强化课 均值和方差在决策中的应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

　均值和方差在决策中的应用 题型一　均值与方差在销售利润问题中的应用 　餐饮公司入驻某校，为满足学生餐饮需求、丰富菜品花色，研发了一套新产品．该产品每份成本6元，售价8元，产品保质期为两天，若两天内未售出，则产品过期报废．公司为决策每两天的产量，先进行试销，统计并整理连续30天的日销量(单位：百份)，假设该新产品每日销量相互独立，得到如上的柱状图： (1)以试销统计的频率为概率，记每两天中销售该新产品的总份数为ξ(单位：百份)，求ξ的分布列和均值； (2)以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送27百份，28百份两种方案中应选择哪种？ 【解】　(1)根据题意可得，ξ的所有可能取值为24，25，26，27，28，29，30.P＝×＝，P＝××2＝，P＝××2＋×＝，P＝××2＋××2＝，P＝××2＋×＝，P＝××2＝，P＝×＝.所以ξ的分布列为 ξ 24 25 26 27 28 29 30 P Eξ＝24×＋25×＋26×＋27×＋28×＋29×＋30×＝27.4. (2)当每两天生产配送27百份时，利润为 (24×2－3×6)×＋(25×2－2×6)×＋(26×2－1×6)×＋27×2×＝51.44(百元). 当每两天生产配送28百份时，利润为 (24×2－4×6)×＋(25×2－3×6)×＋(26×2－2×6)×＋(27×2－1×6)×＋28×2×＝49.28(百元).由于51.44>49.28，所以选择每两天生产配送27百份． [跟踪训练1] 某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶．酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照，，，分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率． (1)从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶的概率； (2)试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本75元；小箱每箱30瓶，批发成本60元．由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废．该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为时看作销量为50瓶). ①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y，求X和Y的分布列和均值； ②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？ 注：销售额＝销量×定价；利润＝销售额－批发成本． 解：(1)根据题图中数据，酸奶每天销量大于35瓶的概率为(0.02＋0.01)×10＝0.3，则不大于35瓶的概率为0.7.设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于35瓶”为事件A，则表示“这三天酸奶的销量都不大于35瓶”．所以P(A)＝1－P()＝1－0.73＝0.657. (2)①若早餐店批发一大箱，批发成本为75元，依题意，销量有20，30，40，50四种情况．当销量为20瓶时，利润为5×20－75＝25(元)；当销量为30瓶时，利润为5×30－75＝75(元)；当销量为40瓶时，利润为5×40－75＝125(元)；当销量为50瓶时，利润为5×50－75＝175(元).随机变量X的分布列为 X 25 75 125 175 P 0.3 0.4 0.2 0.1 所以EX＝25×0.3＋75×0.4＋125×0.2＋175×0.1＝80(元).若早餐店批发一小箱，批发成本为60元，依题意，销量有20，30两种情况．当销量为20瓶时，利润为5×20－60＝40(元)；当销量为30瓶时，利润为5×30－60＝90(元).随机变量Y的分布列为 Y 40 90 P 0.3 0.7 所以EY＝40×0.3＋90×0.7＝75(元). ②根据①中的计算结果，EX>EY， 所以早餐店应该每天批发一大箱． 题型二　均值与方差在优选中的应用 　在一个人数很多的地区普查某种疾病，由以往经验知道，该地区居民得此病的概率为0.1%.设有1 000人去验血，给出下面两种化验方法． 方法1：每人逐一进行检查； 方法2：将1 000人分为100组，每组10人．对于每个组，先将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验，如果结果呈阴性，那么可断定这10人均无此疾病；如果结果呈阳性，那么再逐一化验．试问：哪种方法较好？(0.99910≈0.99) 【解】　第1种方法的化验次数为1 000.第2种方法：如果一组的混合血液化验结果是阴性的，就可以断定这10个人均无此病，那么，对这10个人只化验1次；如果结果呈阳性，那么必须对这10个人逐个分别化验，这时对这10个人共需进行11次化验．因为对所有人来说，化验结果呈阳性的概率均为0.001，而且这些人的化验结果是相互独立的，所以每个人的平均化验次数X的分布列如下表所示． X P 10 1－10 所以每个人化验次数X的均值为EX＝×10＋×， 故1 000个人的化验次数为1 000×{×10＋×}＝1 100－1 000×0.99910≈110. 所以第2种方法远好于第1种方法． [跟踪训练2] 某单位组织开展“学习强国”知识竞赛．竞赛设置6个不同的题目，参赛人员从中随机抽取3个题目进行作答，若所抽取的3个题目全部作答正确，则进入下一轮比赛，否则退出比赛．对这6个题目，某科室的甲能正确作答其中的4个题目，乙能正确作答每个题目的概率均为，且甲乙对每个题目的作答都是相互独立的． (1)已知甲乙两人总共正确作答3个题目，求甲答对1道乙答对2道的概率； (2)如果该科室要在甲乙两人中选择一人去参加竞赛，你认为派谁去较为合适？说明理由． 解：(1)甲乙两人总共正确作答3个题目，包括：甲答对3道乙答对0道、甲答对2道乙答对1道、甲答对1道乙答对2道．甲乙两人总共正确作答3个题目的概率为P1＝×＋×C××2＋×C××＝.甲答对1道题目乙答对2道题的概率为P2＝×C××＝.所以甲乙两人总共正确作答3个题目，甲答对1道乙答对2道的概率为P＝＝. (2)设甲正确作答题目个数为X，则X可以取值为1，2，3. 则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， X的分布列为 X 1 2 3 P EX＝1×＋2×＋3×＝2， DX＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝.设乙正确作答题目个数为Y，则Y～B，EY＝3×＝2，DY＝3××＝.因为EX＝EY，所以甲乙两人实力相当，而DX<DY，所以甲比乙更稳定，因此派甲去较为合适． 题型三　均值与方差在投资风险程度分析中的应用 　某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．项目A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c. 经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等． (1)求a，b，c的值； (2)若将100万元全部投到其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 【解】　(1)依题意，得＋＋a＝1，解得a＝.设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，则X1和X2的分布列分别为 X1 0.4x －0.2x 0 P X2 0.3x －0.1x P b c 所以EX1＝0.4x×＋(－0.2x)×＋0×＝0.2x，EX2＝0.3bx－0.1cx，因为EX1＝EX2，所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，即0.3b－0.1c＝0.2.① 又b＋c＝1，② 由①②，解得b＝，c＝，所以a＝，b＝，c＝. (2)选择项目B.理由如下：当投入100万元资金时，由(1)知x＝100，所以EX1＝EX2＝20，DX1＝(40－20)2×＋(－20－20)2×＋(0－20)2×＝600，DX2＝(30－20)2×＋(－10－20)2×＝300.因为EX1＝EX2，DX1＞DX2，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B. [跟踪训练3] 汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如表： A型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 5 10 30 35 15 3 2 B型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 14 20 20 16 15 10 5 (1)从出租天数为3的汽车(仅限A，B两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率； (2)根据这个星期的统计数据(用频率估计概率)，求该公司一辆A型车，一辆B型车一星期内合计出租天数恰好为4的概率； (3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，对该公司应该购买哪一种车型给出建议，并说明你的理由． 解：(1)出租天数为3的汽车中，A型车有30辆，B型车有20辆，从中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率为＝0.6. (2)用事件Ai表示“一辆A型车在一星期内的出租天数恰好为i”，事件Bj表示“一辆B型车在一星期内的出租天数恰好为j”，其中i，j＝1，2，…，7.则该公司一辆A型车，一辆B型车一星期内合计出租天数恰好为4的概率为P(A1B3＋A2B2＋A3B1)＝P(A1B3)＋P(A2B2)＋P(A3B1)＝P(A1)P(B3)＋P(A2)·P(B2)＋P(A3)P(B1)＝0.05×0.2＋0.1×0.2＋0.3×0.14＝0.072.所以该公司一辆A型车，一辆B型车一星期内合计出租天数恰好为4的概率为0.072. (3)设X为A型车一个星期内的出租天数，则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 P 0.05 0.10 0.30 0.35 0.15 0.03 0.02 设Y为B型车一个星期内的出租天数，则Y的分布列为 Y 1 2 3 4 5 6 7 P 0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05 EX＝1×0.05＋2×0.10＋3×0.30＋4×0.35＋5×0.15＋6×0.03＋7×0.02＝3.62，EY＝1×0.14＋2×0.20＋3×0.20＋4×0.16＋5×0.15＋6×0.10＋7×0.05＝3.48，即一辆A型车一个星期内出租天数的均值为3.62，一辆B型车一个星期内出租天数的均值为3.48.从出租天数的数据来看，A型车一个星期内的出租天数为3，4，5占比0.8，B型车一个星期内的出租天数为3，4，5占比0.51，根据数据的集中程度看，A型车比B型车一个星期内的出租天数更集中．综合分析可知，应选择购买A型车． 利用样本的数字特征解决有关决策的问题就是根据提取的数据，建立相应的概率模型，然后利用概率知识求出样本的数字特征——均值、方差等，通过比较得到最优方案，从而解决问题．解题的关键如下： (1)建立模型：根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆； (2)分析数据：分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数； (3)求值：利用概率知识求出概率模型中的均值、方差等数字特征； (4)做出决策：比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策． 学科网（北京）股份有限公司 $