第6章 概率 章末复习提升-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

章末复习提升 要点一　条件概率和全概率公式 1．求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率． 2．掌握条件概率与全概率公式，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养． 训练1　根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2，则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为(　　) A．0.5 B．0.625 C．0.8 D．0.9 解析：选A．设“发生中度雾霾”为事件A，“刮四级以上大风”为事件B，依题意，P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.2，则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为P(A|B)＝＝＝0.5.故选A． 训练2　某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 解析：选A．设“前一天的空气质量为优良”为事件A，“随后一天的空气质量为优良”为事件B，由题可知P(AB)＝0.6，P(A)＝0.75，所以由条件概率公式可得P(B|A)＝＝＝0.8. 训练3　某工厂有两个车间生产同种型号的家用电器，一车间的次品率为0.15，二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库．假设一、二车间生产的成品数量比例为2∶3，现有一客户从成品仓库中随机提出一台产品，求该产品是合格品的概率． 解：设“提出的一台产品是合格品”为事件B，“提出的一台产品是第i车间生产的”为事件Ai，i＝1，2，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，则B＝A1B∪A2B．由题意得P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868. 要点二　随机变量的均值、方差 1．均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛． 2．通过求离散型随机变量的均值、方差，培养数学运算、逻辑推理等核心素养． 训练1　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、均值及标准差． 解：由题意，得X的所有可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝×＝；P(X＝1)＝×＋×＝；P(X＝2)＝×＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 P EX＝0×＋1×＋2×＝， DX＝2×＋2×＋2×＝， 所以＝. 训练2　在不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为. (1)求白球的个数m； (2)若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为X，求X的分布列、均值和方差． 解：(1)因为第一个取出的球是红球的前提下，袋中还有3个红球，m个白球，则第二个取出的球是白球的概率为＝，解得m＝5. (2)由题意及(1)可知，袋中有4个红球，5个白球，若有放回的取出两个球，记取出的红球个数为X，则X的可能取值有0，1，2，则P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝2××＝，P(X＝2)＝2＝，所以随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 所以，EX＝0×＋1×＋2×＝， DX＝2×＋2×＋2×＝. 训练3　气象部门提供了某地区六月份(30天)的日最高气温的统计表如下： 日最高气温 t(单位：℃) t≤ 22 ℃ 22 ℃<t ≤28 ℃ 28 ℃<t ≤32 ℃ t> 32 ℃ 天数 6 12 Y Z 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9. 某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t(单位：℃)对西瓜的销售影响如下表： 日最高气温t (单位：℃) t≤ 22 ℃ 22 ℃<t ≤28 ℃ 28 ℃<t ≤32 ℃ t> 32 ℃ 日销售额 X(千元) 2 5 6 8 (1)求Y，Z的值； (2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的均值和方差； (3)在日最高气温不高于32 ℃时，求日销售额不低于5千元的概率． 解：(1)由题意，P＝0.9，所以P(t>32 ℃)＝1－0.9＝0.1，所以Z＝30×0.1＝3，Y＝30－＝9. (2)由题意X可取2，5，6，8，P(X＝2)＝＝0.2，P(X＝5)＝＝0.4，P＝＝0.3，P(X＝8)＝＝0.1，六月份西瓜日销售额的分布列为 X 2 5 6 8 P 0.2 0.4 0.3 0.1 所以EX＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5，DX＝2×0.2＋2×0.4＋2×0.3＋2×0.1＝3. (3)日最高气温不高于32 ℃共有27天，其中日销售额不低于5千元共有12＋9＝21天，则在日最高气温不高于32 ℃时，日销售额不低于5千元的概率为＝. 要点三　二项分布与超几何分布 1．二项分布与n重伯努利试验恰有k次发生的概率对应；超几何分布主要用于抽检产品，摸不同类别的小球等概型，其实质是古典概型． 2．对于抽取问题，不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布． 训练1　某地7个村中有3个村是文明村，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是(　　) A．至少有1个文明村 B．有1个或2个文明村 C．有2个或3个文明村 D．恰有2个文明村 解析：选B．用X表示这3个村中的文明村数，X服从超几何分布，故P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝1)＋P(X＝2)＝.故选B． 训练2　在全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x轴正方向移动的概率是，沿y轴正方向移动的概率为，则该智能汽车移动6次恰好移动到点(3，3)的概率为________． 解析：若该智能汽车移动6次恰好到点(3，3)，则智能汽车在移动过程中沿x轴正方向移动3次、沿y轴正方向移动3次，因此智能汽车移动6次后恰好位于点(3，3)的概率为P＝C()3()3＝20×＝. 答案： 训练3　根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效． (1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人数为X，求X的分布列及均值； (2)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性． (参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件) 解：(1)X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为 X 0 1 2 P EX＝0×＋1×＋2×＝1. (2)新药无效的情况有10人中1人痊愈、10人中0人痊愈，所以p＝C()0×()10＋C()×()9＝≈0.01<0.05.故实验方案合理． 要点四　正态分布 1．正态分布是连续型随机变量X的一种分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其是统计学中的3σ原则在生产生活中有广泛的应用． 2．熟记正态分布的特征及应用3σ原则解决实际问题是本章的两个重点，并在学习中提升直观想象、数据分析的素养． 训练1　一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在(90，110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为(　　) A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21 解析：选B．由已知P(90<X≤110)＝0.3，所以X～B(10，0.3)，n＝10，p＝0.3，所以DX＝np(1－p)＝10×0.3×0.7＝2.1. 训练2　(2024·江西景德镇期中)为了了解目前全市高一学生身体素质状况，对某校高一学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X～N(70，100)，其中60分及以上为及格，90分以上为优秀，则该校学生体育成绩的方差为________；该校学生体育成绩的优秀率为_________________________． 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 4. 解析：由题设知σ2＝100，μ＝70，所以该校学生体育成绩的方差为100，均值为70.P(X>90)＝×[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]≈×(1－0.954 4)＝0.022 8，故该校学生体育成绩的优秀率为2.28%. 答案：100　2.28% 训练3　在某校举行的一场古诗词大赛中，全体参赛学生的成绩X(单位：分)近似服从正态分布N(70，100).已知成绩在90分以上的学生有16名． (1)试问此次参赛的学生约有多少人？ (2)若该校计划奖励成绩在80分以上的学生，试问此次大赛获得奖励的学生约有多少人？ 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 4. 解：(1)由题意知，X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10，则P(X>90)＝[1－P(50<X≤90)]＝[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]≈×(1－0.954 4)＝0.022 8， 16÷0.022 8≈702. 因此，此次参赛的学生约有702人． (2)由P(X>80)＝[1－P(60<X≤80)]＝[1－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]≈×(1－0.682 6)＝0.158 7，702×0.158 7≈111.因此，此次大赛获得奖励的学生约有111人．0 要点五　决策问题 实际中的决策问题要进行必要的数据收集，数据分析处理，涉及统计图表与概率知识，随机变量的分布列．均值和方差的求解是决策问题的核心． 训练1　某人欲投资10万元，有两种方案可供选择．设X表示方案一所得收益(单位：万元)，Y表示方案二所得收益(单位：万元).其分布列分别为 X －2 8 P 0.7 0.3 Y －3 12 P 0.7 0.3 假定同期银行利率为1.75%，该人征求你的意见，你通过分析会得到怎样的结论呢？ 解：由均值和方差的计算公式，得EX＝－2×0.7＋8×0.3＝1(万元)，EY＝－3×0.7＋12×0.3＝1.5(万元)，DX＝2×0.7＋2×0.3＝21，DY＝2×0.7＋2×0.3＝47.25.由于同期银行利率为1.75%，所以若将10万元存入银行，可得利息(无风险收益)10×1.75%＝0.175(万元).从期望收益的角度来看，两种投资方案都可以带来额外的收益，但都要冒一定的风险．方案一的期望收益小于方案二，但方案一的风险也小于方案二．所以如果想稳赚而不冒任何风险，就选择存入银行；如果想多赚点又不想风险太大就选择方案一；如果想多赚又不怕风险就选择方案二． 训练2　某公司计划在2026年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择． 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 解：设投资项目一、二获利分别为X，Y万元，则X的可能取值有30，－15，且P＝，P＝，Y的可能取值有50，－30，0，且P＝，P＝，P＝，所以，EX＝30×＋×＝20，EY＝50×＋×＋0×＝20，所以，EX＝EY，DX＝2×＋2×＝350，DY＝2×＋2×＋2×＝1 400，则DX<DY，这说明虽然项目一、项目二获得利润的均值相等，但项目一更稳妥，因此，选择项目一较好． 训练3　中医是中华民族的瑰宝，是中国古代人民智慧的结晶，中医离不开中药，中药主要包括植物药、动物药、矿物药．某植物药材的存放年份X的取值为3，4，…，8，其中5≤X≤8 为一等品，3≤X<5为二等品．已知中药厂按照两种方式出售此植物药材，精品药材(只含一等品)的售价为10元/株；混装药材(含一等品与二等品)的售价为6元/株．某药店需要购买一批此植物药材． (1)已知中药厂库存中精品药材的年份X的分布列如下表所示，且X的均值EX＝6.5，求X的方差； X 5 6 7 8 P a 0.4 b 0.1 (2)为分析中药厂库存中混装药材的年份Y，从混装药材中随机抽取20株，相应的年份组成一个样本，数据如下：3，5，3，3，8，5，5，6，3，4，6，3，4，7，5，3，4，8，4，7.用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求混装药材的年份Y的均值； (3)在(1)(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪种药材更具可购买性？并说明理由． 注：①药材的“性价比”＝；②“性价比”大的药材更具可购买性． 解：(1)由X的分布列，得a＋0.4＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.因为EX＝6.5，所以5×a＋6×0.4＋7b＋8×0.1＝6.5，即5a＋7b＝3.3.由解得所以DX＝(5－6.5)2×0.1＋(6－6.5)2×0.4＋(7－6.5)2×0.4＋(8－6.5)2×0.1＝0.65. (2)由题意，可得年份Y的频数分布表为 Y 3 4 5 6 7 8 n 6 4 4 2 2 2 因此可得Y的概率分布列为 Y 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以EY＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8，即混装药材的年份Y的均值为4.8. (3)混装药材更具可购买性．理由如下：因为精品药材的年份X的均值为6.5，售价为10元/株，所以其“性价比”为＝0.65；混装药材的年份Y的均值为4.8，售价为6元/株，所以其“性价比”为＝0.8，因为0.8>0.65，所以混装药材更具可购买性． 学科网（北京）股份有限公司 $