1.3 第3课时 直线方程的一般式-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．若方程(m2－1)x＋(m2－m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足(　　) A．m≠0 B．m≠1 C．m≠－1 D．m≠1且m≠－1且m≠0 解析：选B．当m2－1＝0时，m＝1或m＝－1；当m2－m＝0时，m＝0或m＝1.要使方程(m2－1)x＋(m2－m)y＋1＝0表示一条直线，则m2－1，m2－m不能同时为0，所以m≠1.故选B． 2．已知直线l过点(5，4)，且方向向量为m＝(1，2)，则(　　) A．直线l的点斜式方程为y－5＝2(x－4) B．直线l的斜截式方程为x＝y＋3 C．直线l的截距式方程为－＝1 D．直线l的一般式方程为2x－y－6＝0 解析：选D．因为直线l的方向向量为m＝(1，2)，所以直线l的斜率为2.因为直线l过点(5，4)，所以直线l的点斜式方程为y－4＝2(x－5)，化为一般式2x－y－6＝0，故A错误，D正确；化为斜截式y＝2x－6，故B错误；化为截距式＋＝1，故C错误．故选D． 3．(2024·江苏无锡检测)如果AB>0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C．由AB>0且BC<0，可得A，B同号，B，C异号，所以A，C也是异号．令x＝0，得y＝－>0；令y＝0，得x＝－>0，又斜率为－<0，所以直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限．故选C． 4．(2024·陕西西安月考)已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角为，则a－b＝(　　) A．0 B．1 C．－2 D．2 解析：选D．因为直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，所以0×a＋b×(－1)－1＝0，所以b＝－1，则直线方程可化为y＝ax－1，又因为直线的倾斜角为，所以a＝tan ＝1，所以a－b＝2.故选D． 5．(多选)关于直线l：x＋y＋2＝0，下列说法正确的有(　　) A．斜率为 B．倾斜角为150° C．在x轴上的截距为－2 D．直线l不经过第一象限 解析：选BCD．设直线l的倾斜角为α，直线l：x＋y＋2＝0，其斜率为＝－，由tan α＝－得，直线l的倾斜角为150°，故A错误，B正确；将直线化为截距式为＋＝1 ，故直线l在x轴上的截距为－2，故C正确；直线l在y轴上的截距为，且斜率小于零，故直线l，不经过第一象限，故D正确．故选BCD． 6．(多选)下列说法正确的是(　　) A．过点A(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5 B．直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1，3) C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1) D．直线2x－y－1＝0在x轴上的截距为，在y轴上的截距为－1 解析：选BD．对于A，当直线在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为y＝kx，又直线过点A(－2，－3)，则－3＝－2k，解得k＝，此时直线方程为y＝x，满足题意，所以A错误；对于B，直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0可化为(2x＋y－5)m＋2x－3y＋7＝0，由方程组解得即直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1，3)，所以B正确；对于C，当倾斜角θ＝时，此时直线的斜率不存在，tan θ无意义，所以C错误；对于D，直线2x－y－1＝0，令y＝0，解得x＝；令x＝0，解得y＝－1，故直线2x－y－1＝0在x轴上的截距为，在y轴上的截距为－1，所以D正确．故选BD． 7．方程①lg x－lg y＝1；②lg (x－y)＝1；③＝1，④3x－2y＝2中，能表示一条直线的方程是________．(填序号) 解析：lg x－lg y＝lg ＝1，即y＝x，x>0，y>0，表示直线位于第一象限的部分，不合题意，①错误；lg (x－y)＝1，即x－y＝10，表示一条直线，故②正确；＝1，即|x－y|＝1，即x－y＝1或y－x＝1，表示两条直线，不合题意，③错误；3x－2y＝2，即x－2y＝log32，表示一条直线，④正确．故能表示一条直线的方程是②④. 答案：②④ 8．若直线的截距式＋＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0，且a>0，则a＋b＝________． 解析：由＋＝1，得y＝－x＋b，一般式为bx＋ay－ab＝0，所以即解得或因为a>0，所以a＝2，b＝4，所以a＋b＝6. 答案：6 9．已知直线l：(m2＋1)x－2y＋1＝0(m为常数)，若直线l的斜率为，则m＝_____________________；若m＝－1，直线l的倾斜角为________． 解析：因为直线l：(m2＋1)x－2y＋1＝0(m为常数)，直线l的斜率为，所以＝，解得m＝0.因为直线l：(m2＋1)x－2y＋1＝0(m为常数)，m＝－1，所以直线l的斜率k＝＝1，所以直线l的倾斜角为45°. 答案：0　45° 10．(2024·江西南昌检测)已知点A(2，3)，B(－3，－2). (1)求直线AB的方程，并化成一般式； (2)若线段AB中点为M，点P(1，1)，求直线PM在两坐标轴上的截距． 解：(1)由题设，kAB＝＝1，故直线AB的方程为y－3＝x－2，所以直线AB的方程的一般式为x－y＋1＝0. (2)由题意知M(－，)，P(1，1)，则kPM＝＝，直线PM：y－1＝(x－1)化简得y＝x＋，在x轴上的截距为－2，在y轴上的截距为. 11．已知直线l1：mx－y＋2m－1＝0过定点P，若点P在直线l2：Ax＋By＋2＝0上，且AB>0，则＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D．因为直线l1：mx－y＋2m－1＝0可化为m(x＋2)－(y＋1)＝0，令解得所以定点P(－2，－1)，又因为点P在直线l2：Ax＋By＋2＝0上，所以2A＋B＝2，则＋＝×(2A＋B)(＋)＝×(4＋＋)≥×(4＋2)＝4，当且仅当＝，即A＝，B＝1时取等号，所以＋的最小值为4.故选D． 12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．已知在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A(0，0)，B(8，0)，C(0，6)，则△ABC的“欧拉线”方程为(　　) A．3x＋4y－3＝0 B．3x－4y＝0 C．3x－4y＋3＝0 D．3x＋4y＝0 解析：选B．因为直线AB的斜率为＝0，直线AC的斜率不存在，所以∠CAB为直角，即△ABC是直角三角形，则垂心为直角顶点A(0，0)，外心为斜边BC的中点M(4，3).因为点A，M所在直线的斜率为＝，所以“欧拉线”的方程为y＝x，即3x－4y＝0.故选B． 13．(2024·安徽淮北期末)已知直线l过点P(－2，3)且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若P恰为线段AB的中点，则直线l的方程为_____________________． 解析：设点A(x，0)，B(0，y)，由中点坐标公式得解得由直线l过点A(－4，0)，B(0，6)，所以直线l的方程为＋＝1，即3x－2y＋12＝0. 答案：3x－2y＋12＝0 14．在①直线BC的斜率为；②直线AC的斜率为这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答下面的问题． 已知以A为顶角的等腰三角形ABC的顶点A(－1，2)，B(－3，2)，________． (1)求直线AC的一般式方程； (2)求直线BC的一般式方程； (3)求∠A的平分线所在直线的一般式方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：因为A(－1，2)，B(－3，2)， 所以AB∥x轴．选条件①， (1) 直线BC的斜率为，则直线BC的倾斜角为30°，因为△ABC是以A为顶角的等腰三角形，所以直线AC的倾斜角为60°，如图所示．因为A(－1，2)，AC的斜率为tan 60°＝，所以直线AC的方程为y－2＝(x＋1)，其一般式方程为x－y＋2＋＝0. (2)因为B(－3，2)，所以直线BC的方程为y－2＝(x＋3)，其一般式方程为x－3y＋6＋3＝0. (3)由(1)可知，∠A的平分线所在直线的倾斜角为120°，斜率为－，所以∠A的平分线所在直线的方程为y－2＝－(x＋1)，一般式方程为x＋y－2＋＝0. 选条件②， (1)因为A(－1，2)，直线AC的斜率为，所以直线AC的方程为y－2＝(x＋1)，其一般式方程为x－y＋2＋＝0. (2) 直线AC的斜率为，则直线AC的倾斜角为60°，因为△ABC是以A为顶角的等腰三角形，所以直线BC的倾斜角为30°或120°，如图所示．因为B(－3，2)，直线BC的斜率为或－，所以直线BC的方程为y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，其一般式方程为x－3y＋6＋3＝0或x＋y＋3－2＝0. (3)由(2)可知，∠A的平分线所在直线的倾斜角为120°或30°，其斜率为－或，所以∠A的平分线所在直线的方程为y－2＝－(x＋1)或y－2＝(x＋1)，一般式方程为x＋y－2＋＝0或x－3y＋6＋＝0. 15．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)(a1≠a2，且b1≠b2)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是(　　) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y＋1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0 解析：选B．把点A(2，1)代入直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2＋1＝0，所以2(a1－a2)＝b2－b1.过点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程是＝，所以y－b1＝－2(x－a1)，则2x＋y－(2a1＋b1)＝0.因为2a1＋b1＋1＝0，所以2a1＋b1＝－1，所以所求直线方程为2x＋y＋1＝0.故选B． 16．(2024·陕西安康检测)已知直线l1：ax＋2y－12＝0，直线l2过点A(－4，1)，________．在①直线l2的斜率是直线y＝－x的斜率的2倍；②直线l2不过原点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题． (1)求l2的一般式方程； (2)若l1与l2在x轴上的截距相等，求实数a的值． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)选①：由题意可设直线l2的方程为y－1＝k(x＋4)，因为直线l2的斜率是直线y＝－x的斜率的2倍，所以k＝－，所以直线l2的方程为y－1＝－(x＋4)，即x＋2y＋2＝0.选②：由题意可设直线l2的方程为＋＝1，m≠0，因为直线l2过点A(－4，1)，所以＋＝1，解得m＝－1.所以直线l2的方程为＋＝1，即x＋2y＋2＝0. (2)由(1)可知直线l2的方程为x＋2y＋2＝0，令y＝0，可得x＝－2，所以直线l2在x轴上的截距为－2，所以直线l1在x轴上的截距为－2.故直线l1过点(－2，0)，代入ax＋2y－12＝0，得－2a＋2×0－12＝0，解得a＝－6. 学科网（北京）股份有限公司 $