1.3 第3课时 直线方程的一般式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

第3课时　直线方程的一般式 学习目标 1.结合教材实例了解关于x，y的二元一次方程与直线的关系．　2.掌握直线方程的一般式．　3.了解直线方程的几种形式的关系，能灵活利用直线的几种形式解决问题． 一　直线方程的一般式、点法式 1．直线方程的一般式 关于x，y的二元一次方程______________(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式． 点拨　(1)当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； (2)当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； (3)当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； (4)当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； (5)当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 2．直线方程的五种形式 (1)直线方程五种形式的比较 名称 已知条件 标准方程 适用范围 点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k ________ 不垂直于x轴的直线 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b ________ 不垂直于x轴的直线 两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2) ＝ 不垂直于x，y轴的直线 截距式 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零 ＋＝1 不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线 一般式 两个独立的条件 ________ A，B不全为零 (2)直线方程的一般式与其他四种形式的转化 3．*直线方程的点法式 与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量，直线的法向量和方向向量都反映了直线的方向，已知直线l经过点P(x0，y0)，且它的一个法向量为n＝(A，B)，设直线l上的任意一点M的坐标为(x，y)，则＝(x－x0，y－y0).由n·＝0，可得A(x－x0)＋B(y－y0)＝0.①方程①是直线l的方程，称这个方程为直线方程的点法式． [答案自填] Ax＋By＋C＝0　y－y1＝k(x－x1) y＝kx＋b　Ax＋By＋C＝0 　由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式： (1)斜率是－，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(4，2)，平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3， (4)经过两点A(3，－2)，B(5，－4)； (5)在x轴上的截距是－7，倾斜角是45°； (6)倾斜角为60°，与y轴的交点到x轴的距离是3. 【解】　(1)由点斜式得y＋2＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0. (2)因为直线平行于x轴，所以斜率等于0， 由点斜式得y－2＝0×(x－4)，即y－2＝0. (3)因为在x轴和y轴上的截距分别是，－3，所以直线方程的截距式为＋＝1，即2x－y－3＝0. (4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0. (5)斜率k＝tan 45°＝1，由点斜式得y－0＝x＋7，即x－y＋7＝0. (6)斜率为tan 60°＝，因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3，所以直线在y轴上的截距为±3，所以直线方程的斜截式为y＝x＋3或y＝x－3，即x－y＋3＝0或x－y－3＝0. 根据已知条件求直线方程的解题策略 在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，再化为一般式方程，一般选用规律为： (1)已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式； (2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式； (3)已知直线上两点坐标时，选用两点式； (4)已知直线在x轴、y轴上的截距时，选用截距式． [跟踪训练1] (1)经过点(－2，1)，且倾斜角为135°的直线的一般式方程为(　　) A．x－y＋3＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x＋y－1＝0 解析：选C．因为倾斜角为135°，所以斜率为tan 135°＝－1，由点斜式可得直线的方程为y－1＝－(x＋2)，化简得x＋y＋1＝0.故选C． (2)若直线l的一个方向向量为a＝(2，4)，且l过点A(2，－3)，则直线l的方程为_____________________________________________． 解析：因为直线l的一个方向向量为a＝(2，4)，所以k＝＝2，故所求直线方程为y＋3＝2(x－2)，即2x－y－7＝0. 答案：2x－y－7＝0 二　含参数的直线方程的一般式 　已知直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)证明：无论a为任意实数，直线l经过定点． 【解】　(1)当直线过原点，即2－a＝0，a＝2时，该直线在x轴和y轴上的截距均为零，截距相等，所以a＝2满足条件，此时l的方程为3x＋y＝0；当a＝－1时，直线平行于x轴，在x轴上无截距，不符合题意；当a≠－1，且a≠2时，令x＝0，得y＝a－2，令y＝0，得x＝，所以＝a－2，得a＋1＝1，即a＝0，此时直线在x轴、y轴上的截距都为－2，l的方程为x＋y＋2＝0.综上，当l在两坐标轴上的截距相等时，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)证明：因为l：(a＋1)x＋y＋2－a＝0，可化为a(x－1)＋x＋y＋2＝0，令解得 所以无论a为任意实数，直线l经过定点(1，－3). 【变式探究】 (设问变式)对于本例中的直线l，是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：存在．假设存在实数a，使直线l不经过第二象限．将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，则有解得a≤－1.所以存在实数a，使直线l不经过第二象限，此时实数a的取值范围是(－∞，－1]. (1)已知含参数的直线的一般式方程求参数的步骤 (2)直线恒过定点的求解策略 ①将方程化为点斜式，求得定点的坐标． ②将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点． [跟踪训练2] (1)如果对任何实数k，直线(3＋k)x＋(1－2k)y＋1＋5k＝0都过一个定点A，那么点A的坐标是________． 解析：方法一：一般取任意两个k值，解二元一次方程就可以了．但是取合适的k值会使计算简化，一般使一个未知数的系数为0.取k＝－3，方程就是7y－14＝0，即y＝2；取k＝0.5，方程就是3.5x＋3.5＝0，x＝－1，所以A点的坐标是(－1，2)，将A点坐标代入方程得－(3＋k)＋2(1－2k)＋1＋5k＝0，所以直线恒经过A点． 方法二：将k当作未知数，将方程写成(x－2y＋5)k＋3x＋y＋1＝0，对于任意k值，等式成立，所以解得所以A点的坐标是(－1，2). 答案：(－1，2) (2)设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3).若直线l的斜率为－1，则k＝________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和为0，则k＝________. 解析：因为k≠3，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，若直线l的斜率为－1，则－＝－1，解得k＝5.直线l的方程也可化为＋＝1，若直线l在x轴、y轴上的截距之和为0，则k－3＋2＝0，解得k＝1. 答案：5　1 三　直线方程的一般式的综合应用 　已知直线l1：ax－2y－2a＋4＝0和直线l2：2x－(1－a2)y－2－2a2＝0，当实数a的值在区间(0，2)内变化时，求直线l1，l2与两坐标轴围成的四边形面积的最小值． 【解】　将直线ax－2y－2a＋4＝0化为y－2＝(x－2)，得直线l1恒过定点(2，2)，当x＝0时，y＝2－a>0；将直线2x－(1－a2)y－2－2a2＝0化为2x－y－2＋a2(y－2)＝0，由得即直线l2恒过定点(2，2)，当y＝0时，x＝1＋a2>0. 如图，在平面直角坐标系中取点B(2，2)，连接OB，过点B作出直线l1，l2的大致图象，l1与y轴交于点C，l2与x轴交于点A.则在△OAB中，OA边上的高为2，在△OBC中，OC边上的高为2，点A的坐标为(1＋a2，0)，点C的坐标为(0，2－a).所以S四边形OABC＝S△OAB＋S△OBC＝×2×(1＋a2)＋×2×(2－a)＝a2－a＋3＝＋，因为0＜a＜2，所以当a＝时，所求四边形OABC的面积最小，最小值为. 利用直线方程的一般式，可以确定直线的斜率、截距、交点等特征，解决和直线有关的最值问题，可以建立目标函数，利用求函数最值的方法求解． [跟踪训练3] (1)已知直线y＝x－1的倾斜角为α，直线l的倾斜角β＝2α，且过点M(2，－1)，求直线l的方程． (2)已知直线l过点P(－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程． 解：(1)直线y＝x－1的倾斜角α＝，则β＝2α＝，于是得直线l的斜率k＝tan β＝，又直线l过点M(2，－1)，则y＋1＝(x－2)，整理得x－y－2－1＝0，所以直线l的方程是x－y－2－1＝0. (2)依题意，直线l的斜率存在且不为0，设其方程为y－3＝k(x＋2)，k≠0，则直线l交x轴于点A(－2－，0)，交y轴于点B(0，3＋2k)，于是得△AOB的面积S＝|OA|·|OB|＝|2＋|·|3＋2k|＝|12＋4k＋|＝4，即12＋4k＋＝8或12＋4k＋＝－8，方程12＋4k＋＝8，即4k2＋4k＋9＝0，无解；方程12＋4k＋＝－8，即4k2＋20k＋9＝0，解得k＝－或k＝－，当k＝－时，直线l方程是x＋2y－4＝0，当k＝－时，直线l方程是9x＋2y＋12＝0.所以直线l的方程是x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0. 1．(2024·安徽阜阳检测)直线x－y－＝0的倾斜角为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由x－y－＝0得y＝x－1，所以该直线的斜率为，设该直线的倾斜角为θ，因此有tan θ＝，又θ∈[0，π)，所以θ＝，故选A． 2．(2024·江西南昌月考)已知直线l的一个方向向量为a＝(2，－1)，且经过点A(1，0)，则直线l的方程为(　　) A．x－y－1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－2y－1＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：选D．因为直线l的一个方向向量为a＝(2，－1)，所以直线l的斜率k＝＝－，又直线l经过点A(1，0)，所以直线l的方程为y＝－(x－1)，即x＋2y－1＝0.故选D． 3．已知直线的倾斜角α＝30°，且过点A(4，3)，则该直线的一般式方程为________________． 解析：因为直线的倾斜角α＝30°，所以直线的斜率k＝tan 30°＝，又因为直线过点A(4，3)，所以直线的方程为y－3＝(x－4)，化为一般式方程为x－y＋3－4＝0. 答案：x－y＋3－4＝0 4．写出下列直线的一般式方程． (1)经过点B(－，2)，倾斜角是30°； (2)经过点C(1，3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的. 解：(1)因为直线经过点B(－，2)，倾斜角是30°，所以斜率为，所以直线的点斜式方程为y－2＝(x＋)，即x－y＋2＋＝0. (2)设所求直线的斜率为k，则依题意得k＝－4×＝－，又直线经过点C(1，3)，所以所求直线方程为y－3＝－(x－1)，即4x＋3y－13＝0. 1．已学习：直线方程的一般式． 2．须贯通：求直线的一般式方程及应用直线的一般式方程体现了分类讨论与化归转化的思想方法． 3．应注意：忽略直线斜率不存在的情况及两直线重合的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $