专题1.1～1.2一次函数的图象与直线方程，直线的倾斜角、斜率及其关系（高效培优讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册

专题1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系 教学目标 (1)了解一次函数的图象与直线方程的关系； (2).理解直线的倾斜角、斜率的概念； (3).掌握直线斜率公式及其应用； (4)了解直线的方向向量与斜率间的关系； 教学重难点 1.重点 (1)直线的倾斜角、斜率的概念及公式； (2)直线的倾斜角与斜率的应用． 2.难点 (1)对直线的倾斜角与斜率概念的理解； (2)求直线倾斜角与斜率的取值范围． 知识点01 一次函数的图象与直线的方程 一般地，一次函数的图象是一条 ，它是以满足 的值为坐标的点构成的.同时函数解析式可以看作 方程. 在解析几何中研究直线时，就是利用直线与方程的这种对应关系，建立直线的方程，并通过 研究直线的有关问题. 【即学即练】 1.已知一次函数的图象记作直线，则直线不经过的点是（ ） A.(0,-4) B.(1,-1) C.(2,2) D.(3,3) 知识点02 直线的倾斜角 1.直线倾斜角的定义 （1）在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线 时所成的角，称为直线的倾斜角. （2）当直线与轴 时，我们规定它的倾斜角为. 2.直线倾斜角的表示 直线的倾斜角通常用表示. 3.直线倾斜角的范围 直线的倾斜角可以是、锐角、直角、钝角，直线的倾斜角的范围是 . 【知识剖析】 解读直线的倾斜角 1.直线倾斜角的定义中含有三个条件：（1）x轴的正方向;（2）绕着逆时针方向旋转；（3）小于平角的非负角 2.直线的倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线相对于x轴正方向的倾斜程度． 3.每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应，且倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角．相同的倾斜角对应的直线并不唯一． 【即学即练】 1.（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2.．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D．不存在 知识点03 直线的斜率 1,直线斜率的定义 把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ 2.斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3.过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ . 【知识剖析】 1.斜率从“数”的方面刻画了直线相对于x轴（正方向）的倾斜程度. 2.倾斜角为的直线斜率不存在，因此它的倾斜程度不能用斜率来刻画. 【即学即练】 1.求过已知两点的直线的斜率： （1）直线PQ过点P（2,3），Q（6,5）; （2）直线AB过点A（2,1）,B(m,2). 知识点04 直线的方向向量 若是直线的斜率，则 是它的一个方向向量； 若直线的一个方向向量的坐标为，其中，则它的斜率 ． 【知识剖析】 1.当直线的斜率不存在时，它的其中一个方向向量可记为(0,1). 2.直线的方向向量不唯一，且这些方向向量互相平行. 【即学即练】 1．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角的正弦值为 题型01 辨析直线的倾斜角与斜率 【典例】（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 直线的倾斜角与斜率的比较 （1）这两个量都是刻画直线倾斜程度的量，倾斜角侧重于几何角度，斜率侧重于代数角度. （2）所有直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，当直线的倾斜角时， 不存在，故此时直线的斜率不存在. （3）当直线的倾斜角不为时，斜率就是倾斜角的正切值，此时两者可以相互转化. 【变式1】（24-25高二上·福建莆田·期中）在下列四个命题中，错误的有（  ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为 【变式2】（24-25高二上·四川广安·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．斜率相等的两直线平行 题型02 求直线的倾斜角 【典例1】设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ） A． B. C. D. 或 【典例2】已知直线经过点，.求的倾斜角. 求直线的倾斜角主要有以下两种方法： （1）数形结合法：即通过画图,并根据倾斜角的定义、取值范围以及角度的旋转方向，来求出倾斜角. （2）斜率法：即先求出直线的斜率，再利用斜率k与倾斜角之间的关系式逆求出角.. 【变式1】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知直线经过，两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 题型03 求直线的斜率 【典例】如图，菱形中，，求菱形两对角线所在直线的倾斜角和斜率. （） 求直线的斜率的方法主要有以下两种： （1）定义公式法：已知直线的倾斜角或角的某种三角函数时，常根据直线斜率的定义公式来求斜率. （2）过两点的直线斜率公式法：①已知直线上两点坐标，根据过两点的直线斜率公式 直接求得斜率. ②只有在两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用公式求之. 【变式1】（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）经过点、的直线的斜率为 . 题型04 比较直线斜率的大小 【典例】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 一般通过数形结合的思想比较各直线的斜率的大小，即观察直线的倾斜角为锐角还是钝角，为锐角时其斜率值为正，为钝角时其斜率值为负，再借助正切函数的单调性分别比较各个同号的斜率的大小. 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·北京十五中高二期中）如图，直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 题型05 利用倾斜角或斜率求参数 【典例】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 此类题型一般利用两个斜率公式列方程（组），通过解方程（组）求得参数的值. 【变式1】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【变式2】（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 题型06 三点共线问题 【典例1】（24-25高二上·河北张家口·期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【典例2】求证：A(0,2),B(1,3),C(-2,0)三点共线. 利用斜率公式解决三点共线问题时，首先要判断任意两点所确定的直线的斜率是否存在，若斜率都不存在，则三点共线；若斜率存在，且三点中任意两点所确定的直线的斜率相等，则三点共线 【变式1】若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 题型07 直线的方向向量问题 【典例1】（24-25高二上·湖北·期中）经过点两点的直线的方向向量为，则k为（    ） A．2 B．4 C． D． 【典例2】（2025·四川眉山·三模）已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 直线方向向量与斜率的关系： 当利用斜率公式解决三点共线问题时，首先要判断任意两点所确定的直线的斜率是否存在，若斜率都不存在，则三点共线；若斜率存在，且三点中任意两点所确定的直线的斜率相等，则三点共线 【变式1】（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（   ） A． B． C．2 D．3 【变式2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 题型08 求直线斜率的取值范围 【典例】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 求直线斜率的取值范围时，若斜率恒正或恒负，可直接得出直线斜率的取值范围；若斜率有正有负，则可先求出临界直线的斜率，然后观察直线的变化规律来进一步求解. 【变式1】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【变式3】（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型09 求直线倾斜角的取值范围 【典例1】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 求直线倾斜角的取值范围时，一般先求得直线的斜率的取值范围，再利用斜率与倾斜角之间关系求解. 【变式1】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知， （1）当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？ （2）当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？ （3）当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？ 题型10 直线斜率的实际应用 【典例】（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距，均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1、 单选题 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 2．（24-25高二上·广西南宁·期末）若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）过，两点的直线倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知直线的一个方向向量为，其倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 2、 多选题 9．（24-25高二上·河北衡水·期中）下列叙述正确的是（    ） A．直线倾斜角的取值范围是 B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 10．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 11．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（    ） A． B． C． D．1 三、填空题 12．（24-25高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 . 13．（24-25高二上·江苏连云港·期末）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是 . 14．（2024高二上·江苏·专题练习）已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则 . 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 16.已知，，三点. (1)若直线的倾斜角为135°，求的值. (2)是否存在，使得三点共线？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 17．（24-25高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 18．（24-25高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 19.已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系 教学目标 (1)了解一次函数的图象与直线方程的关系； (2).理解直线的倾斜角、斜率的概念； (3).掌握直线斜率公式及其应用； (4)了解直线的方向向量与斜率间的关系； 教学重难点 1.重点 (1)直线的倾斜角、斜率的概念及公式； (2)直线的倾斜角与斜率的应用． 2.难点 (1)对直线的倾斜角与斜率概念的理解； (2)求直线倾斜角与斜率的取值范围． 知识点01 一次函数的图象与直线的方程 一般地，一次函数的图象是一条直线，它是以满足的值为坐标的点构成的。同时函数解析式可以看作二元一次方程. 在解析几何中研究直线时，就是利用直线与方程的这种对应关系，建立直线的方程，并通过方程研究直线的有关问题。 【即学即练】 1.已知一次函数的图象记作直线，则直线不经过的点是（ ） A.(0,-4) B.(1,-1) C.(2,2) D.(3,3) 【答案】D 【解析】ABC选项对应的点的坐标都满足，故这些点都在直线上，而当x=3时，y=5,故点（3，3）不在直线上，故选D. 知识点02 直线的倾斜角 1.直线倾斜角的定义 （1）在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线首次重合时所成的角，称为直线的倾斜角. （2）当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为. 2.直线倾斜角的表示 直线的倾斜角通常用表示. 3.直线倾斜角的范围 直线的倾斜角可以是、锐角、直角、钝角，直线的倾斜角的范围是. 【知识剖析】 解读直线的倾斜角 1.直线倾斜角的定义中含有三个条件：（1）x轴的正方向;（2）绕着逆时针方向旋转；（3）小于平角的非负角 2.直线的倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线相对于x轴正方向的倾斜程度． 3.每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应，且倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角．相同的倾斜角对应的直线并不唯一． 【即学即练】 1.（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角的概念即可得到答案. 【解析】直线的倾斜角为. 故选：B. 2.．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据直线方程得直线与x轴垂直可得解. 【解析】直线即，是一条与x轴垂直的直线， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 知识点03 直线的斜率 1,直线斜率的定义 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2.斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3.过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【知识剖析】 1.斜率从“数”的方面刻画了直线相对于x轴（正方向）的倾斜程度. 2.倾斜角为的直线斜率不存在，因此它的倾斜程度不能用斜率来刻画. 【即学即练】 1.求过已知两点的直线的斜率： （1）直线PQ过点P（2,3），Q（6,5）; （2）直线AB过点A（2,1）,B(m,2). 【解析】（1）直线PQ的斜率 (2)当m=2时，直线AB的斜率k不存在. 当时，直线AB的斜率. 知识点04 直线的方向向量 若是直线的斜率，则 是它的一个方向向量； 若直线的一个方向向量的坐标为，其中，则它的斜率 ． 【知识剖析】 1.当直线的斜率不存在时，它的其中一个方向向量可记为(0,1). 2.直线的方向向量不唯一，且这些方向向量互相平行. 【即学即练】 1．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的方向向量，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小． 【解析】由直线的方向向量知，直线的斜率为 ， 设直线的倾斜角为，所以 ，解得 . 故选：D 2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为，则直线l的倾斜角的正弦值为 【答案】 【解析】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率，所以直线l的倾斜角为. 其正弦值为. 题型01 辨析直线的倾斜角与斜率 【典例】（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【答案】ABD 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义，依次判断选项即可. 【解析】直线的倾斜角必定存在，且满足； 直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率. 所以ABD正确，C错误. 故选：ABD 直线的倾斜角与斜率的比较 （1）这两个量都是刻画直线倾斜程度的量，倾斜角侧重于几何角度，斜率侧重于代数角度. （2）所有直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，当直线的倾斜角时， 不存在，故此时直线的斜率不存在. （3）当直线的倾斜角不为时，斜率就是倾斜角的正切值，此时两者可以相互转化. 【变式1】（24-25高二上·福建莆田·期中）在下列四个命题中，错误的有（  ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率不一定为 【答案】ABC 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义，逐项判定即可． 【解析】对于A：当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误； 对于B：根据直线倾斜角的定义，可得直线倾斜角的取值范围是，所以B错误； 对于C：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为， 如：直线的斜率可表示为，但它的倾斜角为，所以C错误； 对于D：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D正确． 故选：ABC． 【变式2】（24-25高二上·四川广安·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．斜率相等的两直线平行 【答案】BCD 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可. 【解析】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 斜率相等的两条直线可能是重合或平行，D错误； 故选:BCD. 题型02 求直线的倾斜角 【典例1】设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ） A． B. C. D. 或 【答案】D 【分析】画图分析，看旋转后倾斜角是否在取值范围内. O 【解析】由倾斜角的取值范围知只有当 即时，直线的倾斜角才是； 而，所以当时， 直线的倾斜角为（如图所示），故选D. 【典例2】已知直线经过点，.求的倾斜角. 【解析】设直线的斜率为，倾斜角为，则，所以. 因为，所以. 所以， 即的倾斜角为. 求直线的倾斜角主要有以下两种方法： （1）数形结合法：即通过画图,并根据倾斜角的定义、取值范围以及角度的旋转方向，来求出倾斜角。 （2）斜率法：即先求出直线的斜率，再利用斜率k与倾斜角之间的关系式逆求出角.. 【变式1】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率关系即可求解. 【解析】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为， 故选：A. 【变式2】（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知直线经过，两点，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合两点坐标求直线的方程，根据直线方程确定直线的斜率. 【解析】 由已知得，两点的横坐标都是， 所以直线的方程是，直线是一条垂直于x轴的直线， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 题型03 求直线的斜率 【典例】如图，菱形中，，求菱形两对角线所在直线的倾斜角和斜率. （） 【解析】因为四边形是菱形，所以对角线平分对角且互相垂直． 所以， ． 即对角线的倾斜角为，斜率为． ， 所以． 即对角线的倾斜角为，斜率为． 求直线的斜率的方法主要有以下两种： （1）定义公式法：已知直线的倾斜角或角的某种三角函数时，常根据直线斜率的定义公式来求斜率. （2）过两点的直线斜率公式法：①已知直线上两点坐标，根据过两点的直线斜率公式 直接求得斜率. ②只有在两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用公式求之. 【变式1】（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【解析】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A 【变式2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）经过点、的直线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用斜率公式可求得直线的斜率. 【解析】经过点、的直线的斜率为. 故答案为：. 题型04 比较直线斜率的大小 【典例】（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解析】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以． 故选：D 一般通过数形结合的思想比较各直线的斜率的大小，即观察直线的倾斜角为锐角还是钝角，为锐角时其斜率值为正，为钝角时其斜率值为负，再借助正切函数的单调性分别比较各个同号的斜率的大小. 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解析】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 【变式2】（2025·北京十五中高二期中）如图，直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由斜率的定义判断大小即可. 【解析】由斜率的定义知，. 故选：D. 题型05 利用倾斜角或斜率求参数 【典例】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）过两点，的直线的倾斜角是，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由过两点的斜率公式求解即可. 【解析】因为直线过两点､，且倾斜角是， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 解得. 故选：A. 此类题型一般利用两个斜率公式列方程（组），通过解方程（组）求得参数的值. 【变式1】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【解析】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 【变式2】（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点的斜率公式及直线的斜率定义即可求解. 【解析】由题，直线的斜率为，又， . 故选：B. 题型06 三点共线问题 【典例1】（24-25高二上·河北张家口·期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可. 【解析】显然，则，即，解得. 故选：D. 【典例2】求证：A(0,2),B(1,3),C(-2,0)三点共线. 【证明】∵， ∴ ， ∴，又与有公共点 ， ∴直线与重合， ∴三点共线． 利用斜率公式解决三点共线问题时，首先要判断任意两点所确定的直线的斜率是否存在，若斜率都不存在，则三点共线；若斜率存在，且三点中任意两点所确定的直线的斜率相等，则三点共线 【变式1】若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率公式可得出，可得出实数的值. 【解析】由于、、三点共线，则， 即，解得. 故选：A. 【变式2】（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【解析】由题意可得，即，解得. 故选：C. 题型07 直线的方向向量问题 【典例1】（24-25高二上·湖北·期中）经过点两点的直线的方向向量为，则k为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜率与方向向量关系即可求出答案. 【解析】经过两点的直线的方向向量为， 所以 ，解得 故选：A 【典例2】（2025·四川眉山·三模）已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量、斜率公式及倾斜角与斜率的关系即可求解. 【解析】直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：. 直线方向向量与斜率的关系： 当利用斜率公式解决三点共线问题时，首先要判断任意两点所确定的直线的斜率是否存在，若斜率都不存在，则三点共线；若斜率存在，且三点中任意两点所确定的直线的斜率相等，则三点共线 【变式1】（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据方向向量的含义即可求解. 【解析】由于直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率为， 故选：A 【变式2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角可得直线斜率，再根据方向向量可得直线斜率，即可求解. 【解析】直线的倾斜角为，所以， 方向向量，则，. 故选：A. 题型08 求直线斜率的取值范围 【典例】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【解析】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 求直线斜率的取值范围时，若斜率恒正或恒负，可直接得出直线斜率的取值范围；若斜率有正有负，则可先求出临界直线的斜率，然后观察直线的变化规律来进一步求解. 【变式1】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围. 【解析】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C. 【变式2】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【解析】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 【变式3】（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围. 【解析】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B.    题型09 求直线倾斜角的取值范围 【典例1】（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【解析】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 求直线倾斜角的取值范围时，一般先求得直线的斜率的取值范围，再利用斜率与倾斜角之间关系求解。 【变式1】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【解析】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 【变式2】已知， （1）当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？ （2）当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？ （3）当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？ 【解析】（1）直线的倾斜角为锐角，则0 ，解得或 ． （2）直线 的倾斜角为钝角，则，解得 ． （3）直线的倾斜角为直角，斜率不存在，则点的横坐标相等，即， 解得． 题型10 直线斜率的实际应用 【典例1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距，均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案. 【解析】， 故，， 则， 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【解析】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 1、 单选题 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【答案】D 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【解析】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在. 故选：D 2．（24-25高二上·广西南宁·期末）若一条直线的斜率等于，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率和倾斜角的关系得到方程，求出答案. 【解析】设直线的倾斜角为，则， 又，故. 故选：C 3．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角. 【解析】由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以. 故选：C 4．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）过，两点的直线倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点斜率表达式以及斜率和倾斜角关系得到方程，解出即可. 【解析】由题意得，解得. 故选：C. 5．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据直线的斜率公式计算可得答案. 【解析】因为经过点的直线的斜率为2， 所以，且，解得. 故选：D. 6．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用列式计算即得. 【解析】由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B 7．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知直线的一个方向向量为，其倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得直线的斜率为，可得，将所求的式子转化为齐次式，弦化切得解. 【解析】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为，即， 故选：B． 8．（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【答案】A 【分析】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【解析】因为，所以， 不妨设，则． 由题意，知，即． 解得．故选：A． 2、 多选题 9．（24-25高二上·河北衡水·期中）下列叙述正确的是（    ） A．直线倾斜角的取值范围是 B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ACD 【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐一判断即可求解. 【解析】对于选项，由直线倾斜角的定义可知，倾斜角的取值范围是，则正确； 对于选项，由直线斜率的定义可知（为直线的倾斜角），当时斜率不存在，则错误； 对于选项，由直线斜率的定义可知选项正确； 对于选项，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，则正确；故选：ACD. 10．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 【解析】由图像可知， 则， 故选：AD. 11．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知直线，的斜率分别为2，，直线l与直线，围成一个等腰三角形，且顶角为钝角，则直线l的斜率可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】ACD 【分析】借助直线斜率的定义，三角形性质求解，即可得出选项. 【解析】分别设直线，，的倾斜角为，，，则，，直线的斜率为，将直线，平移至原点位置，设直线l与直线，分别交于点，， 当时，如图所示： 由题意知， 因为为等腰三角形，且顶角为钝角， 所以为钝角或为钝角， 若为钝角，则， 所以 ， 所以直线的斜率为，故A选项正确； 若为钝角，则，    所以， ， ， 所以， 所以直线的斜率为，故C选项正确； 当时，如图所示：    因为为等腰三角形，则， 所以 ， 所以由，解得或（舍）， 所以， 所以直线的斜率为，故D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二上·贵州黔南·期中）已知两点，所在直线的斜率为，则 . 【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【解析】因为两点，所在直线的斜率为， 所以，解得. 故答案为：. 13．（24-25高二上·江苏连云港·期末）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是 . 【答案】 【解析】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角， 可知 ，且 ， 解得 ，即实数m的范围是， 14．（2024高二上·江苏·专题练习）已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件易得四边形为正方形，再由是以角为顶角的等腰三角形得到必为边的中点，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得和，再利用同角三角函数的基本关系和诱导公式得到答案即可. 【解析】由题中条件可得，，且不重合， 所以，，所以四边形为平行四边形， 如图，连接， 由两点间距离公式得，所以平行四边形为菱形， 因为，所以，所以菱形为正方形， 因为为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形， 所以必为边的中点，则，， 所以， 由题意得，所以，因为， 解得，(负根舍去)，直线与轴垂直， 则，所以. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 【分析】（1）直线l与x轴平行，则直线的斜率，据此可以求m的值； （2）直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，据此可以得出m的值； （3）直线的倾斜角为，则直线的斜率，据此可以求m的值； （4）直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率，据此可以求出m的范围. 【解析】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率， 所以. （2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在， 所以. （3）由题意可知，直线l的斜率，即， 解得. （4）由题意可知，直线l的斜率，即，解得. 16.已知，，三点. (1)若直线的倾斜角为135°，求的值. (2)是否存在，使得三点共线？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【分析】（1）根据题意得，再解方程即可得答案； （2）根据三点共线时，列方程求解即可. 【解析】（1）因为，，直线的倾斜角为135° 所以，，解得 故的值为 （2）因为，，三点. 所以，当三点共线时，，即，解得 所以，存在，使得三点共线， 17．（24-25高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【分析】（1）由斜率公式直接求解； （2）由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【解析】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． （2）当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 18．（24-25高二上·四川巴中·阶段练习）已知坐标平面内三点，，. (1)求直线AC的倾斜角； (2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围. 【分析】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可 （2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可. 【解析】（1）由，得， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为. （2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，    此时由增大到，又，， 所以的取值范围为， 即直线CD的倾斜角的取值范围为. 19.已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【解析】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$