第6章 4 二项分布与超几何分布（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

§4　二项分布与超几何分布 学习目标 素养要求 1.理解n重伯努利试验，掌握二项分布和超几何分布． 2.能利用n重伯努利试验、二项分布和超几何分布解决一些实际问题． 1.通过学习n重伯努利试验、二项分布以及超几何分布的概念，培养数学抽象的核心素养． 2.借助n重伯努利试验的模型、二项分布以及超几何分布的应用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　二项分布 [问题1]　研究抛掷硬币结果的规律时，需要做大量的掷硬币的试验，在n次重复掷硬币的过程中．各次试验的结果会受其他试验的结果的影响吗？P(A1A2…An)与P(A1)P(A2)…P(An)之间有什么样关系？(其中Ai(i＝1，2，3，…，n)是第i次的试验结果) 答：各次试验的结果都不会受其他试验结果的影响，P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An). [问题2]　投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，针尖向下的概率q＝1－p，连续掷一枚图钉3次，如何求仅出现1次针尖向上的概率？ 答：设B表示仅有一次针尖向上，P(B)＝3pq2. ►知识填空 1．n重伯努利试验 在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验． 2．二项分布 (1)二项分布的定义 在n重伯努利试验中，且X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n). 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为X～B(n，p)．显然，两点分布是二项分布在参数n＝1时的特殊情况． (2)二项分布的均值与方差 ①二项分布的均值与方差：若随机变量X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)． ②两点分布的均值与方差：若随机变量X服从参数为p的两点分布，EX＝p，DX＝p(1－p)． 知识点二　超几何分布 [问题]　在含有5名男生的100名学生中，任选3人． (1)求其中恰有1名男生的概率表达式． 答：. (2)求其中恰有2名男生的概率表达式． 答：. ►知识填空 1．定义：设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中，n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布． 2．超几何分布的均值：当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值EX＝． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有放回地抽样试验是n重伯努利试验．(　　) (2)在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响．(　　) (3)在n重伯努利试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．(　　) (4)如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知ξ～B(n，p)，Eξ＝8，Dξ＝1.6，则n与p的值分别为(　　) A．100和0.08　　　　B．20和0.4 C．10和0.2 D．10和0.8 答案：D 3．某运动员在比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是________． 答案：0.243 4．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________；EX＝________． 答案：　2 题型一　n重伯努利试验的概率问题 [例 1]　(1)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　) A．　　　　　　　　　B． C． D． (2)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答) ①求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； ②求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 解析：(1)选A　第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P＝C ××＝. (2)①记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P()＝1－＝. (2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C×＝，P(B2)＝C××＝，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝. n重伯努利试验概率求法的三个步骤 (1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为伯努利试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆． (3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．　　 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位) (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率． 解：(1)记A＝“预报一次准确”，则P(A)＝0.8. 5次预报相当于5次伯努利试验． “恰有2次准确”的概率为 P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为 P＝C×0.25＋C×0.8×0.24＝0.006 72. 所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99. 所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99. 题型二　求二项分布的分布列、均值和方差 [例 2]　袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列、均值和方差． 解：有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0，1，2，3.又每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3重独立重复试验，则X～B. ∴P(X＝0)＝C×＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C×＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∵X～B， ∴EX＝3×＝，DX＝3××＝. 二项分布的解题步骤 (1)判断随机变量X是否服从二项分布 看两点：①是否为n重伯努利试验；②随机变量是否为在这n重伯努利试验中某事件发生的次数． (2)建立二项分布模型 (3)利用公式求分布列、均值和方差 [提醒]　若Y＝aX＋b(a，b∈R)且X服从二项分布，则通过Y＝aX＋b可快速求EY，DY.　　 1．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝(　　) A．0.7　　　　　　　B．0.6 C．0.4 D．0.3 解析：选B　由题意可知X～B(10，p)，故DX＝10p(1－p)＝2.4，解得p＝0.6或p＝0.4，当p＝0.6时， P(X＝4)＝C×0.64×0.46＝C×＝C××22，P(X＝6)＝C×0.66×0.44＝C×＝C××32，满足P(X＝4)＜P(X＝6)，所以p＝0.6； 同理可验证p＝0.4时不满足P(X＝4)＜P(X＝6).故选B. 2．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列、均值和方差． 解：由题意可知：X～B， 所以P(X＝k)＝C(k＝0，1，2，3). P(X＝0)＝C＝， P(X＝1)＝C··＝， P(X＝2)＝C·＝， P(X＝3)＝C＝. 所以分布列为 X 0 1 2 3 P 因为X～B，所以EX＝3×＝，DX＝3××＝. 题型三　超几何分布及其均值 [例 3]　(1)(多选)有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下几种变量服从超几何分布的是(　　) A．X表示取出的最大号码 B．Y表示取出的最小号码 C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分 D．η表示取出的黑球个数 (2)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求： ①抽到他能背诵的课文的数量的分布列及均值； ②他能及格的概率． 解：(1)选CD　超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为试验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知CD服从超几何分布． (2)①设抽到他能背诵的课文的数量为X， 则P(X＝r)＝(r＝0，1，2，3). 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P EX＝3×＝. ②能及格的概率为P(ξ≥2)＝＋＝. 超几何分布的求解步骤 (1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优劣”等或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型． (2)用公式：可以直接借助公式P(X＝k)＝求概率，用公式EX＝求均值，注意利用公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．　　 某班同学利用寒假在A小区进行了一次生活习惯是否符合低碳理念的调查，若生活习惯符合低碳理念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数各占A小区总人数的比例如下表所示： A小区 低碳族 非低碳族 比例 在A小区中随机选择20户，设从中抽取的3户中“非低碳族”的数量为X，求X的分布列及均值． 解：在A小区中随机选择的20户中，“非低碳族”有20×＝4户，由题可知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝20，M＝4，n＝3. 则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故EX＝＝＝. [课堂小结] 1．n重伯努利试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验中的事件是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2．二项分布是有放回抽样，每次抽取时的总体没有改变，因此每次抽到某事物的概率都是相同的，可以看成是n重伯努利试验；超几何分布是不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，即二项分布与超几何分布的最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样． 3．若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np，Dξ＝np(1－p). 4．若η服从参数为N，M，n的超几何分布，则Eη＝. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$