培优6 二项分布与超几何分布的辨析-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

　二项分布与超几何分布的辨析 类型一 二项分布、超几何分布的概念 　分别指出下列随机变量服从什么分布，并用合适的符号表示： (1)某班级共有30名学生，其中有10名学生戴眼镜，随机从这个班级中抽取5人，设抽到的不戴眼镜的人数为X； (2)已知女性患色盲的概率为0.25%，任意抽取300名女性，设其中患色盲的人数为X； (3)学校要从3名男教师和4名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中男教师的人数为X； (4)某同学投篮的命中率为0.6，设10次投篮命中的次数为X. 【解】　(1)依题意不戴眼镜的人数X服从N＝30，M＝20，n＝5的超几何分布，即P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4，5). (2)依题意每次抽到患色盲的女性的概率为0.25%，任意抽取300名女性，设其中患色盲的人数为X，则X服从二项分布，即X～B(300，0.25%). (3)抽取的人中男教师的人数X服从N＝7，M＝3，n＝3的超几何分布，即P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3). (4)10次投篮命中的次数X服从二项分布，即X～B(10，0.6). 类型二 二项分布、超几何分布的区分 角度1　从抽样方法来区分 　盒子中有大小相同的4个红球和6个黑球． (1)从中每次取出1个球然后放回，连续抽取三次，求取到红球次数X的分布列和均值； (2)从中逐个不放回的抽取出3个球(效果等同于一次同时取出3个球)，求取到红球个数Y的分布列和均值． 【解】　(1)由已知X～N，P＝C·0.4k·3－k， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P EX＝3×0.4＝1.2. (2)由已知Y服从N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布，P＝， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 方法一：EY＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2. 方法二：EY＝＝＝1.2. 角度2　从抽取产品的总数N和其中所含次品的件数M是否明确来区分 　某工厂为检验其所生产的产品的质量，从所生产的产品中随机抽取10件进行抽样检验，检测出有两件次品． (1)从这10件产品中随机抽取3件，其中次品件数为X，求X的分布列和均值； (2)用频率估计概率，若所生产的产品按每箱100件装箱，从一箱产品中随机抽取3件，其中次品件数为Y，求Y的分布列和均值； (3)用频率估计概率，从所生产的产品中随机抽取3件，其中次品件数为Z，求Z的分布列和均值． 【解】　(1)X的可能取值为0，1，2，根据题意X服从N＝10，M＝2，n＝3的超几何分布，P＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 方法一：EX＝0×＋1×＋2×＝0.6. 方法二：EX＝＝＝0.6. (2)Y的可能取值为0，1，2，3，根据题意Y～B(3，0.2)，P＝C·0.2k·3－k，所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P EY＝3×0.2＝0.6. (3)Z的可能取值为0，1，2，3，根据题意Z～B(3，0.2)，P＝C·0.2k·3－k(k＝0，1，2，3)，所以Z的分布列为 Z 0 1 2 3 P EZ＝3×0.2＝0.6. 　两种分布的区别与转化 类别 超几何分布 二项分布 抽取方式 不放回抽取，各次抽取不独立 有放回抽取，各次抽取相互独立 总体个数 有限个 有限，未知或无限 随机变量取值的概率 利用排列组合计算 利用相互独立事件计算 转化 当保持不变，若N越大，每次不放回抽取，抽到次品的概率与相差越小，因此，当N很大时，超几何分布可以近似看成二项分布 类型三 超几何分布和二项分布的应用 　为了解大学生课外阅读情况，现从某高校随机抽取100名学生，将他们一年课外阅读量(单位：本)的数据分成7组，即[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到样本的频率分布直方图，如图所示． (1)求阅读量小于60本的人数； (2)已知阅读量在[20，30)，[30，40)，[40，50)内的学生人数比为2∶3∶5.为了进一步了解学生阅读课外书的情况，现从阅读量在[20，40)内的学生中随机选取3人进行调查，用X表示所选学生阅读量在[20，30)内的人数，求X的分布列与均值； (3)视频率为概率，从该高校的全体学生中任选3人，用Y表示所选学生阅读量在[60，70)内的人数，求Y的分布列与均值． 【解】　(1)阅读量小于60本的人数为100－100×10×(0.04＋0.02×2)＝20. (2)由已知条件及(1)可知，阅读量在[20，50)内的人数为20－100×0.01×10＝10，故阅读量在[20，30)内的人数为2，在[30，40)内的人数为3，在[40，50)内的人数为5.易知X服从N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，所以X的所有可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 P EX＝＝＝. (3)由频率分布直方图知阅读量在[60，70)内的频率为0.02×10＝0.2，即从该高校的全体学生中任选1人，其阅读量在[60，70)内的概率为.则由题意知Y～B(3，). 所以P(Y＝k)＝C··()3－k(k＝0，1，2，3)， 即P(Y＝0)＝C×()0×()3＝， P(Y＝1)＝C××()2＝， P(Y＝2)＝C×()2×＝， P(Y＝3)＝C×()3×()0＝. 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P EY＝3×＝. 　应用超几何分布和二项分布解题的步骤 (1)首先根据两种分布的概念，确定是超几何分布还是二项分布． (2)根据概率公式求分布列：二项分布的概率公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.超几何分布的概率公式P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，(其中m是M，n中的最小值，n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋). (3)根据均值方差公式计算均值和方差： 若X～B(n，p)，则EX＝np，D(X)＝np(1－p)；若X服从超几何分布，则EX＝. 【尝试训练】 1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量： ①X表示取出的最大号码； ②X表示取出的最小号码； ③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分； ④X表示取出的黑球个数． 这四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 解析：选B．对于①，当X表示最大号码，比如X＝6表示从黑球编号为1，2，3，4，5中取3个黑球，而X＝8表示从6个黑球和编号为7的白球共7个球中取3个球，故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布．对于③，X的可能取值为4，5，6，7，8，X＝4表示取出4个白球；X＝5表示取出3个白球1个黑球；X＝6表示取出2个白球2个黑球；X＝7表示取出1个白球3个黑球；X＝8表示取出4个黑球．因此X服从超几何分布．由超几何分布的概念知④符合．故选B． 2．(多选)在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　　) A．P(X＝1)＝ B．P(X＝2)＝ C．随机变量X服从超几何分布 D．随机变量X服从二项分布 解析：选BC．由题意知随机变量X服从超几何分布；X的可能取值为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.故选BC． 3．某冰糖橙是甜橙的一种，以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级．某采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100箱(每箱有5 kg)，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 (1)若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是一级品的概率； (2)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱数，求X的分布列及均值． 解：(1)设“从这100箱橙子中随机抽取1箱，抽到一级品”为事件A，则P(A)＝＝ ， 现有放回地随机抽取4箱，设抽到一级品的箱数为ξ，则ξ～B，所以恰好有2箱是一级品的概率为P＝C×2×2＝. (2)用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱，再从中随机抽取3箱，则珍品的箱数X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，X的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 4．(2024·江西景德镇期中)某比赛规则如下：①比赛分为五轮，每轮比赛设有五道题；②每轮答题前需要读一段安全知识；③如果答题时有n道题回答错误，那么需要被罚分钟的时间；④最终用时为答题时间、读安全知识的时间和被罚时间之和，最终用时最少者获胜．已知甲、乙两人参加比赛，甲每轮读安全知识的时间比乙少12秒，甲、乙两人每道题答对的概率分别为和，假设甲、乙两人的答题用时相同，且每道题是否答对互不影响． (1)若在前四轮答题中，甲、乙两人被罚的时间相同，求乙胜甲的概率； (2)若仅从最终用时考虑，试问甲、乙两人哪位的水平更高？并说明理由． 解：(1)前四轮答题中甲、乙两人被罚的时间相同，而第5轮结束，甲读安全知识的时间比乙少1分钟，所以，要使乙胜甲，则第5轮过程中乙被罚时间小于甲被罚时间加1分钟，则基本事件有：A{甲对2题，乙全对} 、B{甲对1题，乙最少对4题}、C{甲对0题，乙最少对3题}，所以P(A)＝C23·5＝，P(B)＝C1·4·[C4·1＋5]＝，P(C)＝5·[C32＋C4·1＋5]＝，所以乙胜甲的概率为＋＋＝. (2)由题意，甲答错X题，则X～B，乙答错Y题，则Y～B，所以EX＝，EY＝，故甲、乙被罚时间的均值分别为分钟、分钟，显然>＋1，故乙最终用时的均值小于甲，则乙水平更高． 学科网（北京）股份有限公司 $