1.1 1.2 第2课时 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

第2课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 学习目标 1.了解直线的斜率与倾斜角的关系．　2.了解直线的方向向量．　3.能理解直线斜率与倾斜程度的关系，能利用斜率的计算公式解决相关的问题． 一　直线的斜率与倾斜角的关系 1．倾斜角不是的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足____________(其中α≠). 2．斜率k与倾斜角α有如下关系： 当α∈________时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而________； 当α∈________时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而________； 当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率____________． [答案自填] k＝tan α　[0，)　增大 (，π)　增大　不存在 思考　当直线的倾斜角由0逐渐增大到π，其斜率如何变化？为什么？ 提示：如图，根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大．当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． 　(1)若直线经过A(1，0)，B(4，)两点，则直线AB的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．135° (2)若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角α不是锐角，则实数t的取值范围是___________________________． 【解析】　(1)由直线经过A(1，0)，B(4，)两点，可得直线的斜率为＝，设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝，又0°≤θ<180°，所以θ＝30°.故选A． (2)因为直线的倾斜角α不是锐角，所以α＝0°或α＝90°或α是钝角．当α＝0°时，1＋t＝2t，解得t＝1；当α＝90°时，1－t＝3，解得t＝－2；当α是钝角时，直线的斜率小于0，由斜率公式可得，<0，即<0，解得－2<t<1.综上所述，实数t的取值范围是[－2，1]. 【答案】　(1)A　(2)[－2，1] (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠)解决． (2)要明确倾斜角α变化时斜率k的变化特征，特别注意当α＝时对范围的影响． [跟踪训练1] (1)若过两点M(3，y)，N(0，)的直线的倾斜角为150°，则y的值为(　　) A． B．0 C．－ D．3 解析：选B．因为过两点M(3，y)，N(0，)的直线的倾斜角为150°，所以直线MN的斜率为k＝＝tan 150°，即k＝＝－，解得y＝0.故选B． (2)将直线MN绕原点旋转60°得到直线M′N′，若直线M′N′的斜率为1，则直线MN的倾斜角是(　　) A．105° B．165° C．15°或75° D．105°或165° 解析：选D．因为直线M′N′的斜率为1，所以直线M′N′的倾斜角是45°.若将直线M′N′绕原点逆时针旋转60°得到直线MN，则直线MN的倾斜角是45°＋60°＝105°，若将直线M′N′绕原点顺时针旋转60°得到直线MN，则直线MN的倾斜角是(45°－60°)＋180°＝165°.故选D． 1．在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，向量是直线l的方向向量，它的坐标是________________，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量之间的关系是k＝____________＝_______(其中x1≠x2). 2．若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝________． 点拨　直线的方向向量可以理解为是直线上的向量及与之平行的非零向量． 提醒　(1)任意斜率不存在时的直线的一个方向向量为a＝(0，1)； (2)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos θ，sin θ)(θ为倾斜角). [答案自填] (x2－x1，y2－y1)　　tan α　 　已知直线l的一个方向向量为a＝(5，8)，且该直线过点(1，2)，则直线l过点(　　) A．(6，10) B．(4，8) C．(2，4) D．(－2，－) 【解析】　因为直线l的一个方向向量为a＝(5，8)，所以直线l的斜率为，设直线l上一点为(x，y)，则＝(x≠1)，将选项对应点的坐标代入此式，只有A能使等式成立． 【答案】　A 直线的方向向量的求法 (1)在直线上任找两点P，Q，则(或)为直线的一个方向向量． (2)已知直线的斜率为k，则a＝(1，k)为直线的一个方向向量． (3)a＝(t，0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a＝(0，t)(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量． [跟踪训练2] (1)若直线l的倾斜角为，方向向量为e＝(－1，a)，则实数a的值是(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A．因为直线l的方向向量是e＝(－1，a)，所以直线l的斜率为k＝＝－a，又直线的倾斜角α＝，所以斜率k＝tan ＝－＝－a，解得a＝.故选A． (2)已知直线l经过点P(1，2)和点Q(－2，－2)，则直线l的单位方向向量的坐标为(　　) A．(－3，－4) B． C． D．± 解析：选D．由题意得，直线l的一个方向向量为＝(－2－1，－2－2)＝(－3，－4)，所以直线l的单位方向向量为±＝±(－3，－4)＝±. 三　求倾斜角、斜率的范围 　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． 【解】　如图，由题意知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞). 【变式探究】 (条件变式)本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”，求直线l的斜率k的取值范围． 解：由例3解析知与线段AB有公共点时，斜率k满足k≤－1或k≥1，则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围是(－1，1). (1)数形结合法求斜率的取值范围： 如图1，过点P的直线l与线段AB相交时，直线l的斜率k的取值范围是kPA≤k≤kPB；过点Q的直线l′与线段AB相交时，直线l′的斜率k′的取值范围是k′≤kQB或k′≥kQA. 　　 (2)如图2，根据函数关系k＝tan α，α∈∪求范围． [跟踪训练3] 已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1).若D为△ABC的AB边上一动点，则直线CD斜率的取值范围为______________． 解析：如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时kCD由kAC增大到kBC，又kAC＝＝，kBC＝＝，所以kCD的取值范围为[，]. 答案：[，] 四　斜率与倾斜角、方向向量的综合应用 　已知直线l1的一个方向向量为n＝(2，1)，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍． (1)求直线l2的斜率； (2)若直线l2经过点A(－1，2)，B(2，m)，点P(x，y)是线段AB上一点，求的取值范围． 【解】　(1)设直线l1的倾斜角为α，则直线l2的倾斜角为2α.因为直线l1的一个方向向量为n＝(2，1)，所以直线l1的斜率为tan α＝，所以直线l2的斜率为tan 2α＝＝. (2)由(1)知l2的斜率为，所以＝，解得m＝6.表示过点P(x，y)和点Q(0，－1)的直线的斜率，kQA＝＝－3，kQB＝＝，所以kPQ≤－3或kPQ≥.故的取值范围是(－∞，－3]∪. (1)若直线l过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量，kAB＝＝tanα(α为直线l的倾斜角，x1≠x2). (2)代数式的几何意义是过P(x，y)与P′(a，b)两点的直线的斜率． [跟踪训练4] (多选)已知经过坐标平面内A(1，2)，B(－2，2m－1)两点的直线的方向向量为n＝(1，sin α)，则实数m的值可以为(　　) A．－1 B．0 C．2 D．3 解析：选BCD．由题意知直线的斜率一定存在，设直线AB的斜率为k，由A(1，2)，B(－2，2m－1)两点知，斜率k＝＝，由直线的方向向量为n＝(1，sin α)，可得过点A，B的直线的斜率为k＝sin α，因为－1≤sin α≤1，所以k∈[－1，1]，即－1≤≤1，解得0≤m≤3，则实数m的值可以为0，2，3.故选BCD． 1．(2024·陕西西安检测)已知直线l：x－y＋3＝0的倾斜角为α，则α＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由题设知k＝tan α＝1，因为α∈[0，π)，所以α＝.故选C． 2．(2024·江西南昌铁路一中月考)若直线l的一个方向向量是d＝(3，)，则直线l的斜率为________． 解析：因为直线l的一个方向向量是d＝(3，)，所以直线l的斜率k＝. 答案： 3．已知直线l的倾斜角α的范围是，则直线l的斜率k的取值范围是________________． 解析：当≤α＜时，k≥，当＜α≤时，k≤－1，综上，斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[，＋∞). 答案：(－∞，－1]∪[，＋∞) 4．已知直线l的一个方向向量为a＝(1，1)，且A(1，－2)，B(x，2)在直线l上． (1)求x的值； (2)求直线l的斜率k与倾斜角θ. 解：(1)由a∥，＝(x－1，4)知，1×(x－1)－1×4＝0，得x－1－4＝0，解得x＝5. (2)因为a＝(1，1)，所以k＝1，由tan θ＝k＝1，θ∈[0，π)，得θ＝. 1．已学习：直线的方向向量、直线斜率与倾斜角的关系． 2．须贯通：能对直线的倾斜角与斜率之间的关系进行相互转化，体现了转化化归的数学思想． 3．应注意：(1)任何一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率； (2)直线斜率与倾斜角、方向向量的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $