1.4 两条直线的平行与垂直-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．4　两条直线的平行与垂直 学习目标 1.结合教材实例理解直线平行或垂直的判定条件．　2.结合教材实例会利用斜率解决与两条直线平行或垂直相关的问题．　3.会用斜率判定两条直线的位置关系，能利用斜率解决相关的问题． 一　两条直线平行 对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔________．若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相________________． [答案自填] k1＝k2　平行或重合 　(1)(多选)下列各组直线中，l1与l2一定平行的是(　　) A．l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7) B．l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3) C．l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2) D．l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5) (2)已知点P(－2，m)，Q(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若PQ∥MN，则实数m的值是________． 【解析】　(1)对于A，由题意知k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2，A正确；对于B，由题意知k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合，B错误；对于C，由题意知k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合，C错误；对于D，由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2，D正确．故选AD． (2)当m＝－2时，直线PQ的斜率不存在，而此时直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不符合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而此时直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不符合题意；当m≠－2，且m≠－1时，kPQ＝＝，kMN＝＝.因为PQ∥MN，所以kPQ＝kMN，即＝，解得m＝0或m＝1.经检验，当m＝0或m＝1时，直线MN，PQ不重合．综上所述，实数m的值为0或1. 【答案】　(1)AD　(2)0或1 两条直线平行时斜率的关系要注意以下几点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2. (3)对于两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)和l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)平行，可得A1B2－A2B1＝0，且C1B2－C2B1≠0或A1C2－A2C1≠0. [跟踪训练1] (1)若直线l1：ax＋4y＋8＝0与直线l2：3x＋(a＋1)y－6＝0平行，则a的值为(　　) A．3 B．－4 C．3或－4 D．－3或4 解析：选A．因为直线l1：ax＋4y＋8＝0与直线l2：3x＋(a＋1)y－6＝0平行，所以解得a＝3.故选A． (2)已知过A(－1，a)，B(a，8)两点的直线与直线4x－2y－5＝0平行，则a的值为(　　) A．－10 B．17 C．5 D．2 解析：选D．因为直线AB与直线4x－2y－5＝0平行，所以kAB＝＝2，解得a＝2.经验证可知，当a＝2时，点A，B不在直线4x－2y－5＝0上，即直线AB与直线4x－2y－5＝0不重合，故a＝2.故选D． 二　两条直线垂直 对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔________．特殊地，当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，说明斜率不存在的直线与x轴垂直，因此，若l1⊥l2，则另一条直线与x轴平行或重合，即另一条直线的斜率为0. [答案自填] k1k2＝－1 　(1)(2024·河南南阳检测)已知直线l1的一个方向向量为n1＝(－1，2)，直线l2的一个方向向量为n2＝(m，6)，若l1⊥l2，则m＝(　　) A．－6 B．6 C．－12 D．12 (2)已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)三点，则△ABC为________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”) 【解析】　(1)因为l1⊥l2，所以直线l1的方向向量与直线l2的方向向量垂直，所以－m＋12＝0，解得m＝12.故选D． (2)如图，猜想AB⊥BC，△ABC是直角三角形，由题可得边AB所在直线的斜率kAB＝－，边BC所在直线的斜率kBC＝2，由kABkBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形． 【答案】　(1)D　(2)直角 两条直线垂直时斜率的关系要注意以下几点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． (4)对于两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)和l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)垂直，可得A1A2＋B1B2＝0. [跟踪训练2] (1)已知直线l1：x－3y＋1＝0与直线l2垂直，则l2的斜率为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B．直线l1：x－3y＋1＝0的斜率k＝，又直线l2⊥l1，所以直线l2的斜率为－.故选B． (2)已知直线l：(a＋1)x－3ay＋a＋4＝0与y轴垂直，则a为(　　) A．－1 B．0 C．－4 D．－1或0 解析：选A．因为l：(a＋1)x－3ay＋a＋4＝0与y轴垂直，所以直线l的斜率为0，所以a＋1＝0，且－3a≠0，解得a＝－1.故选A． 三　利用平行、垂直关系求直线方程 　已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0.求： (1)过点A和直线l平行的直线方程； (2)过点A和直线l垂直的直线方程． 【解】　(1)方法一：利用直线方程的点斜式求解．由直线l：3x＋4y－20＝0，得kl＝－.设过点A且平行于l的直线为l1，则直线l1的斜率kl1＝kl＝－，所以l1的方程为y－2＝－(x－2)，即3x＋4y－14＝0. 方法二：利用直线系方程求解．设过点A且平行于直线l的直线为l1，则直线l1的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－20).由点A(2，2)在直线l1上，得3×2＋4×2＋m＝0，解得m＝－14，所以l1的方程为3x＋4y－14＝0. (2)方法一：设过点A与l垂直的直线为l2，直线l的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.因为k1k2＝－1，所以k2＝，故直线l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0. 方法二：设过点A且垂直于直线l的直线l2的方程为4x－3y＋m＝0.因为l2经过点A(2，2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2.故l2的方程为4x－3y－2＝0. 求直线方程的巧妙设法 (1)求与直线y＝kx＋b平行的直线方程时，根据两直线平行的条件可设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法求参数m的值． (2)求与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程时，可设方程为Ax＋By＋m＝0(A，B不同时为0，且m≠C)，代入已知条件求出m即可． (3)求与直线y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线方程时，根据两直线垂直的条件可设方程为y＝－x＋m(k≠0)，然后通过待定系数法求参数m的值． (4)求与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程时，可设方程为Bx－Ay＋m＝0(A，B不同时为0)，然后通过待定系数法求出m即可． [跟踪训练3] 已知直线l1：2x＋y－2＝0，l1与x轴、y轴的交点分别为A，B.直线l2经过A点且倾斜角为. (1)求直线l2的一般式方程； (2)求线段AB的中垂线方程． 解：(1)设直线l2的斜率为k2，则k2＝tan ＝1，对于l1：2x＋y－2＝0，令y＝0，得x＝1，所以A(1，0)，由直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)，代入可得，y－0＝1×(x－1)，化简得x－y－1＝0，所以所求的直线l2的一般式方程为x－y－1＝0. (2)设线段AB的中垂线斜率为k，线段AB的中点为C，设直线l1的斜率为k1，由直线l1：2x＋y－2＝0可得y＝－2x＋2，则k1＝－2，令x＝0，得y＝2，所以B(0，2)，由中点坐标公式可知，C(，)，即C(，1)，由垂直关系可知，kk1＝－1，解得k＝.由直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)，代入可得，y－1＝×(x－)，化简得2x－4y＋3＝0，即线段AB的中垂线方程是2x－4y＋3＝0. 四　平行、垂直关系的综合应用 　已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2，2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形． 【解】　如图1，当∠A＝∠D＝90°时，因为四边形ABCD为直角梯形，所以AB∥DC，且AD⊥AB.因为kDC＝0，所以m＝2，n＝－1.如图2，当∠A＝∠B＝90°时，因为四边形ABCD为直角梯形，所以AD∥BC，且AB⊥BC，所以kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1.所以＝，·＝－1，解得m＝，n＝－.综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－. 　　 利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤：在平面直角坐标系中描出给定的点，观察图形的可能形状，根据给定点的坐标求直线的斜率，再由斜率之间的关系判断准确的形状． [跟踪训练4] 已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，是否存在m∈R使△ABC为直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 解：存在．如图，若A为直角，则AC⊥AB，点C位于C1位置，所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，解得m＝－7；若B为直角，则BC⊥AB，点C位于C2位置，所以kBC·kAB＝－1，即·＝－1， 解得m＝3；若C为直角，则AC⊥BC，点C位于C3或C4位置，所以kAC·kBC＝－1，即·＝－1，解得m＝±2.综上所述，当m＝－7或m＝3或m＝±2时，△ABC为直角三角形． 易错点 忽视两直线平行的条件致错 [典例展示]　(2024·广西钦州检测)“a＝”是“直线x＋2ay－1＝0和直线(a－1)x＋ay＋1＝0平行”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 [错解展示]　若直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则有1×a＝2a×(a－1)，解得a＝0或a＝.所以“a＝”是“直线x＋2ay－1＝0和直线(a－1)x＋ay＋1＝0平行”的充分不必要条件．故选C． 正解：若直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则有1×a＝2a×(a－1)，解得a＝0或a＝.当a＝0时，直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x＋ay＋1＝0重合，舍去，所以，由直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x＋ay＋1＝0平行，解得a＝，所以“a＝”是“直线x＋2ay－1＝0和直线(a－1)x＋ay＋1＝0平行”的充要条件．故选A． 答案：A [易错警示]　设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且C1B2－C2B1≠0或A1C2－A2C1≠0.由A1B2－A2B1＝0求得的参数值需回代检验是否符合题意． 1．下列说法中正确的是(　　) A．若两条直线斜率相等，则两直线平行 B．若l1∥l2，则kl1＝kl2 C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交 D．若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行 解析：选C．两直线的斜率相等，两直线平行或重合，故A不正确；当l1∥l2时，两直线的斜率存在且相等或都不存在，故B不正确，C显然正确；当两直线的斜率都不存在时，两直线平行或重合，故D不正确．故选C． 2．(2024·江西南昌月考)已知直线l1：x－3y＋1＝0，若直线l2与l1平行，则l2的斜率为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：选C．设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为直线l1：x－3y＋1＝0，所以直线l1的斜率k1＝，因为直线l2与l1平行，所以k2＝k1＝，所以直线l2的斜率为.故选C． 3．若直线x＝1－2y与2x＋4y＋m＝0重合，则实数m＝________． 解析：由2x＋4y＋m＝0，得x＝－2y－，因为x＝1－2y与2x＋4y＋m＝0重合，所以－＝1，解得m＝－2. 答案：－2 4．已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，m＋2). (1)若l1∥l2，求实数m的值； (2)若l1⊥l2，求实数m的值． 解：(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，由题知直线l2的斜率存在且k2＝＝－，若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2，得＝－，解得m＝1或m＝6，经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2. (2)若l1⊥l2，当k2＝0时，此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意；当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，且k1·k2＝－1，即－·＝－1，解得m＝3或m＝－4，所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2. 1．已学习：两条直线平行与垂直的判定及应用． 2．须贯通：(1)利用直线的斜率判断平面图形的形状时，一般先由图形进行猜测，然后利用直线的斜率关系进行判断； (2)探究及应用两直线平行、垂直的条件体现了数形结合、分类讨论的思想方法． 3．应注意：(1)研究两直线平行、垂直关系时不要忽略直线斜率为0或不存在的情况； (2)当两直线的斜率相等时，这两条直线可能平行，也可能重合． 学科网（北京）股份有限公司 $