1.1 1.2 第1课时 直线的倾斜角和斜率-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．下列说法不正确的是(　　) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案：D 2．下列选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　) A．(4，2)与(－4，1) B．(0，3)与(3，0) C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2，2)与(－2，5) 解析：选D．因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 3．(2024·江西宜春检测)直线y＝－cos 45°的倾斜角为(　　) A．0° B．90° C．135° D．不存在 解析：选A．因为直线y＝－cos 45°＝－平行于x轴，所以倾斜角为0°.故选A． 4．(2024·广西桂林期末)已知过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线斜率等于1，那么m＝(　　) A．1或3 B．4 C．1 D．1或4 解析：选C．由题知，kPQ＝＝＝1，解得m＝1.故选C． 5．(2024·陕西榆林检测)若直线l1，l2，l3，l4的图象如图所示，则斜率最小的直线是(　　) A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 解析：选B．由题图知kl3>kl4>0>kl1>kl2，故斜率最小的直线是l2.故选B． 6．(多选)若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．135°＋α C．α－45° D．135°－α 解析：选BC．当α≥45°时，直线l1的倾斜角为α－45°(如直线AC旋转至直线AD)；当0°≤α<45°时，直线l1的倾斜角为180°－(45°－α)＝135°＋α(如直线AD旋转至直线AB).故选BC． 7．若A(1，2)，B(3，m)，C(7，m＋2)三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________． 解析：因为A，B，C三点能构成三角形，所以A，B，C三点不共线，所以kAB≠kAC，即≠，解得m≠3. 答案：{m|m≠3} 8．已知A(－1，2)，B(3，2)，若直线AP与直线BP的斜率分别为2和－2，则点P的坐标是___________________________． 解析：设点P(x，y)，则解得 所以点P的坐标是(1，6). 答案：(1，6) 9．(2024·陕西渭南月考)已知直线l经过三点A(5，－3)，B(4，y)，C(－1，9)，则y＝_____________________________. 解析：因为直线l经过三点A(5，－3)，B(4，y)，C(－1，9)，所以kAB＝kAC，即＝，解得y＝－1. 答案：－1 10．已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值． 解：由题意可知kAB＝＝2，kAC＝＝，kAD＝＝，所以k＝2＝＝，解得a＝4，b＝－3，所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3. 11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l上的一点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，仍在该直线l上，则直线l的斜率为(　　) A．－3 B． C．3 D．－ 解析：选A．依题意设点P(x0，y0)是直线l上的一点，将点P(x0，y0)向右平移1个单位长度后再向下平移3个单位长度得到点P′(x0＋1，y0－3)，因为点P′(x0＋1，y0－3)仍在该直线l上，所以直线l的斜率k＝＝－3，所以直线l的斜率为－3.故选A． 12．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，…，9)均为3.8 m，拉索下端相邻两个针的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，…，9)均为15 m．最短拉索的针P1，A1满足|OP1|＝60 m，|OA1|＝80 m，则最长拉索所在直线的斜率约为(结果保留两位有效数字)(　　) A．±0.47 B．±0.45 C．±0.44 D．±0.42 解析：选C．依题意，以直线A10B10为x轴，直线P1P10为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，显然|OA10|＝80＋9×15＝215(m)，|OP10|＝60＋9×3.8＝94.2(m)，因此点A10(215，0)，P10(0，94.2)，直线A10P10的斜率为≈－0.44，由对称性得直线B10P10的斜率约为0.44，所以最长拉索所在直线的斜率约为±0.44.故选C． 13．已知A(2，0)，B(4，4)，若Q(m，n)在线段AB上，则4m－3n的最小值为________． 解析：因为点Q(m，n)在线段AB上，当点Q与点A不重合时，kAB＝kAQ，且m∈(2，4]，即＝，所以n＝2m－4，当点Q与点A重合时，m＝2，n＝0，也满足上式，所以n＝2m－4，m∈[2，4].设z＝4m－3n＝4m－3(2m－4)＝－2m＋12，所以当m＝4时，zmin＝－2×4＋12＝4. 答案：4 14．(2024·江西吉安宁冈中学期末)已知点A(1，0)，B(0，2)，点P(a，b)在线段AB上．求： (1)直线AB的斜率； (2)ab的最大值． 解：(1)由题意知，直线AB的斜率kAB＝＝－2. (2)当点P(a，b)在A，B两点之间时，由点P(a，b)在线段AB上，易知kAP＝kAB，即＝－2，即b＝－2a＋2(0<a<1)，同理当P与A，B重合时满足b＝－2a＋2(0≤a≤1)，即2a＋b＝2，且0≤a≤1，0≤b≤2，所以2＝2a＋b≥2，所以ab≤，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝1时，等号成立．故ab的最大值为. 15．已知过原点的直线l与曲线y＝ex－1交于不同的两点A，B，过A，B作x轴的垂线，与曲线y＝ln x交于C，D两点，则直线CD的斜率为________． 解析：设A(x1，ex1－1)，B(x2，ex2－1)，则C(x1，ln x1)，D(x2，ln x2)，因为点O，A，B共线，所以kOA＝kOB，即＝，可得ex1－x2＝，即x1－x2＝ln ，又因为kC D＝＝＝＝1，所以直线CD的斜率为1. 答案：1 16．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0. 证明：kAB＝，kAC＝，因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，所以＝，所以x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x，所以(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0，因为x2≠x3，所以x1＋x2＋x3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $