强化课 均值和方差在决策中的应用-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．(2024·江西省龙南中学期末)一个小型制冰厂有3台同一型号的制冰设备，在一天内这3台设备只要有一台能正常工作，制冰厂就会有利润，当3台都无法正常工作时制冰厂就因停业而亏本(3台设备相互独立，3台都正常工作时利润最大).每台制冰设备的核心系统由3个同一型号的电子元件组成，3个电子元件能正常工作的概率都为p，它们之间相互不影响，当系统中有不少于的电子元件正常工作时，此台制冰设备才能正常工作． (1)当p＝时，求一天内制冰厂不亏本的概率； (2)若已知当前每台设备能正常工作的概率为0.6，根据以往经验可知，若制冰厂由于设备不能正常工作而停业一天，制冰厂将损失1万元，为减少经济损失，有以下两种方案可供选择参考： 方案1：更换3台设备的部分零件，使每台设备能正常工作的概率为0.85，更新费用共为600元． 方案2：对设备进行维护，使每台设备能正常工作的概率为0.75，设备维护总费用为a元．请从均值损失最小的角度判断如何决策？ 解：(1)当p＝时，每台设备能正常工作的概率为C2＋C3＝，所以一天内制冰厂不亏本的概率为1－3＝1－＝. (2)若不采取措施，设总损失为X0，当前每台设备能正常工作的概率为0.6，故EX0＝10 000×3＝10 000×0.064＝640元；设方案1、方案2的总损失分别为X1，X2，采用方案1，由题意知，EX1＝10 000×3＋600＝33.75＋600＝633.75(元)；采用方案2，由题意知，EX2＝10 000×3＋a＝156.25＋a(元)，又EX1－EX2＝633.75－156.25－a＝477.5－a，且640>633.75，因此，从均值损失最小的角度，当a＝477.5时，可以选择方案1或2；当a<477.5时，选择方案2；当a>477.5时，选择方案1. 2．(2024·陕西西安检测)强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为，，m，其中0<m<1. (1)若m＝，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率； (2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的均值为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围． 解：(1)设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件A，“该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目”为事件B，根据题意可得P(A)＝C××＝，P(B)＝×2＋×××2＝. (2)设该考生报考甲大学通过的科目数为X，报考乙大学通过的科目数为Y，根据题意可知，X～B，则EX＝3×＝，P(Y＝0)＝×(1－m)＝(1－m)，P(Y＝1)＝×(1－m)＋×(1－m)＋×m＝－m，P(Y＝2)＝×(1－m)＋×m＋×m＝＋m，P(Y＝3)＝×m＝m，则随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P (1－m) －m ＋m m EY＝－m＋＋m＋m＝＋m，若EY>EX，则＋m>，故<m<1，即m的取值范围是. 3．闲置房出租是增加社会住房供给量，满足人们居住需求的重要途径，王先生有一套住房以每月7 000元的价格出租，但合同租期本月到期，房客直接向王先生提出希望从下月起续租三年，并愿意每月支付8 000元的租金，王先生通过中介公司了解到：该房屋所在小区的类似住宅，目前的租金为每月8 000－9 000元，在委托中介公司后，一般2－4周左右可以找到承租人，同时每次租赁交易成功后，中介公司向出租方和承租方各收取一个月租金的50%作为中介费，对于是否同意房客续租，王先生需要作出决策． (1)除了上述了解到的情况，还有哪些因素王先生可能需要考虑？写出这些因素(不超过5个)； (2)为了简化问题，请对相关因素作出合情假设，由此帮助王先生作出决策，并说明理由． 解：(1)王先生可能需要考虑的因素有：①如果转租采用哪种租借方式；②不同租房价格的可能性；③转租前对住宅的维护费用；④租房所得所需的纳税额． (2)为了简化问题，提出如下假设，①王先生不考虑三年内出售该住宅，如果转租则只考虑一次性租三年；②每月租房未来三年价格基本保持不变，每月租金9 000元的概率为0.25，每月租金8 500元的概率为0.5，每月租金8 000元的概率为0.25；③转租前对住宅的维护费用为1 000元，如果转租，则转租所需时间为1个月，当年租金按11个月计算；④租房所得的税率为3%；⑤租房收入精确到个位．方案一：王先生将住房租给原房客3年，三年租房收入为8 000×36×97%＝279 360(元)，方案二：王先生将住房一次性转租三年，则租房收入X可能为：8 000×35×0.97－5 000＝266 600，8 500×35×0.97－5 250＝283 325，9 000×35×0.97－5 500＝300 050，P＝0.25，P＝0.5，P＝0.25，所以EX＝266 600×0.25＋283 325×0.5＋300 050×0.25＝283 325.因为按方案二出租所获收入的均值大于租给原房客的收入，故考虑不与原房客续租． 4．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由2k－1个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p(0<p<1)，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为pk(例如：p2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；p3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率). (1)若p＝，当k＝2时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和均值，并求p3； (2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元．记设备升级后单位时间内的利润为Y(单位：元). ①请用pk表示EY； ②设备升级后，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润． 解：(1)因为k＝2，所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0，1，2，3.因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为p＝，所以X～B，所以P(X＝0)＝C03＝，P(X＝1)＝C12＝，P(X＝2)＝C21＝，P(X＝3)＝C30＝，所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为 X 0 1 2 3 P 控制系统中正常工作的元件个数X的均值为EX＝3×＝2，p3＝C＋C＋C＝＋＋＝. (2)①升级改造后单位时间内产量的分布列为 产量 4a 0 设备运行概率 pk 1－pk 所以升级改造后单位时间内产量的均值为4apk，所以 产品类型 高端产品 一般产品 产量(单位：件) apk 3apk 利润(单位：元) 2 1 设备升级后单位时间内的利润为2apk＋3apk＝5apk，即EY＝5apk. ②因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有k＋1个元件正常工作，其概率为p(1)＝pk－Cpk·(1－p)k－1；第二类：原系统中恰好有k个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为p(2)＝Cpk·(1－p)k－1·＝Cpk＋1·(1－p)k－1·(2－p)；第三类：原系统中有k－1个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为p(3)＝Cpk－1(1－p)k·p2＝C·pk＋1(1－p)k，所以pk＋1＝pk－C·pk(1－p)k－1＋Cpk＋1(1－p)k－1·(2－p)＋Cpk＋1(1－p)k＝pk＋Cpk·(1－p)k·(2p－1)，则pk＋1－pk＝C·pk(1－p)k·(2p－1)，所以当p>时，pk＋1－pk>0，pk单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大，当p≤时，pk＋1－pk≤0，即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，又因为EY＝5apk，所以当p>时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；当p≤时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润． 学科网（北京）股份有限公司 $