1.3 第1课时 直线方程的点斜式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 学习目标 1.结合实例了解直线的方程的概念．　2.掌握直线方程的点斜式、斜截式．　3.能利用直线方程的点斜式、斜截式解决有关问题． 一　直线方程的点斜式 1．直线l的方程 一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点________直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 2．直线方程的点斜式 (1)定义 直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k，我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线l的方程，方程________________称为直线方程的点斜式． (2)两种特殊直线 ①当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程为________． ②当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程为________． [答案自填] 都在　y－y0＝k(x－x0)　y＝y0　x＝x0 　(1)(多选)在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是(　　) A．每一条直线都有点斜式方程 B．倾斜角是钝角的直线，斜率为负数 C．方程k＝与方程y＋1＝k(x－2)表示同一条直线 D．直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0 (2)经过点(0，－1)且斜率为－的直线方程为(　　) A．2x＋3y＋3＝0 B．2x＋3y－3＝0 C．2x＋3y＋2＝0 D．3x－2y－2＝0 【解析】　(1)对于A，斜率不存在的直线无点斜式方程，故A错误；对于B，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故B正确；对于C，方程k＝表示直线y＋1＝k(x－2)去掉点(2，－1)，与方程y＋1＝k(x－2)不表示同一直线，故C错误；对于D，直线过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0，故D正确．故选BD． (2)由点斜式得y＋1＝－x，即2x＋3y＋3＝0.故选A． 【答案】　(1)BD　(2)A 求直线方程的点斜式的步骤及注意点 (1)定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)； 已知直线的一个方向向量和某点坐标，或两点坐标时，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程． (2)直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． [跟踪训练1] (1)已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 B．直线经过点(1，－2)，斜率为－1 C．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 D．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 解析：选D．直线方程可化为点斜式y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以该直线过定点(－1，－2)，斜率为－1. (2)经过点P(2，1)，倾斜角α＝30°的直线方程为________________． 解析：因为直线的倾斜角α＝30°，所以直线的斜率为k＝tan 30°＝，所以直线方程为y－1＝(x－2)，即x－y＋－2＝0. 答案：x－y＋－2＝0 (3)已知直线l经过点P(0，1)且一个方向向量为(2，1)，则直线l的方程为____________________________________． 解析：因为直线l的一个方向向量为(2，1)，所以其斜率为，所以直线l的方程为y－1＝(x－0)，即x－2y＋2＝0. 答案：x－2y＋2＝0 二　直线方程的斜截式 若直线l经过点(0，b)且斜率为k，则方程y－y0＝k(x－x0)中的点P(x0，y0)就可以为点(0，b)，所以该直线方程的点斜式为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.该方程中的k为直线l的斜率，b为直线l在y轴上的截距．称___________________为直线方程的斜截式． [答案自填] y＝kx＋b 思考　直线l在y轴上的截距是直线l与y轴的交点到原点的距离吗？ 提示：不是．直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点的纵坐标． 　写出下列直线方程的斜截式： (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0； (4)斜率是0，在y轴上的截距是－4. 【解】　(1)由直线方程的斜截式可得， 所求直线方程为y＝3x－3. (2)由题意可知，直线的斜率k＝tan 60°＝，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝x＋5. (3)由题意可知，直线的斜率k＝tan 30°＝.由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝x. (4)由直线方程的斜截式可得所求直线方程为y＝－4. 求直线方程的斜截式的策略 (1)直线方程的斜截式是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要已知条件中给出的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示． (2)直线方程的斜截式y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可． [跟踪训练2] (1)已知直线3x＋2y＋6＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则有(　　) A．k＝－，b＝3 B．k＝－，b＝－2 C．k＝－，b＝－3 D．k＝－，b＝2 解析：选C．把3x＋2y＋6＝0化为斜截式得y＝－x－3，故k＝－，b＝－3.故选C． (2)已知直线l与直线l1：y＝2x＋5在y轴上有相同的截距，且l的斜率与l1的斜率互为相反数，则直线l的方程为________________． 解析：易知l1：y＝2x＋5在y轴上的截距为5，斜率为2，故直线l的斜率为－2，在y轴上的截距为5，所以直线l的方程为y＝－2x＋5. 答案：y＝－2x＋5 三　含参数的直线方程的几何特征 　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 【解】　(1)证明：将直线l的方程整理为y－＝a，所以l的斜率为a，且过定点A.而点A在第一象限，故直线l总经过第一象限． (2)直线OA的斜率为k＝＝3.因为l不经过第二象限，所以a≥3.故实数a的取值范围是[3，＋∞). (1)直线y＝kx＋b的图象特征：一般地，如果直线经过第一、三象限，则斜率为正；如果直线经过第二、四象限，则斜率为负． (2)含参数的直线过定点：对于含参数k的直线y－y0＝k(x－x0)，该直线一定过定点(x0，y0). [跟踪训练3] (1)直线y＝ax－的图象可能是(　　) 解析：选B．由直线方程知，直线的斜率和直线在y轴上的截距异号，经验证，只有B中图象符合． (2)已知直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线恒过定点坐标为(　　) A．(0，0) B．(0，1) C．(3，1) D．(2，1) 解析：选C．方法一：把直线方程整理为k(x－3)－y＋1＝0，令解得所以直线恒过定点坐标为(3，1).故选C． 方法二：直线方程可化为点斜式y－1＝k(x－3)，所以直线恒过定点(3，1). 1．(2024·河南南阳检测)直线y＝－2x＋1在y轴上的截距是(　　) A．0 B．1 C．－1 D． 解析：选B．令x＝0得y＝1 ，所以直线 y＝－2x＋1 在y轴上的截距是1.故选B． 2．对任意实数a，直线y＝ax－3a＋2所经过的定点是(　　) A．(2，3) B．(3，2) C．(－2，3) D．(3，－2) 解析：选B．y＝ax－3a＋2整理为y－2＝a(x－3)，所以直线经过的定点为(3，2).故选B． 3．(2024·江西南昌月考)已知直线l经过点P(－2，3)，且l的倾斜角为45°，直线l的点斜式方程为___________________________． 解析：因为直线l的倾斜角为45°，所以斜率k＝1，且直线l过点P(－2，3)，所以直线l的点斜式方程为y－3＝x＋2. 答案：y－3＝x＋2 4．根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2. 解：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的方程为y＝2x＋5. (2)因为倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－.所以所求直线的方程为y＝－x－2. 1．已学习：直线的方程的概念、直线方程的点斜式、斜截式． 2．须贯通：利用直线方程的点斜式、斜截式解决有关问题． 3．应注意：(1)求直线的点斜式与斜截式方程时忽略斜率不存在的情况； (2)混淆直线的截距和距离． 学科网（北京）股份有限公司 $