1.6 第1课时 两点间的距离公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．6　平面直角坐标系中的距离公式 第1课时　两点间的距离公式 学习目标 1.掌握两点间的距离公式及应用．　2.能利用距离公式解决与交点相关的问题，能用坐标法证明简单的几何问题． 一　两点间的距离公式 1．条件：点A(x1，y1)，B(x2，y2). 2．结论：|AB|＝_______________. 3．特例：(1)点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ ________． (2)当AB∥x轴(y1＝y2)时，|AB|＝________． (3)当AB∥y轴(x1＝x2)时，|AB|＝________． 点拨　(1)此公式与两点的先后顺序无关． (2)如图，用向量知识分析，|AB|可以理解为向量的长度，也可以理解为向量分别在x轴和y轴上的投影数量的绝对值，分别为|AC|＝|x2－x1|，|CB|＝|y2－y1|，再由勾股定理求|AB|. [答案自填] 　 |x2－x1|　|y2－y1| 　已知点A(3，3a＋3)与点B(a，3)之间的距离为5，则实数a的值为(　　) A．－1 B． C．－1或 D．1或－ 【解析】　由点A(3，3a＋3)与点B(a，3)之间的距离为5，可得|AB|＝＝＝5，整理得10a2－6a－16＝0，即5a2－3a－8＝0，解得a＝－1或a＝. 【答案】　C 计算两点间的距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解． [跟踪训练1] (1)(2024·河南济源期中)已知A(6，0)，B(－2，0)，则|AB|＝(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：选D．由题意得，A，B两点的纵坐标相等，则|AB|＝|6－(－2)|＝8.故选D． (2)在平面直角坐标系xOy中，已知A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，平面内的点P满足|PA|＝|PB|＝|PC|，则点P的坐标为________． 解析：设点P的坐标为(x，y)，由 可得 解得因此，点P的坐标为(3，1). 答案：(3，1) 二　两点间距离公式的应用 　已知△ABC的三个顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 【解】　方法一：因为|AB|＝＝2，|AC|＝＝2，又|BC|＝＝2，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰直角三角形． 方法二：因为kAC＝＝，kAB＝＝－，则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB.又|AC|＝＝2，|AB|＝＝2，所以|AC|＝|AB|，所以△ABC是等腰直角三角形． 【变式探究】 (设问变式)例2中条件不变，则BC边上的中线AM的长为________． 解析：方法一：BC边的中点为M(2，2)， 所以|AM|＝＝. 方法二：由例题解析知△ABC为等腰直角三角形，所以|AM|＝|BC|＝. 答案： (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向． (2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理． [跟踪训练2] 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(－7，0)，B(2，－3)，C(5，6)，D(－4，9)，判断这个四边形是哪种四边形． 解：因为kAB＝－，kCD＝－，kAD＝3，kBC＝3，所以AB∥CD，AD∥BC，即四边形ABCD为平行四边形．又因为kAB·kAD＝－1，所以AB⊥AD，所以平行四边形ABCD为矩形．因为|AB|＝3，|AD|＝3，所以|AB|＝|AD|，所以矩形ABCD 为正方形，故四边形ABCD为正方形． 三　坐标法的应用 　在△ABC中，D是BC边上的任意一点(点D与点B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形． 【证明】　作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设A(0，h)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0).因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，则由两点间距离公式得b2＋h2＝d2＋h2＋(d－b)·(c－d)，整理得－(d－b)(b＋d)＝(d－b)·(c－d).因为点D与点B，C不重合，所以d－b≠0，所以－b－d＝c－d，即－b＝c.所以|OB|＝|OC|，于是|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形． 利用坐标法解平面几何问题的四步骤 (1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上； (2)用坐标表示有关的量； (3)将几何关系转化为坐标运算； (4)把代数运算结果“翻译”成几何关系． [跟踪训练3] 在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|. 证明：如图所示，建立平面直角坐标系．设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标为(a－b，c).所以|AC|＝＝，|BD|＝＝.故|AC|＝|BD|. 1．已知两点M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝(　　) A．3 B．5 C．9 D．25 解析：选B．因为M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝＝5.故选B． 2．若A(a，b)，B(b，a)，则|AB|＝________． 解析：因为A(a，b)，B(b，a)，所以|AB|＝＝＝|a－b|. 答案：|a－b| 3．已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为________． 解析：设点A(a，2a－1)，B(b，2b－1)，则|a－b|＝，所以|AB|＝＝|a－b|＝. 答案： 4．已知在直线2x－y＝0上存在一点P，它到点M(5，8)的距离为5，求直线PM的方程． 解：因为点P在直线2x－y＝0上， 所以可设P点坐标为(a，2a)， 所以＝5， 即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝， 所以点P的坐标为(2，4)或. 所以直线PM的方程为＝或＝，即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0. 1．已学习：两点间的距离公式及应用，用坐标法解决几何问题． 2．须贯通：利用两点间的距离公式解决平面几何问题时，应利用的思想方法是数形结合与坐标法． 3．应注意：已知距离求参数问题易漏解． 学科网（北京）股份有限公司 $