1.4 两条直线的平行与垂直-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x－ay－1＝0的位置关系是(　　) A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 解析：选A．设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，当a＝0时，直线l1：y－1＝0，直线l2：x－1＝0，此时两直线垂直；当a≠0时，直线l1的斜率k1＝－a，直线l2的斜率k2＝，因为k1·k2＝－1，则两直线垂直，综上，两直线位置关系是垂直．故选A． 2．(2024·河南南阳期末)过点(－1，2)且与直线y＝2x＋1垂直的直线方程为(　　) A．2x－y＋4＝0 B．x－2y＋5＝0 C．2x＋y＝0 D．x＋2y－3＝0 解析：选D．与直线y＝2x＋1垂直的直线的斜率k＝－，所以所求的直线方程为y－2＝－(x＋1)，即为x＋2y－3＝0.故选D． 3．(2024·江西抚州金溪一中月考)已知直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：4x＋ny＋3＝0，l3：mx＋6y－1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为(　　) A．－10 B．10 C．－2 D．2 解析：选C．由题意2n－2×4＝0，且2×3－(－1)×4≠0，解得n＝4，2m＋12＝0，解得m＝－6，所以m＋n＝－2.故选C． 4．已知m∈R，“直线l1：mx＋y＝0与l2：9x＋my－m2－1＝0平行”是“m＝±3”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C．直线l1：mx＋y＝0与l2：9x＋my－m2－1＝0平行，则m2－1×9＝0，解得m＝±3，经检验，m＝±3均符合题意．故选C． 5．已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－λ＝0垂直，则tan(－π＋α)＝(　　) A． B．2 C．－ D．－2 解析：选B．设直线l的斜率为k1，直线x＋2y－λ＝0的斜率为k2，由直线x＋2y－λ＝0得出斜率k2＝－，因为直线l与直线x＋2y－λ＝0垂直，所以k1k2＝－1，即－k1＝－1，解得k1＝2，即tan α＝2，所以tan(－π＋α)＝tan α＝2.故选B． 6．(多选)已知直线l：(a＋2)x＋ay－2＝0与直线n：(a－2)x＋3y－6＝0，下列选项正确的是(　　) A．若l∥n，则a＝6或a＝－1 B．若l⊥n，则a＝1 C．直线l恒过点(1，－1) D．若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为y＝－x－2 解析：选AC．对于A，若l∥n，则3(a＋2)＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝6，经检验均符合，故A正确；对于B，若l⊥n，则(a＋2)(a－2)＋3a＝a2＋3a－4＝(a＋4)(a－1)＝0，解得a＝1或a＝－4，故B不正确；对于C，由l：(a＋2)x＋ay－2＝0得a(x＋y)＋2x－2＝0，则得所以直线l恒过点(1，－1)，故C正确；对于D，若直线n在x轴上的截距为6，则＝6，得a＝3，经检验a＝3是原方程的解，所以直线n的方程为x＋3y－6＝0，斜截式为y＝－x＋2，故D不正确．故选AC． 7．(2024·江西九江检测)已知直线mx＋3y－m＝0与直线3x＋my＝m平行，则实数m的值为________． 解析：当m＝0时，两直线显然不平行，因此m≠0，从而＝≠，解得m＝－3. 答案：－3 8．已知点A(－3，－2)，B(6，1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是________． 解析：设P(0，y)，由∠BAP＝90°知，kAB·kAP＝×＝＝－1，解得y＝－11.所以点P的坐标是(0，－11). 答案：(0，－11) 9．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B(－，1)，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2).若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________． 解析：直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，所以kl2＝＝3，因为直线l1经过点A(0，－1)和点B(－，1)，所以kl1＝＝－，因为l1与l2没有公共点，则l1∥l2，所以－＝3，解得a＝－6，经检验满足题意． 答案：－6 10．(2024·江西鹰潭月考)在△ABC中，边AB所在的直线斜率为kAB＝－，其中顶点A的坐标为(－1，1)，顶点C的坐标为(1，2). (1)求AB边上的高所在的直线方程； (2)若CA，CB的中点分别为E，F，求直线EF的方程． 解：(1)由题意知AB边上的高过C(1，2)，kAB＝－，因为AB边上的高所在的直线与AB所在的直线互相垂直，故高线的斜率为3，所以AB边上的高所在的直线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0. (2)由已知A(－1，1)，C(1，2)，故CA的中点为E(0，)，又F是CB的中点，所以EF∥AB，而kAB＝－，所以直线EF的斜率为－，所以直线EF的方程为y－＝－(x－0)，化简可得2x＋6y－9＝0. 11．已知点A(－2，2)，B(6，4)，H(5，2)，H是△ABC的垂心，则点C的坐标为(　　) A．(6，2) B．(－2，2) C．(－4，－2) D．(6，－2) 解析：选D．如图，设点C坐标为(x，y)，直线AH的斜率kAH＝＝0，因为BC⊥AH，而点B的横坐标为6，则x＝6，直线BH的斜率kBH＝＝2，所以直线AC的斜率kAC＝＝－，解得y＝－2，所以点C的坐标为(6，－2).故选D． 12．如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) 解析：选A．如图所示， 因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标．故选A． 13．设点P(2，5)关于直线x＋y＝1的对称点为Q，则点Q的坐标为________，过点Q且与直线x＋y－3＝0垂直的直线方程为_________________． 解析：依题意，设Q(a，b)，则 解得即点Q的坐标为(－4，－1)，设与直线x＋y－3＝0垂直的直线方程为x－y＋c＝0，将Q(－4，－1)代入该式，得－4＋1＋c＝0，故c＝3，所以所求直线方程为x－y＋3＝0. 答案：(－4，－1)　x－y＋3＝0 14．(2024·河南南阳检测)已知三条直线l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，l3：x＋2y＋3＝0. (1)若l1⊥l2，且l1过点(－1，1)，求实数a，b的值； (2)若l1∥l2∥l3，求实数a，b的值． 解：(1)因为l1：ax＋by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，且l1⊥l2，所以a(a－1)＋b＝0，又直线l1过点(－1，1)，所以－a＋b＋4＝0，所以b＝a－4，所以a(a－1)＋(a－4)＝0，解得或 (2)若l1∥l2∥l3，则解得 当时，l1：x＋3y＋4＝0，即l1：3x＋6y＋8＝0，l2：x＋y＋3＝0，即l2：x＋2y＋6＝0，满足l1∥l2∥l3，所以若l1∥l2∥l3，a＝，b＝3. 15．若直线l的方程为f(x，y)＝0，点A(a，b)在直线l上，B(m，n)不在直线l上，则以下命题中正确命题的个数是(　　) ①直线f(x，y)＋f(m，n)＝0与直线l平行； ②点B在直线f(x，y)－f(m，n)＝0上； ③直线f(x，y)＋f(a，b)＋f(m，n)＝0与直线l平行； ④点A在直线f(x，y)＋f(a，b)－f(m，n)＝0上． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C．由题意知直线l的方程为f(x，y)＝0，不妨设为l：Ax＋By＋C＝0，而点A(a，b)在直线l上，B(m，n)不在直线l上，故f(a，b)＝0，f(m，n)≠0，即Aa＋Bb＋C＝0，Am＋Bn＋C≠0，对于①，直线f(x，y)＋f(m，n)＝0，即Ax＋By＋Am＋Bn＋2C＝0，由于Am＋Bn＋C≠0，故Am＋Bn＋2C≠C，故直线f(x，y)＋f(m，n)＝0与直线l平行，可知①正确；对于②，f(m，n)≠0，将B(m，n)坐标代入f(x，y)－f(m，n)＝0，即f(m，n)－f(m，n)＝0，故点B在直线f(x，y)－f(m，n)＝0上，可知②正确；对于③，因为f(a，b)＝0，故直线f(x，y)＋f(a，b)＋f(m，n)＝0，即f(x，y)＋f(m，n)＝0，结合①的分析，可知③正确；对于④，由于f(a，b)＝0，f(m，n)≠0，将A(a，b)坐标代入f(x，y)＋f(a，b)－f(m，n)＝0，得f(a，b)＋f(a，b)－f(m，n)＝0，即－f(m，n)＝0，该式不成立，故点A不在直线f(x，y)＋f(a，b)－f(m，n)＝0上，④错误，故正确命题的个数是3，故选C． 16．如图，已知△ABC的顶点为A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线． (1)求高AD所在直线的方程； (2)求AE所在直线的方程．(提示：在上取与长度相等的向量，则＝＋的方向就是的方向) 解：(1)依题意，直线BC的斜率kBC＝＝－，于是BC边上高AD所在直线的斜率kAD＝，所以直线AD的方程为y＋1＝(x－1)，即4x－3y－7＝0. (2)依题意，＝(2，1)，＝(－2，4)，||＝||，而||＝，||＝2，则AB1＝＝＝(－1，2)，令＝＋＝(1，3)，显然AE1平分∠BAC，于是∠BAC的平分线AE所在直线的一个方向向量为AE1＝(1，3)，即直线AE的斜率为3，所以直线AE的方程为y＋1＝3(x－1)，即3x－y－4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $