4.2 超几何分布-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

4．2　超几何分布 学习目标 1.理解超几何分布及其推导过程并能简单运用．　2.会求超几何分布的均值 一　超几何分布的概念 1．定义 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝____________，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}.其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的____________． 2．性质 (1)不放回抽样； (2)一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(有M个)，B(有N －M个)，任取n个，其中恰有x个A符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布．满足超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成． [答案自填] 　超几何分布 思考　比较一下超几何分布和二项分布． 提示：超几何分布和二项分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同．对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布趋近于二项分布． 　袋中有10个大小与质地相同的球，其中7个是红球．从中任取5个球，求取出的球中红球个数X的分布列及P. 【解】　由题意，袋中有红球7个，其他颜色的球有3个，故X的可能取值为2，3，4，5， P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝4)＝＝＝，P(X＝5)＝＝＝， 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 P 方法一：P＝1－P(X＝2)＝1－＝. 方法二：P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＋＝. 利用超几何分布求概率的步骤 (1)明确随机变量是否服从超几何分布，把握等可能、不放回两个特点． (2)在实际问题中需通过关注的实际对象来确定参数N，M，n的值． (3)代入公式计算概率． [跟踪训练1] 从5名男生和3名女生中任选3人参加某活动．若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列及P(X<2). 解：由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.故随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝. 二　超几何分布的均值 一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝________． [答案自填] 　一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球，3个黄球，2个蓝球，从中任取3个小球． (1)求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率； (2)设X表示取到的蓝色小球的个数，求X的分布列和均值． 【解】　(1)P＝＝. (2)X的可能取值为0，1，2，X服从N＝7，M＝2，n＝3的超几何分布． P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， X的分布列为 X 0 1 2 P 方法一：EX＝0×＋1×＋2×＝. 方法二：EX＝＝＝. 求超几何分布均值的步骤 (1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值． (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率． (3)利用均值公式求解． [跟踪训练2] 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和均值． 解：(1)由题意，参加集训的男学生、女学生各有6人，入选代表队的学生全从B中学抽出(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝. (2)由题得X的可能取值为1，2，3，且X服从N＝6，M＝3，n＝4的超几何分布. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 方法一：EX＝1×＋2×＋3×＝2. 方法二：EX＝＝＝2. 1．(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(　　) A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 解析：选ACD．由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布．故选ACD． 2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D．P(X＝3)＝＝.故选D． 3．在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为________．(用式子表示) 解析：设选取的4人中英国人有X个，由题意知X服从参数为N＝15，M＝5，n＝4的超几何分布，其 中X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4).所以P(X＝3)＝. 答案： 4．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回的方式从袋中任取3个球，取到黑球的数目用X表示，求随机变量X的分布列与均值． 解：X可能取的值为0，1，2. 由题意知，X服从N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 P 方法一：EX＝0×＋1×＋2×＝. 方法二：EX＝＝＝. 1．已学习：超几何分布及其推导过程，运用公式进行简单计算． 2．须贯通：超几何分布的概念，概率公式，均值公式． 3．应注意：(1)超几何分布与二项分布的不同； (2)准确理解题意，找出三个参数N，M，n. 学科网（北京）股份有限公司 $