1.2 乘法公式与事件的独立性-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．第一个袋中有黑、白球各2个，第二个袋中有黑、白球各3个．先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，再从第二个袋中任取一球，则第一、二次均取到白球的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．记事件Ai表示“第i次取得白球”，i＝1，2，则P(A1)＝，P(A2|A1)＝，由乘法公式求得，P(A1A2)＝P(A2|A1)P(A1)＝×＝.故选B． 2．若甲、乙、丙三人在10分钟之内独立复原魔方的概率分别为0.7，0.6，0.5，则甲、乙、丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为(　　) A．0.26 B．0.29 C．0.32 D．0.35 解析：选D．甲、乙、丙至多有一人在10分钟之内独立复原魔方的概率为0.7×(1－0.6)×(1－0.5)＋(1－0.7)×0.6×(1－0.5)＋(1－0.7)×(1－0.6)×0.5＋(1－0.7)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.35.故选D． 3．(2024·安徽宿州月考)已知P(A∪B)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　) A．A与B互斥不对立 B．A与B对立 C．A与B相互独立 D．A与B既互斥又相互独立 解析：选C．由P()＝，可得P(A)＝1－P()＝1－＝，因为P(A)＋P(B)＝≠P(A∪B)，则A与B不互斥，不对立．由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)可得P(A∩B)＝，因为P(A)P(B)＝＝P(A∩B)，所以A与B相互独立．故选C． 4．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为(　　) A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 解析：选A．记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5.所以P(AB)＝P(B|A)P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4.故选A． 5．多年来，网络春晚一直致力于为本土市民“圆春晚梦”，得到了广大市民的认可．某市2023年网络春晚海选如期举行，该活动总共分为海选、复赛、决赛三个阶段，参赛选手通过决赛后将参加该市2023年网络春晚．已知甲、乙、丙三人组成一个小组，假设在每一轮比赛中，甲、乙、丙通过的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响，则该小组三人同时进入决赛的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．设“该小组三人能同时进入决赛”为事件A，则该小组三人能同时进入决赛即前两轮比赛三人都顺利通过，则P(A)＝×××××＝.故选A． 6．(多选)(2024·河南驻马店检测)口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回地依次取出两个球，设事件A为“取出的两球同色”，事件B为“第一次取出的是红球”，事件C为“第二次取出的是红球”，事件D为“取出的两球不同色”，下列判断中正确的是(　　) A．A与D对立 B．B与C互斥 C．A与B相互独立 D．B与D相互独立 解析：选ACD．先编号：红球为1，2，白球为3，4.不放回地依次取出两个球，总样本点为12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12种，事件A＝{12，21，34，43}；事件B＝{12，13，14，21，23，24}；事件C＝{12，21，31，41，32，42}；事件D＝{13，14，23，24，31，41，32，42}．A选项，A∪D＝Ω，A∩D＝∅，所以A与D互为对立事件，所以A选项正确；B选项，B∩C≠∅，所以B与C不是互斥事件，所以B选项错误；C选项，事件AB＝{12，21}，所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，P(AB)＝P(A)P(B)，所以A与B相互独立，所以C选项正确；D选项，事件BD＝{13，14，23，24}，P(B)＝，P(D)＝＝，P(BD)＝＝，P(BD)＝P(B)P(D)，所以B与D相互独立，所以D选项正确．故选ACD． 7．已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，则这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为________． 解析：设事件Ai表示“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1，2，则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3，因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)·P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15.即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15. 答案：0.15 8．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________． 解析：记事件M为“甲队以4∶1获胜”，则甲、乙两队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18. 答案：0.18 9.已知三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的．如图，将T2，T3两个元件并联后再与T1元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是________． 解析：记“T1正常工作”为事件A，“T2正常工作”为事件B，“T3正常工作”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.电路不发生故障，则需T1正常工作，T2，T3至少有一个正常工作．T2，T3至少有一个正常工作的概率P1＝1－P(B C)＝1－×＝，则电路不发生故障的概率P＝×＝. 答案： 10．某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功相互独立． (1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率． 解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××＝，只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××＝，只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××＝，所以恰有两个项目成功的概率为＋＋＝. (2)三个项目全部失败的概率为××＝，所以至少有一个项目成功的概率为1－＝. 11．(多选)(2024·陕西渭南检测)一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A1为“第一次取出的是红球”，事件A2为“第一次取出的是白球”，事件B为“取出的两球同色”，事件C为“取出的两球中至少有一个红球”，则(　　) A．事件A1，A2为互斥事件 B．事件B，C为独立事件 C．P(B)＝ D．P(C|A2)＝ 解析：选ACD．第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，故A正确；由于是红球有3个，白球有2个，事件B发生时，两球同为白色或同为红色，P(C|B)＝＝＝，事件B不发生，则两球一白一红，P(C|)＝1，故B，C不独立，故B错误；P(B)＝＝，故C正确；事件A2发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件C才发生，所以P(C|A2)＝，故D正确．故选ACD． 12．已知甲、乙两人投篮投中的概率分别为和，若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为________． 解析：甲投中一次的概率为××2＝，甲投中两次的概率为×＝；乙投中一次的概率为××2＝，乙投中两次的概率为×＝；甲、乙都投中一次的概率为×＝，甲、乙都投中两次的概率为×＝，甲、乙两人两次都未投中的概率为2×2＝，两人投中次数相等的概率P＝＋＋＝. 答案： 13．为了活跃网课气氛，某老师安排甲、乙两位同学玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏，赢了的同学要讲一个数学小故事，假设两人都随机出拳，共进行两次游戏，则第一次游戏甲不讲故事的概率为________，两次游戏甲、乙恰好各讲了一个数学小故事的概率为________． 解析：因为甲有3种不同的出拳方法，乙同样也有3种不同的出拳方法，样本空间Ω＝{(锤子，锤子)，(锤子，剪刀)，(锤子，布)，(剪刀，锤子)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，锤子)，(布，剪刀)，(布，布)}，共有9个样本点．即每次游戏甲讲故事的概率为＝，乙讲故事的概率为＝，则第一次游戏甲不讲故事的概率为，两次游戏甲、乙恰好各讲了一个数学小故事，说明“第一次甲讲故事，第二次乙讲故事”或“第一次乙讲故事，第二次甲讲故事”，则两次游戏甲、乙恰好各讲了一个数学小故事的概率为×＋×＝. 答案：　 14．溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队每个人回答问题正确与否互不影响． (1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率． 解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1分”为事件B，甲队得3分，即三人都回答正确，则概率P(A)＝××＝.甲队得1分，即三人中只有一人回答正确，其余两人都答错，则其概率P(B)＝××＋××＋××＝. (2)记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D，事件C即甲队三人中只有2人答对，1人答错，则其概率P(C)＝××＋××＋××＝.事件D即乙队3人中只有1人答对，其余两人都答错，则其概率P(D)＝××＋××＋××＝.由题意可知，事件C和事件D相互独立，故甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(CD)＝P(C)P(D)＝×＝. 15．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n＋n，则算闯过第n关，n＝1，2，3，4.假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是________． (1)直接挑战第2关并过关的概率为； (2)连续挑战前两关并过关的概率为； (3)若直接挑战第3关，设事件A为“三个点数之和等于15”，事件B为“至少出现一个5点”，则P(A|B)＝； (4)若直接挑战第4关，则过关的概率是. 解析：对于(1)，22＋2＝6，所以两次点数之和应大于6，即直接挑战第2关并过关的概率为P2＝＝，故(1)正确；对于(2)，21＋1＝3，所以挑战第1关通过的概率P1＝，则连续挑战前两关并过关的概率为P＝P1P2＝×＝，故(2)错误；对于(3)，由题意可知，抛掷3次的样本点数为63＝216，抛掷3次至少出现一个5点的样本点共有63－53＝216－125＝91，故P(B)＝，而事件AB包括：含5，5，5的1种，含4，5，6的有6种，共7种，故P(AB)＝，所以P(A|B)＝＝＝，故(3)正确；对于(4)，当n＝4时，2n＋n＝24＋4＝20，而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况：含5，5，5，6的有4种，含5，5，6，6的有6种，含6，6，6，6的有1种，含4，6，6，6的有4种，含5，6，6，6的有4种，含4，5，6，6的有12种，含3，6，6，6的有4种，所以P4＝＝，故(4)正确． 答案：(2) 16．(2024·山东威海检测)某学校组织校园安全知识竞赛．在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分，若两轮总积分不低于60分则晋级复赛． 小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响． (1)求小明在第一轮得40分的概率； (2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？ 解：(1)对A类的5个问题进行编号：a，b，c，d，e，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则有{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}共10种，设小明只能答对4个问题的编号为a，b，c，d，则小明在第一轮得40分，有{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}共6种，则小明在第一轮得40分的概率为＝. (2)由(1)知，小明在第一轮得40分的概率为，则小明在第一轮得0分的概率为1－＝，依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分，所以当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为P1＝0.5×0.5×[0.5×(1－0.5)＋(1－0.5)×0.5]＝0.125，P2＝×(0.4×0.6＋0.6×0.4)＝0.288；当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为P3＝0.5×0.5×0.5×0.5＝0.062 5，P4＝×0.4×0.4＝0.096；当第一轮得0分，第二轮答对两题得60分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为P5＝(1－0.5×0.5)×0.5×0.5＝0.187 5，P6＝×0.4×0.4＝0.064.所以小芳晋级复赛的概率为P1＋P3＋P5＝0.125＋0.062 5＋0.187 5＝0.375；小明晋级复赛的概率为P2＋P4＋P6＝0.288＋0.096＋0.064＝0.448.因为0.448>0.375，所以小明更容易晋级复赛． 学科网（北京）股份有限公司 $