1.3 第2课时 直线方程的两点式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

第2课时　直线方程的两点式 学习目标 1.结合教材实例掌握直线方程的两点式、截距式．　2.会求直线方程的两点式、截距式，能利用直线方程的两点式、截距式解决相应的问题． 一　直线方程的两点式 名称 已知条件 示意图 方程 适用范围 两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(其中x1≠x2，y1≠y2) _______ 不与坐标轴平行或重合的直线 点拨　(1)当直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为零(y1＝y2)时，不能用两点式表示． (2)如果将直线两点式方程转化为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，此时只要直线上两点不重合，都可以用上述公式表示出来(这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线). (3)两点式方程与这两个点的顺序无关． [答案自填] ＝ 　(1)过两点(0，3)，(2，1)的直线方程为(　　) A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0 C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0 (2)若直线l经过两点A(1，0)，B(m，1)，则直线l的方程是____________________． 【解析】　(1)方法一：因为0≠2且3≠1，所以直线的方程为＝，整理得x＋y－3＝0.故选B． 方法二：由两点(0，3)，(2，1)，可得过两点的直线的斜率为k＝＝－1， 又由直线的点斜式方程，可得y－3＝－1×(x－0)，即x＋y－3＝0.故选B． (2)当m≠1时，直线l的方程是＝，即x－(m－1)y－1＝0；当m＝1时，直线l的方程为x＝1.综上所述，直线l的方程是x－(m－1)y－1＝0. 【答案】　(1)B　(2)x－(m－1)y－1＝0 求直线的两点式方程的注意点 (1)适用条件：两点的连线不平行或重合于坐标轴． (2)差的顺序性：一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系． [注意]　已知两点坐标，求过这两点的直线方程也可以先求斜率，再代入点斜式得到直线的方程． [跟踪训练1] (1)已知直线l过点A(－1，1)，B(2，4)，则直线l的方程为(　　) A．y＝x－2 B．y＝－x－2 C．y＝－x＋2 D．y＝x＋2 解析：选D．因为－1≠2且1≠4，所以直线l的方程为＝，整理得y＝x＋2，所以直线l的方程为y＝x＋2.故选D． (2)已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为(　　) A．－ B． C．－ D． 解析：选A．由两点式方程＝，知直线l过点(－5，0)，(3，－3)，所以l的斜率为＝－. 二　直线方程的截距式 名称 已知条件 示意图 方程 适用范围 截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b(其中ab≠0)　 ______ 不与坐标轴平行或重合且不过原点的直线 [答案自填] ＋＝1 思考　直线方程的截距式和两点式有什么关系？ 提示：截距式方程是两点式的一种特殊情况，两个点是直线与坐标轴的交点． 　求过点A(5，2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 【解】　当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0.当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a，又因为l过点A(5，2)，所以a＝5－2＝3，所以直线l的方程为x－y－3＝0.综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0. 【变式探究】 (条件变式)若将本例中的条件“在两坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其他条件不变，则直线l的方程为________________． 解析：当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0，符合题意．当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，又l过点A(5，2)，所以＋＝1，解得a＝，所以l的方程为x＋2y－9＝0. 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x＋2y－9＝0. 答案：2x－5y＝0或x＋2y－9＝0 利用截距式求直线方程的注意点 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式求直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式求直线方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．如果题中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”等条件时，采用截距式求直线方程，要注意考虑“零截距”的情况． [跟踪训练2] (1)经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：选C．根据直线的截距式方程，可得经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程为＋＝1，即－＝1. (2)(2024·江西南昌检测)已知过点A(1，4)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　) A．x－y＋3＝0 B．x＋y－5＝0 C．4x－y＝0或x＋y－5＝0 D．4x－y＝0或x－y＋3＝0 解析：选D．方法一：当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为y＝4x，即4x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1(a≠0)，因为直线过点A(1，4)，所以－＝1，解得a＝－3，此时直线方程为x－y＋3＝0.故选D． 方法二：易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意．设直线方程为y－4＝k(x－1)(k≠0)，当x＝0时，y＝4－k，当y＝0时，x＝1－，由题意知1－＋4－k＝0，解得k＝4或k＝1，即直线方程为4x－y＝0或x－y＋3＝0.故选D． 三　直线方程的截距式的应用 　已知过点P(4，3)的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A(a，0)，B(0，b). (1)若a＝2b，求直线l的方程； (2)若a<b，且△AOB的面积为27，求直线l的方程． 【解】　(1)由题意知直线l不过原点且不与坐标轴平行，故设直线l的方程是＋＝1，则 解得所以直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－10＝0. (2)设直线l的方程是＋＝1， 则b>a>0，且 解得或(舍去).所以直线l的方程是＋＝1，即3x＋2y－18＝0. 直线方程与三角形的面积、周长之间的关系 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直线方程的截距式，若设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b，则直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S＝|a||b|，周长为C＝|a|＋|b|＋ . [跟踪训练3] (1)已知直线l：＋＝1过点A(2，3)，则直线l与x，y正半轴围成的三角形的面积最小值为(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 解析：选B．因为直线l：＋＝1过点A(2，3)，所以＋＝1，令x＝0，可得y＝n，即直线l与y轴交于点(0，n)，令y＝0，可得x＝m，即直线l与x轴交于点(m，0)，依题意可得m>0，n>0，所以＋＝1≥2，则mn≥24，当且仅当＝，即m＝4，n＝6时取等号，所以直线l与x，y正半轴围成的三角形的面积S＝mn≥12，当且仅当m＝4，n＝6时取等号，即直线l与x，y正半轴围成的三角形的面积最小值为12.故选B． (2)若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________________________． 解析：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.设直线方程为＋＝1，则|a|＝|b|.因为|a|·|b|＝|a|2＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以a＝6时，b＝±6，当a＝－6时，b＝±6，所以直线方程为x±y＋6＝0或x±y－6＝0. 答案：x±y＋6＝0或x±y－6＝0 易错点 对截距分类讨论不全致错 [典例展示]　过点P(1，4)，且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 [错解展示]　设直线在两坐标轴上的截距为a，则＋＝1.将P(1，4)代入，得＋＝1，解得a＝5，故直线方程为x＋y＝5.即过点P(1，4)，且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线有1条．故选A． 正解：当截距为0时，设直线方程为y＝kx，将P(1，4)代入y＝kx，解得k＝4，故方程为y＝4x；当截距不为0时，若截距相等，设方程为＋＝1，将P(1，4)代入，即＋＝1，解得a＝5，故方程为x＋y＝5；若截距互为相反数，设直线方程为－＝1，将P(1，4)代入，即－＝1，解得a＝－3，故方程为x－y＋3＝0.一条是截距为0，一条是截距相等(不为0)，一条是截距互为相反数(不为0)，共3条．故选C． 答案：C [易错警示]　在解决与直线截距有关的问题时，应分直线的截距为0和不为0两种情况考虑． 1．经过点A(－3，2)，B(4，4)的直线的两点式方程为(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 解析：选A．因为直线经过点A(－3，2)，B(4，4)，且－3≠4，2≠4，所以由方程的两点式可得直线方程为＝，即＝.故选A． 2．直线－＋＝－1在x轴、y轴上的截距分别为________． 解析：直线方程－＋＝－1，即＋＝1，根据直线方程的截距式，可得它在x轴、y轴上的截距分别为2，－3. 答案：2，－3 3．已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为______________________________________． 解析：因为A(2，－1)，B(6，1)，则线段AB的中点为E(4，0)，又因为所求直线在y轴上的截距为－3，故所求直线方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0. 答案：3x－4y－12＝0 4．(2024·陕西咸阳月考)已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(－2，6)，C(－8，0)，求： (1)边AB所在直线的方程； (2)边AC上的中线BD所在直线的方程． 解：(1)由直线方程的两点式，得边AB所在直线的方程为＝，即x＋y－4＝0. (2)由题意，得点D的坐标为(－4，2)，由直线方程的两点式，得BD所在直线的方程为＝，即2x－y＋10＝0. 1．已学习：直线方程的两点式、截距式． 2．须贯通：能利用直线方程的两点式、截距式解决相应的问题． 3．应注意：(1)直线方程的两点式和截距式的使用条件； (2)截距相等时需考虑都等于0和都不等于0两种情况． 学科网（北京）股份有限公司 $