1.3 第1课时 直线方程的点斜式-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．(2024·陕西渭南瑞泉中学检测)直线3x－y－1＝0的斜率k及在y轴上的截距b分别是(　　) A．k＝3，b＝1 B．k＝－3，b＝1 C．k＝，b＝－1 D．k＝3，b＝－1 解析：选D．由直线方程3x－y－1＝0，可化为y＝3x－1，得直线的斜率k＝3，在y轴上的截距b＝－1.故选D． 2．(2024·江西南昌检测)已知过点A(1，4)的直线的方向向量为m＝(1，2)，则该直线方程为(　　) A．2x－y＋2＝0 B．2x＋y－6＝0 C．x－2y＋7＝0 D．2x＋2y－10＝0 解析：选A．由于直线的方向向量为m＝(1，2)，故直线的斜率为＝2，故直线的方程为y－4＝2(x－1)，即2x－y＋2＝0.故选A． 3．已知直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有(　　) A．k1<k2且b1<b2 B．k1<k2且b1>b2 C．k1>k2且b1>b2 D．k1>k2且b1<b2 解析：选A．设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，由题图可知90°<α1<α2<180°，所以k1<k2.又b1<0，b2>0，所以b1<b2. 故选A． 4．在同一平面直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象正确的是(　　) 解析：选C．对于A，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零，A中图象不符合题意；对于B，y＝ax过坐标原点，且a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该大于零且斜率为正，B中图象不符合题意；对于C，y＝ax过坐标原点，且a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距应该小于零且斜率为正，C中图象符合题意；对于D，两直线均不过坐标原点，不符合题意． 5．若一条直线过点(－2，3)且直线的一个方向向量为v＝(3，－2)，则该直线的方程为(　　) A．y＝x＋ B．y＝x＋6 C．y＝－x D．y＝－x＋ 解析：选D．该直线的一个方向向量为v＝(3，－2)，故k＝－，又直线过点(－2，3)，所以直线方程为y－3＝－(x＋2)，即y＝－x＋.故选D． 6．(多选)下列说法中正确的有(　　) A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限 B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2) C．过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2) D．斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3 解析：选ABC．对于A，由直线y＝kx＋b过第一、二、四象限，所以直线的斜率k<0，截距b>0，故点(k，b)在第二象限，所以A正确；对于B，由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a(x－3)＋(－y＋2)＝0，所以无论a取何值，点(3，2)都满足方程，所以B正确；对于C，由点斜式方程，可知过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)，所以C正确；对于D，由斜截式方程得到斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，所以D错误．故选ABC． 7．已知直线l：x＝2y＋1，则直线l的斜率k＝________． 解析：将直线l的方程化为斜截式方程可得y＝x－，因此直线l的斜率k＝. 答案： 8．(2024·江西省泰和中学检测)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的点斜式方程为____________． 解析：因为直线经过A(－m，6)，B(1，3m)两点且直线的斜率是12，所以12＝，解得m＝－2.所以点A的坐标为(2，6)，所以直线的点斜式方程为y－6＝12(x－2). 答案：y－6＝12(x－2) 9．已知直线l过点(1，0)，且与直线l1：x＋y－＝0的夹角为，则直线l的方程为______________________________． 解析：由题意得，直线l1斜率为－，则其倾斜角为，所以直线l的倾斜角为或，且过点(1，0)，故直线l的方程为x＝1或y＝－(x－1)，即x＝1或x＋y－1＝0. 答案：x＝1或x＋y－1＝0 10．已知△ABC在第一象限，若A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，求： (1)边AB所在直线的方程； (2)边AC所在直线的点斜式方程． 解：(1)如图所示，直线过点A(1，1)，B(5，1)，可得直线AB的斜率kAB＝0，故边AB所在直线的方程为y＝1. (2)由∠A＝60°可得直线AC的倾斜角为60°，故斜率k＝tan 60°＝，故边AC所在直线的点斜式方程为y－1＝(x－1). 11．设A，B是y轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为(　　) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．2x＋y－7＝0 D．x＋y－3＝0 解析：选A．由于直线PA的方程为x－y＋1＝0，故其倾斜角为45°，又|PA|＝|PB|，且A，B是y轴上两点，故直线PB的倾斜角为135°，又当x＝2时，y＝3，即P(2，3)，所以直线PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.故选A． 12．已知直线l：ax＋y＋1＝0与连接A(2，3)，B(－3，2)的线段相交，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，2] B．(－∞，－1)∪[2，＋∞) C．[－2，1]∪(2，3) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：选D．直线ax＋y＋1＝0过点P(0，－1).如图， 由题意，直线l与线段AB总有公共点，即直线l以直线PA为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线PB即可，设直线l的斜率为k，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，于是k≤kPB或k≥kPA，而kPA＝＝2，kPB＝＝－1，因此k≤－1或k≥2，所以－a≤－1或－a≥2，解得a≤－2或a≥1，即实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞).故选D． 13．在平面直角坐标系中，已知A(2，0)，B(－3，4)两点，O为坐标原点，则∠AOB的平分线所在直线的方程为________． 解析：由题意，可设∠AOB的平分线的倾斜角为θ，斜率为k，如图．则tan 2θ＝kOB＝－，即＝－，解得tan θ＝2或tan θ＝－，又0<2θ<π，故0<θ<，故k＝tan θ＝2，故∠AOB的平分线所在直线的方程为y＝2x. 答案：y＝2x 14．(2024·陕西西安高二检测)已知点A(，－2)，直线l过点A且斜率为－. (1)求直线l的方程； (2)若直线l1过点A，且倾斜角是直线l的一半，求直线l1的方程． 解：(1)因为直线l过点A(，－2)且斜率为－，由直线的点斜式方程可得y＋2＝－(x－)，化简可得4x＋3y＋6－4＝0. (2)设直线l的倾斜角为α，直线l1的倾斜角为β，则α＝2β，且tan α＝－，则tan α＝tan 2β＝＝－，解得tan β＝2或tan β＝－，由α，β∈[0，π)，且α＝2β可知，tan β>0，所以tan β＝2，即直线l1的斜率为2，由点斜式方程可得y＋2＝2(x－)，化简可得2x－y－2－2＝0，所以直线l1的方程为2x－y－2－2＝0. 15．(多选)已知三条直线为l1：x－2y＋4a＝0；l2：x－y－6a＝0；l3：2x－y－4a＝0(a≠0)，则下列结论中正确的是(　　) A．三条直线的倾斜角之和大于90° B．三条直线在y轴上的截距b1，b2，b3满足b1＋b3＝2b2 C．三条直线的倾斜角α1，α2，α3满足α1＋α3＝2α2 D．三条直线在y轴上的截距之和为8|a| 解析：选AC．三条直线l1：x－2y＋4a＝0；l2：x－y－6a＝0；l3：2x－y－4a＝0(a≠0)的倾斜角分别为α1，α2，α3，且α1，α2，α3∈[0，π)，则tan α1＝，tan α2＝1，tan α3＝2，所以α2＝，tan α3>tan α2，所以α2＋α3>，且α1为锐角，所以三条直线的倾斜角之和大于90°，故A正确；对于直线l1：x－2y＋4a＝0，令x＝0，得纵截距b1＝2a，同理b2＝－6a，b3＝－4a，又a≠0，所以b1＋b3≠2b2，故B不正确；由于tan α1·tan α3＝×2＝1，且α1，α3为锐角，所以α1＋α3＝，又α2＝，故α1＋α3＝2α2，故C正确；直线l1，l2，l3在y轴上的截距分别为2a，－6a，－4a，截距之和为－8a，故D不正确．故选AC． 16．已知过点(3，1)的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB(O为坐标原点)面积取得最小值时的直线方程． 解：由题意知直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为y－1＝k(x－3)，k≠0，即y＝kx＋1－3k，在直线AB的方程中，令x＝0，可得y＝1－3k；令y＝0，可得x＝.所以点A(，0)，B(0，1－3k).由已知条件可得解得k<0，所以△AOB的面积为S＝(1－3k)·＝(6－9k－)≥[6＋2]＝6，当且仅当－9k＝－(k<0)，即k＝－时，等号成立，所以直线AB的方程为y＝－x＋2. 学科网（北京）股份有限公司 $