1.1 条件概率的概念-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

§1　随机事件的条件概率 1．1　条件概率的概念 学习目标 1.通过对具体情境的分析，了解条件概率的定义. 　2.掌握简单的条件概率的计算问题．　3.能利用条件概率公式解决简单的实际问题． 一　条件概率的概念 1．条件概率的概念 定义 设A，B是两个事件，且__________，则称P(B|A)＝为在________发生的条件下事件B发生的条件概率．P(B|A)读作__________的条件下B发生的概率． 集合角 度的 解释 若事件A已发生，则为使B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB(如图).由于已知A已经发生，故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间． 2.条件概率的算法 定义 已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的样本空间计算事件AB发生的概率． 运算 公式 (1)定义法：P(B|A)＝； (2)缩小样本空间法：P(B|A)＝________． 提醒　0≤P(B|A)≤1. [答案自填] P(A)＞0　事件A　A发生　 角度1　利用定义求条件概率 　甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年的气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，甲、乙两地同时下雨的比例为12%.求： (1)乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率； (2)甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率． 【解】　设A＝{甲市是雨天}，B＝{乙市是雨天}，P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12. (1)P(A|B)＝＝＝. (2)P(B|A)＝＝＝. 利用定义计算条件概率的关注点 (1)当题目条件中出现“在……发生的条件下……发生的概率”时，一般可认为是条件概率． (2)利用条件概率公式求概率时，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝，计算求得P(B|A)，要注意不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB). [跟踪训练1] (1)袋子中有5个球(3个白球、2个黑球)，现每次抽取一个球，无放回地抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．记“第一次抽到白球”为事件A，“第二次抽到白球”为事件B，则P(B|A)＝. (2)设某动物从出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________． 解析：根据条件概率公式知P＝＝0.5. 答案：0.5 角度2　缩小样本空间求条件概率 　一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每次取后不放回．若已知取到的第一只晶体管是好的，求取到的第二只晶体管也是好的的概率． 【解】　由题意，设事件A1表示“取到的第一只晶体管是好的”，事件A2表示“取到的第二只晶体管也是好的”，所以P(A2|A1)＝＝. 利用缩小样本空间的方法计算条件概率的步骤 (1)明确概念：首先明确是求“在……发生的前提下……发生的概率”． (2)转换样本空间：把给定事件A所含的样本点定义为新的样本空间，显然待求事件B便缩小为事件AB. (3)公式计算：如图所示，从而 P(B|A)＝. [跟踪训练2] 现有6个节目准备参加比赛，其中有4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点个数为n(Ω)＝A＝30.根据分步乘法计数原理，得n(A)＝AA＝20，所以P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝. (3)方法一：由(1)(2)得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝. 方法二：因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝＝＝. 二　互斥事件的条件概率 互斥事件的条件概率：如果B与C是两个互斥事件，则P[(B∪C)|A]＝______________． 前提条件 P(A)>0. 判断B，C关系 P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A)，B与C必须互斥，并且都是在同一个条件A下． [答案自填] P(B|A)＋P(C|A) 　一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．求： (1)任意按最后一位数字，不超过两次就按对的概率； (2)如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过两次就按对的概率． 【解】　设事件Ai(i＝1，2)表示“第i次按对密码”，事件A表示“不超过两次就按对密码”，则A＝A1∪1A2. (1)依题意知事件A1与事件1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋＝.故任意按最后一位数字，不超过两次就按对的概率为. (2)设事件B表示“密码的最后一位数字是偶数”，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P(1A2|B)＝＋＝.故如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过两次就按对的概率是. 互斥事件条件概率的解题策略 (1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A). (2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率后，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率． [跟踪训练3] 在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次取2个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次取到的球是黄球或黑球的概率. 解：方法一：设“取出的第一个球为红球”为事件A，“取出的第二个球为黄球”为事件B，“取出的第二个球为黑球”为事件C，则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.所以P(B|A)＝＝＝，P(C|A)＝＝＝.所以P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.所以所求的条件概率为. 方法二：因为n(A)＝1×C＝9，n[(B∪C)|A]＝C＋C＝5，所以P[(B∪C)|A]＝.所以所求的条件概率为 . 易错点 混淆条件概率P(B|A)与积事件的概率P(AB)而致错 [典例展示]　某校从学生文艺部7名成员(4男3女)中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．求： (1)男生甲被选中的概率； (2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (3)在要求被选中的两人中必须是一男一女的条件下，女生乙被选中的概率． [错解展示]　(1)从7名成员中挑选2名成员，共有C＝21种情况，记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的样本点个数为C，故P(A)＝＝. (2)记“女生乙被选中”为事件B，则P(AB)＝，故P(B|A)＝P(AB)＝. (3)记“挑选的2人为一男一女”为事件C，事件C所包含的样本点个数为C×C＝12，则P(C)＝＝，P(BC)＝＝，故P(B|C)＝P(BC)＝. 正解：(1)从7名成员中挑选2名成员，共有C＝21种情况，记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的样本点个数为C，故P(A)＝＝. (2)记“女生乙被选中”为事件B，则P(AB)＝，故P(B|A)＝＝＝. (3)记“被选中的2人是一男一女”为事件C，事件C所包含的样本点个数为C×C＝12，则P(C)＝＝，P(BC)＝＝，故P(B|C)＝＝＝. [易错警示]　解题时，先要正确理解并区分条件概率与积事件的概率，P(B|A)表示在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，然后正确选择相应的计算公式求解即可． 1．(2024·辽宁本溪月考)小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间的观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A，“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，所求概率为P(B|A)＝＝.故选B． 2．(多选)(2024·河南驻马店期中)某地区气象台统计，该地区不下雨的概率为；刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设事件A为“下雨”，事件B为“刮四级以上的风”，则(　　) A．P(A|B)＝ B．P(B|A)＝ C．P(B|A)＝ D．P(A|B)＝ 解析：选BD．由题意可知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，所以P(A|B)＝＝＝，P(B|A)＝＝＝.故选BD． 3．现有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________． 解析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C，且B与C互斥．又P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝，故P(D|A)＝P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 答案： 4．从一副52张的扑克牌(去掉两张王牌)中任取1张，求抽到梅花的条件下，抽到的是梅花5的概率． 解：设事件A为“抽到梅花”，事件B为“抽到梅花5”．已知事件A发生的条件下，则A成为试验的样本空间，A中的样本点具有等可能性，B是A的子集，所以P(B|A)＝＝. 1．已学习：条件概率的概念，互斥事件的条件概率． 2．须贯通：准确理解条件概率的概念，并能够应用两种方法求出条件概率． 3．应注意：不要混淆条件概率P(B|A)与积事件的概率P(AB)两个概念． 学科网（北京）股份有限公司 $