1.3 全概率公式-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．3　全概率公式 学习目标 1. 结合古典概型，会利用全概率公式计算概率．　2.了解贝叶斯公式． 一　全概率公式 1．概念：设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则对任意一个事件A有P(A)＝__________．称上式为全概率公式． 2．意义：如果我们把Bi看成导致事件A发生的各种可能“原因”，那么，全概率公式告诉我们：事件A发生的概率恰好是事件A在这些“原因”下发生的条件概率的平均． [答案自填] (Bi)P(A|Bi) 角度1　全概率公式及其应用 　(2024·陕西西安期末)已知P(A)＝，P(B|A)＝，P(|)＝，则P(B)＝________________________________. 【解析】　因为P(A)＝，所以P()＝1－P(A)＝1－＝，因为P(|)＝，所以P(B|)＝1－P(|)＝1－＝，所以由全概率公式可得P(B)＝P(B|A)·P(A)＋P(B|)P()＝×＋×＝. 【答案】　 运用全概率公式的一般步骤 (1)求出样本空间Ω的一个划分B1，B2，…，Bn； (2)求P(Bi)(i＝1，2，…，n)； (3)求P(A|Bi)(i＝1，2，…，n)； (4)利用公式P(A)＝P(Bi)P(A|Bi). [跟踪训练1] 已知P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|)＝0.2，则P(A)＝(　　) A． B． C．0.33 D．0.1 解析：选A．由全概率公式可得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)，可得0.3＝P(A)×0.9＋(1－P(A))×0.2，解得P(A)＝.故选A． 角度2　全概率公式在简单事件中的应用 　某学校有A，B两家餐厅，王飞第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6，如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.求王飞第2天去A餐厅用餐的概率． 【解】　设事件A1为“第1天去A餐厅用餐”，事件B1为“第1天去B餐厅用餐”，事件A2为“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥．根据题意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8.由全概率公式得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7. 所以王飞第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. 用全概率公式求概率的策略 实质 为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率可加性，得到最终结果． 应用 把事件A看作某一过程的结果，把B1，B2，…，Bn看作该过程的若干个原因，根据所给资料，每一原因发生的概率(即P(Bn))已知，而且每一原因对结果的影响程度(即P(A|Bn))已知，则可用全概率公式计算结果发生的概率(即P(A)). [跟踪训练2] 播种用的小麦种子混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的四等种子，其余为一等种子．已知播种一、二、三、四等种子长出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批麦种所结出的麦穗含有50颗麦粒以上的概率． 解：设事件Bk为“从这批种子中任选一颗是k等种子”，k＝1，2，3，4.设事件A为“从这批种子中任选一颗结出的麦穗含有50颗麦粒以上”，则P(B2)＝0.02，P(B3)＝0.015，P(B4)＝0.01，P(B1)＝1－0.02－0.015－0.01＝0.955，P(A|B1)＝0.5，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.1，P(A|B4)＝0.05，由全概率公式得，P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.955×0.5＋0.02×0.15＋0.015×0.1＋0.01×0.05＝0.482 5. 二　*贝叶斯公式 1．概念 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0，P(Bi)>0(i＝1，2，…，n)，则P(Bi|A)＝，称上式为贝叶斯(Bayes)公式． 2．实质 它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率，贝叶斯公式的思想就是“执果溯因”． 　一项血液化验可以用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%.若某人化验结果为阳性，求此人确实患有此病的概率． 【解】　设事件A为“呈阳性反应”，事件B为“患有此种疾病”，则 P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.所以P(B|A)＝＝≈32.3%. 利用贝叶斯公式求概率的方法步骤 第一步，利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)；第二步，计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；第三步，代入P(B|A)＝求解． [跟踪训练3] 已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，现有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为(　　) A．0.2 B．0.8 C．0.3 D．0.7 解析：选B．设事件B表示“汽车中途停车修理”，事件A1表示“公路上经过的汽车是货车”，事件A2表示“公路上经过的汽车是客车”，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，由贝叶斯公式，可知中途停车修理的是货车的概率为 P(A1|B)＝＝＝0.8.故选B． 易错点 对所求事件分类不全导致失误 [典例展示]　某游泳小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员8人，三级运动员8人．现在举行一场游泳选拔比赛，若一、二、三级运动员能够晋级的概率分别是0.9，0.7，0.4，则在这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为(　　) A．0.5 B．0.60 C．0.62 D．0.46 [错解展示]　记事件B为“选出的运动员能晋级”，事件A1为“选出的运动员是一级运动员”，事件A2为“选出的运动员是二级运动员”．由题意知，P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.7，由全概率公式得，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×0.9＋×0.7＝0.46.即任选一名运动员能够晋级的概率为0.46.故选D． 正解：记事件B为“选出的运动员能晋级”，事件A1为“选出的运动员是一级运动员”，事件A2为“选出的运动员是二级运动员”，事件A3为“选出的运动员是三级运动员”．由题意知， P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.7，P(B|A3)＝0.4，由全概率公式得，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×0.9＋×0.7＋×0.4＝0.62.即任选一名运动员能够晋级的概率为0.62.故选C． 答案：C [易错警示]　对所求事件的分类要全面，不重不漏，否则用全概率公式计算容易出错． 1．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生的体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为，如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．记事件A为“第1球投进”，事件B为“第2球投进”，P(B|A)＝，P(B|)＝，P(A)＝，由全概率公式可得P(B)＝P(A)P(B|A)＋ P()P(B|)＝2＋2＝.故选B． 2．一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次，第二次取到白球的概率为________． 解析：设A＝{第一次取到白球}，B＝{第二次取到白球}，因为B＝AB∪B，且AB与B互斥，所以P(B)＝P(AB∪B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×＋×＝0.6. 答案：0.6 3．假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，在该市场中随机购买一个灯泡，是合格品的概率为________；如果买到的灯泡是合格品，那么它是甲厂产品的概率约为________． 解析：设事件A为“购买到的灯泡为甲厂产品”，事件B为“购买到的灯泡为乙厂产品”，事件C为“购买到的灯泡是合格品”．则P(A)＝0.6，P(B)＝0.4，P(C|A)＝0.9，P(C|B)＝0.8，所以P(C)＝ P(A)P(C|A)＋P(B)·P(C|B)＝0.6×0.9＋0.4×0.8＝0.86，所以P(A|C)＝＝≈0.63. 答案： 0.86　0.63 4．现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率． 解：设事件A为“对所选的题有思路”，事件为“对所选的题完全没有思路”，事件B为“做对所选题目”，则Ω＝A∪，且A与互斥． 由题意得P(A)＝＝，P()＝＝，P(B|A)＝0.9，P(B|)＝0.25. 由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝×0.9＋×0.25＝0.737 5.即他做对该题的概率是0.737 5. 1．已学习：全概率公式以及贝叶斯公式． 2．须贯通：准确地对所求事件分类，求解全概率公式． 3．应注意：(1)对所求事件分类准确无误；(2)不要混淆条件概率中的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $