)＝|2－8|＋|4－2|＝8≠0，所以点(2，4)不是△ABC的“好点”；对于B，设P(6，8)，则D(P，A)＝|6－2|＋|8－4|＝8，D(P，B)＝|6－8|＋|8－2|＝8，D(P，C)＝|6－12|＋|8－10|＝8，所以D(P，A)＝D(P，B)＝D(P，C)，所以点(6，8)是△ABC的“好点”；对于C，设P(0，0)，则D(P，A)＝|0－2|＋|0－4|＝6，D(P，B)＝|0－8|＋|0－2|＝10≠6，所以点(0，0)不是△ABC的“好点”；对于D，设P(5，1)，则D(P，A)＝|5－2|＋|1－4|＝6，D(P，B)＝|5－8|＋|1－2|＝4≠6，所以点(5，1)不是△ABC的“好点”．故选ACD． 7．(2024·江西省清江中学期末)已知点A(－1，2)，B(－4，6)，则|AB|＝________． 解析：因为A(－1，2)，B(－4，6)，所以|AB|＝＝5. 答案：5 8．在直线y＝kx＋b上有不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝________(用k和x1，x2表示). 解析：|AB|＝ ＝ ＝＝|x1－x2|. 答案：|x1－x2| 9．已知直线l过点M(1，1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程为________________． 解析：由题意知直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，则k<0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，则A(1－，0)，B(0，1－k)，所以|MA|2＋|MB|2＝(1－1＋)2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋≥2＋2＝4，当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即直线l的方程为x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 10．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l与直线l1相交于点B，且使|AB|＝5，求直线l的方程． 解：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，联立解得即B.由|AB|＝＝5，解得k＝－，所以直线l的方程为y＋1＝－·(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1.此时直线l与l1的交点为B(1，4)，|AB|＝5，也满足题意，综上所述，直线l的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1. 11．(2024·陕西西安月考)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得y＝＋的最小值为(　　) A．4 B．2 C．＋ D．3＋ 解析：选A．因为y＝f(x)＝＋＝＋，则f(x)可看作x轴上一点P(x，0)到点A(－2，－2)与点B(2，2)的距离之和，即|PA|＋|PB|，则可知当A，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，即(|PA|＋|PB|)min＝|AB|＝＝4.故选A． 12．已知函数y＝－|x－3|＋4与y＝|x|的图象相交于P，Q两点，则P，Q两点间的距离为(　　) A．7 B． C．5 D．1 解析：选C．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图所示， 联立解得即点Q(－，)，联立解得即点P(，)，所以|PQ|＝＝5.故选C． 13．已知定点A(0，0)，B(1，0)，若直线y＝kx上总存在点P，满足条件|PA|＝|PB|，则实数k的取值范围是____________． 解析：因为点P在直线y＝kx上，所以可设P(x，kx)，由|PA|＝|PB|，得|PA|2＝2|PB|2，由两点间的距离公式可得x2＋k2x2＝2(x－1)2＋2k2x2，整理可得(k2＋1)x2－4x＋2＝0，由Δ＝16－8(k2＋1)≥0，解得－1≤k≤1，即实数k的取值范围是[－1，1]. 答案：[－1，1] 14．用坐标法证明：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 证明：如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点．设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|.又由中点坐标公式，得D，E，所以|DE|＝＝，所以|DE|＝|AB|，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 15．(2024·江西九江检测)已知函数y＝－x＋m的图象与函数y＝2x＋1和函数y＝2x－2＋1的图象分别交于A，B两点，若|AB|＝，则m＝________． 解析：因为2x＋1－(2x－2＋1)＝2x－2x－2＝×2x>0，所以函数y＝2x＋1的图象恒在函数y＝2x－2＋1的图象的上方，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1<x2，y1>y2，由|AB|＝，可得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2，又因为AB所在直线的斜率为＝－1，所以x2－x1＝y1－y2＝1，因为 所以y1－y2＝(2x1＋1)－(2x2－2＋1)＝1，即2x1－2x1－1＝1，解得x1＝1，因为y1＝2x1＋1＝3，所以A(1，3)，代入函数y＝－x＋m，可得m＝4. 答案：4 16．如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，AD∥BC，∠ADC＝90°，|AB|＝|DA|＋|CB|，腰DC在x轴上，O是线段DC的中点，|BO|＝4，且∠BOC＝60°.求： (1)A，B，C，D各点的坐标； (2)梯形ABCD的面积． 解：(1)如图所示，过点A作AE⊥BC于点E.因为AD∥BC，∠ADC＝90°，所以∠BCD＝90°.又因为|BO|＝4，且∠BOC＝60°，所以|OC|＝2，|BC|＝2，所以点C的坐标为(2，0)，点B的坐标为(2，2).又因为O为线段DC的中点，所以|DO|＝|OC|＝2，所以点D的坐标为(－2，0).设点A的纵坐标为y，则点A的坐标为(－2，y).易知四边形ADCE是矩形，所以|AE|＝|DC|＝4，|EC|＝|AD|＝y，|BE|＝|BC|－|EC|＝2－y.因为|AB|＝|DA|＋|CB|＝y＋2，且∠BEA＝90°，所以|AB|2＝|AE|2＋|BE|2，即(y＋2)2＝42＋(2－y)2，解得y＝，所以点A的坐标为. (2)S梯形ABCD＝××4＝. 学科网（北京）股份有限公司 $