1.1 1.2 第1课时 直线的倾斜角和斜率-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

§1　直线与直线的方程 1．1　一次函数的图象与直线的方程 1．2　直线的倾斜角、斜率及其关系 第1课时　直线的倾斜角和斜率 学习目标 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．　2.了解斜率的推导过程，会利用斜率的计算公式求直线的斜率． 一　直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按____________方向绕着交点旋转到和直线l___________________时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为__________ 记法 α 图示 范围 ____________ [答案自填] 逆时针　首次重合　0　[0，π) 　(多选)已知一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°＜α＜90°)，则其倾斜角可能是(　　) A．α B．180°－α C．90°－α D．90°＋α 【解析】　如图1，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；如图2，当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 【答案】　CD 求直线倾斜角的方法及关注点 (1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角； (2)关注点：根据平面几何知识，判断图形的角度关系求倾斜角． [跟踪训练1] (1)已知直线l不经过第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．[0，) B．[，π) C．(，π) D．{0}∪[，π) 解析：选D．直线倾斜角的取值范围是[0，π)，又直线l不经过第一象限，当直线l垂直于x轴并经过第二、三象限时，倾斜角α＝；当直线l垂直于y轴并经过第三、四象限时，倾斜角α＝0；当直线l不垂直于x，y轴并经过第二、三、四象限时，倾斜角α∈(，π).综上，直线l的倾斜角α的取值范围是{0}∪[，π). (2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为________． 解析：如图，设直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°. 答案：135° 二　直线的斜率 1．定义：称k＝________(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． 2．特例：直线l垂直于x轴，则它的斜率不存在． [答案自填] 　满足下列条件的直线的斜率是否存在，若存在，求其斜率． (1)经过点A(2，3)，B(4，5)； (2)经过点C(－2，3)，D(2，－1)； (3)经过点P(－3，1)，Q(－3，10)； (4)经过点M(a，2)，N(3，6). 【解】　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1. (2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1. (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ⊥x轴，所以直线PQ的斜率不存在． (4)当a＝3时，直线的斜率不存在；当a≠3时，直线的斜率k＝. 求直线斜率的注意事项 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率不存在． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． [跟踪训练2] (1)已知点A(2，3)，B(3，5)，则直线AB的斜率为(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析：选A．直线AB过点A(2，3)，B(3，5)，则直线AB的斜率k＝＝2.故选A． (2)已知直线l过点A(1，－1)，B(3，m)，且斜率为2，则实数m的值为________． 解析：根据题意，直线l过点A(1，－1)，B(3，m)，则其斜率k＝＝2，解得m＝3. 答案：3 三　斜率的应用 　(1)已知直线l经过点A(1，2)，且斜率k＝1，判断B(0，0)，C(2，3)，D(3，2)中，哪些点在直线l上，哪些点不在直线l上； (2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a). ①若A，B，C三点在同一条直线上，求实数a的值； ②若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围． 【解】　(1)因为kAB＝＝2≠1，kAC＝＝1，kAD＝＝0≠1，且直线l经过点A(1，2)，故点C在直线l上，点B，D不在直线l上． (2)①因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kBC，即＝，所以a＝2或a＝. ②由①知当A，B，C三点共线时，a＝2或a＝，那么A，B，C三点不共线时，a≠2且a≠，即实数a的取值范围为{a|a≠2且a≠}． 用斜率公式解决三点共线的方法 [跟踪训练3] (1)若A(－2，3)，B(3，－2)，C(，m)三点在同一条直线上，则实数m的值为________． 解析：因为A，B，C三点在同一条直线上，所以kAB＝kAC，所以＝，解得m＝. 答案： (2)设点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________． 解析：依题意知直线AC的斜率存在，则m≠－1，由kAC＝3kBC，得＝3×，解得m＝4. 答案：4 1．(多选)如图，α能表示直线l的倾斜角的是(　　) 答案：AC 2．(2024·江西九江检测)若直线l经过点A(0，－2)，B(1，－3)，则该直线的斜率为(　　) A．5 B．－5 C．1 D．－1 解析：选D．由题意知，k＝＝－1，即直线l的斜率为－1.故选D． 3．已知三点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，11)共线，则k的值为________． 解析：因为三点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，11)共线，所以kAB＝kAC，即＝，解得k＝－9. 答案：－9 4．若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：＋＝. 证明：因为A，B，C三点共线， 所以kAB＝kAC， 即＝， 由此可得a＋b＝ab， 两边同时除以ab，得＋＝. 1．已学习：直线的倾斜角、直线斜率的定义和斜率公式． 2．须贯通：每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率． 3．应注意：忽视倾斜角范围，图形理解不清． 学科网（北京）股份有限公司 $