1.5 两条直线的交点坐标-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．5　两条直线的交点坐标 学习目标 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．　2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系． 一　两直线的交点 一般地，对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，我们可以用直线的斜率(斜率存在时)或法向量先定性判断两条直线是否相交，若相交，则依据直线方程的概念可知，两条直线l1，l2交点的坐标就是两个方程的____________．因此，可通过求解方程组得到两条直线l1，l2的交点坐标． [答案自填] 公共解 思考　对于l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，若方程组有无数组解，那么直线l1，l2是什么位置关系？ 提示：l1，l2重合． 　(1)若直线y＝－2x＋4与直线y＝kx的交点在直线y＝x＋2上，则实数k＝(　　) A．4 B．2 C． D． (2)已知直线l1：y＝ax＋b，直线l2：y＝bx－a，若l1的倾斜角为，且与l2的交点落在第二象限，则实数b的取值范围是________． 【解析】　(1)联立解得即直线y＝－2x＋4与直线y＝x＋2的交点为(，).又交点在直线y＝kx上，所以＝k，解得k＝4.故选A． (2)由已知可得a＝tan ＝－1.当b＝－1时，l1：y＝－x－1，l2：y＝－x＋1，此时两直线平行，没有交点；当b≠－1时，联立两直线方程解得 因为交点在第二象限，所以有 解得－1<b<1.故实数b的取值范围是(－1，1). 【答案】　(1)A　(2)(－1，1) 求两相交直线的交点坐标 (1)求两相交直线的交点坐标的关键是解方程组． (2)联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交；若有无数解，则两直线重合；若无解，则两直线平行． [跟踪训练1] (1)直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为(　　) A．(4，3) B．(－4，3) C．(－4，－3) D．(4，－3) 解析：选B．联立解得所以交点坐标为(－4，3).故选B． (2)(2024·江西南昌期末)若直线3x＋2y－2m－1＝0与直线2x＋4y－m＝0的交点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C． D． 解析：选D．联立两直线的方程，得 解得因为交点在第四象限，所以解得m＞－.故选D． 二　求过两直线交点的直线方程 　求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0 的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程． 【解】　方法一：联立解得即l1与l2的交点坐标为(－1，2).又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为－，则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0. 方法二：由于直线l⊥l3，故设直线l为5x＋3y＋C＝0.又直线l过直线l1，l2的交点(－1，2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 方法三：由于直线l过直线l1，l2的交点，故直线l满足3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0.整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y－1＋λ＝0.其斜率为－＝－，解得λ＝，则直线l的方程为5x＋3y－1＝0. 【变式探究】 (条件变式)本例中将“且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0”改为“过原点”，其他条件不变，求l的方程． 解：设所求直线方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，将(0，0)代入上式，解得λ＝1，所以所求直线方程为8x＋4y＝0，即2x＋y＝0. 求过两直线交点的直线方程的两种方法 (1)求出交点坐标，根据题意求出相关的直线方程； (2)用直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包含A2x＋B2y＋C2＝0)表示，根据题意，求出λ，化简即可． [跟踪训练2] 过两条直线l1：x＋y－2＝0与l2：3x－y－4＝0的交点，且斜率为－3的直线l的方程为________________． 解析：方法一：联立解得故l的方程为y－＝－3，即3x＋y－5＝0. 方法二：设直线l：x＋y－2＋λ(3x－y－4)＝0，整理得(1＋3λ)x＋(1－λ)y－2－4λ＝0，由－＝－3，得λ＝，所以直线l的方程为2x＋y－＝0，即3x＋y－5＝0. 答案：3x＋y－5＝0 三　与交点有关的证明问题 　已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条高所在的直线交于一点． 【证明】　由题意得，kAB＝＝，kBC＝＝，kAC＝＝－1，则AB，BC，AC边上的高所在的直线的斜率分别为－，－3，1，则AB，BC，AC边上的高所在直线的方程分别为y－1＝－(x－4)，y－4＝－3(x－1)，y－(－1)＝x－(－2)，联立解得则AB，BC边上的高所在直线的交点坐标为.又AC边上的高所在直线的方程为y＝x＋1，因为点满足方程y＝x＋1，故△ABC的三条高所在的直线交于一点． 证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路： 先求其中两条直线的交点坐标，然后证明这一点在第三条直线上． [跟踪训练3] 已知m为实数，设直线l1的方程为2x＋my＝1，直线l2的方程为mx＋8y＝m－2. (1)若l1与l2平行，求m的值； (2)当l1与l2相交时，用m表示交点A的坐标，并证明点A一定在某一条定直线上． 解：(1)因为l1与l2平行，则 解得m＝－4. (2)由(1)得当l1与l2相交时，m≠－4.联立解得所以点A(，－)，因为x＝＝＝1－＝1＋2y，即x－2y－1＝0(y≠0).因此，点A在定直线x－2y－1＝0(y≠0)上． 1．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B．联立解得所以交点坐标为(－1，1)，在第二象限．故选B． 2．(多选)下列直线中，与直线x＋y－1＝0相交的直线是(　　) A．x＋y＝3 B．x＋y＝0 C．y＝x－3 D．y＝x－1 解析：选CD．易知直线x＋y－1＝0的斜率为－1，所以与直线x＋y－1＝0相交且不重合的直线的斜率必定不为－1，选项A，B中的直线的斜率都是－1且不与直线x＋y－1＝0重合，故A，B不符合题意，选项C，D中的直线的斜率都是1，故C，D符合题意．故选CD． 3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则实数k＝________． 解析：联立解得又该点(－1，－2)也在直线x＋ky＝0上，所以－1－2k＝0，所以k＝－. 答案：－ 4．求经过直线l1：3x＋4y－5＝0，l2：2x－3y＋8＝0的交点M，且满足下列条件的直线l的方程： (1)过原点； (2)与直线3x＋y＋2＝0平行； (3)与直线3x＋y＋2＝0垂直． 解：由解得故点M(－1，2). (1)当直线过原点，可设直线l的方程为y＝kx，代入点M(－1，2)可得k＝－2，故方程为2x＋y＝0. (2)若直线l平行于直线3x＋y＋2＝0，则斜率为－3，故可得方程为y－2＝－3(x＋1)，即3x＋y＋1＝0. (3)若直线l垂直于直线3x＋y＋2＝0，则斜率为，故可得方程为y－2＝(x＋1)，即x－3y＋7＝0. 1．已学习：两条直线的交点、直线系过定点问题． 2．须贯通：(1)利用方程思想求两直线交点的坐标； (2)利用A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，求过两直线交点的直线方程． 3．应注意：对两直线相交条件认识模糊． 学科网（北京）股份有限公司 $