4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

4．2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 学习目标 1.理解线面的位置关系与向量的联系．　2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系．　3.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的平行、垂直关系． 一　用向量语言描述空间中的几何关系 设直线l，m的方向向量分别为l，m，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 线、面间的 位置关系 与向量间的等价关系 图示 平行 线线平行l∥m l∥m或l与m重合⇔l∥m 线面平行l∥α l∥α或l⊂α⇔l⊥n1 面面平行α∥β α∥β或α与β重合⇔n1∥n2 垂 直 线线垂直l⊥m l⊥m⇔l⊥m 线面垂直l⊥α l⊥α⇔l∥n1 面面垂直α⊥β α⊥β⇔n1⊥n2 　(1)(多选)(2024·安徽阜阳期中)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(　　) A．两条不重合直线l1，l2的一个方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，则l1∥l2 B．两个不同的平面α，β的一个法向量分别是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，则α⊥β C．不在平面α内的直线l的一个方向向量a＝(1，－1，2)，平面α的一个法向量是u＝(6，4，－1)，则l⊥α D．不在平面α内的直线l的一个方向向量a＝(0，3，0)，平面α的一个法向量是u＝(－5，0，0)，则l∥α (2)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　) A．直线AC　 B．直线BD C．直线A1D D．直线A1D1 【解析】　(1)对于A，因为a＝－b，所以直线l1，l2的方向向量共线，又两条直线不重合，故l1∥l2，故A正确；对于B，因为u·v＝－6＋8－2＝0，所以u⊥v，故α⊥β，故B正确；对于C，由a＝(1，－1，2)，u＝(6，4，－1)，可知a，u不共线，故l⊥α不成立，故C错误；对于D，因为a＝(0，3，0)，u＝(－5，0，0)，所以a·u＝0，所以a⊥u，又l不在平面α内，所以l∥α成立，故D正确．故选ABD． (2)如图， 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，所以E(1，1，2)，所以＝(1，－1，2)，又＝(－2，2，0)，＝(－2，－2，0)，＝(－2，0，－2)，＝(－2，0，0)，则·＝－4≠0，·＝0，·＝－6≠0，·＝－2≠0，所以⊥，即直线CE垂直于直线BD.故选B． 【答案】　(1)ABD　(2)B 用向量法判定(或证明)线面平行或垂直，实质上就是转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直或共线． [跟踪训练1] (1)已知n＝(1，2，－1)为平面α的一个法向量，a＝(－2，λ，1)为直线l的一个方向向量．若l∥α，则λ＝________． 解析：由l∥α知，a⊥n，所以a·n＝0，即(－2)×1＋λ×2＋1×(－1)＝0，解得λ＝. 答案： (2)已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1，0，1)，u2＝(0，2，0)，则平面α，β的位置关系为_____________________________． 解析：由题意得u1·u2＝0，所以u1⊥u2，所以平面α，β的位置关系为垂直． 答案：垂直 二　利用向量证明平行关系 　如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点．证明： (1)MN∥平面CC1D1D； (2)平面MNP∥平面CC1D1D. 【证明】　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示．设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1). (1)由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量．由于＝(0，1，－1)，则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D. (2)因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，则即＝(2，0，0)也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D. 利用向量法证明平行问题的两种途径 (1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明． [跟踪训练2] 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，DP⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 证明：方法一：由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，P(0，0，1)，N，M，所以＝(－1，0，1)，＝，所以＝，又点M∉AP，故MN∥AP. 方法二：由题意可得，＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋＋＝＋＝(＋)＝，又点M∉AP，所以MN∥AP. 三　利用向量证明垂直关系 　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中点，G是BB1的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝2EO.求证： (1)DG⊥AC； (2)DB1⊥平面CD1O； (3)平面CDE⊥平面CD1O. 【证明】　不妨设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角 坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，O(，，0)，G(1，1，). (1)因为＝(1，1，)，＝(－1，1，0)，所以·＝1×(－1)＋1×1＋×0＝0，所以⊥，所以DG⊥AC. (2) ＝(1，1，1)，＝(0，－1，1)，＝(－，，0)，因为·＝1×0＋1×(－1)＋1×1＝0，·＝1×(－)＋1×＋1×0＝0，所以DB1⊥CD1，DB1⊥OC.因为CD1∩OC＝C，CD1，OC⊂平面CD1O，所以DB1⊥平面CD1O. (3)由(2)知平面CD1O的一个法向量为＝(1，1，1)，因为D1E＝2EO，所以＝＝(，，－1)＝(，，－)，所以＝＋＝(0，0，1)＋(，，－)＝，设n＝(x，y，z)是平面CDE的一个法向量，由得令x＝1，得n＝(1，0，－1)是平面CDE的一个法向量，又n·＝1×1＋0×1＋(－1)×1＝0，所以n⊥，所以平面CDE⊥平面CD1O. 利用向量法证明线面、面面垂直的策略 (1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直． (2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可． [跟踪训练3] 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定点E的位置． 解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体棱长为a(a>0)，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，A1(a，0，a). (1)证明：设E(0，a，b)(0≤b≤a)，＝(－a，a，b－a)，＝(－a，－a，0)，·＝a2－a2＋(b－a)·0＝0，所以⊥，即A1E⊥BD. (2)设平面A1BD，平面EBD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).因为＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，b)，所以取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，)，由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2，所以2－＝0，即b＝.所以当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 　如图所示，该几何体为圆台的一部分，上、下底面分别为半径为1，2的扇形，D1O＝OB，体积为. (1)求AB； (2)劣弧AB上是否存在点M，使得OB1∥平面AD1M.猜想并证明． 【解】　(1)由题意可知D1O＝OB＝2，设∠A1D1B1＝∠AOB＝α，上底的面积为S1，下底的面积为S2，则S1＝×1×1×α＝，S2＝×2×2×α＝2α，所以V＝(S1＋＋S2)·D1O＝(＋＋2α)·2＝＝，解得α＝，在△AOB中，由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos ∠AOB＝12，所以AB＝2. (2)不存在，证明如下：过点O作OB的垂线交劣弧AB于点N，由(1)可知∠AOB＝，所以∠AON＝，以O为坐标原点，ON，OB，OD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，－1，0)，D1(0，0，2)，B1(0，1，2)，O(0，0，0)，设M(2cos β，2sin β，0)(－<β<)，则＝(0，1，2)，＝(－，1，2)，＝(2cos β－，2sin β＋1，0)，设n＝(x，y，z)是平面AD1M的一个法向量，由可得 因为－<β<，所以2sin β＋1≠0，取x＝2sin β＋1，则有n＝(2sin β＋1，－2cos β，sin β＋cos β)，如果OB1∥平面AD1M，则有·n＝0，即－2cos β＋2(sin β＋cos β)＝＋2sin β＝0，即2sin β＋1＝0，与2sin β＋1≠0矛盾，所以OB1∥平面AD1M不成立，故劣弧AB上不存在点M，使得OB1∥平面AD1M. 解决立体几何中的探索性问题的常用方法 (1)猜想法：即先通过对空间图形的理解，猜想点、线、面在某种特殊位置时可能会满足条件，然后再尝试证明． (2)向量法：假设存在，利用参数标记位置，然后根据要满足的条件求出参数值，从而判定是否存在． [跟踪训练4] 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． 解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a(a>0)，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a，，0)，P(0，0，a)，F(，，). (1)证明：＝(－，0，)，＝(0，a，0)，因为·＝0，所以⊥，即EF⊥CD. (2)当G为AD的中点时，GF⊥平面PCB.证明如下：设G(x，0，z)，＝(x－，－，z－)，＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)，若使GF⊥平面PCB，则需·＝0且·＝0，由·＝a(x－)＝0，得x＝，由·＝＋a(z－)＝0，得z＝0.所以G点坐标为(，0，0)，即G为AD的中点时，GF⊥平面PCB. 1．若直线l的一个方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 解析：选B．由已知可得，n＝－2a，所以a∥n，所以l⊥α.故选B． 2．(2024·陕西西安月考)设平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k).若α∥β，则k＝(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 解析：选A．因为α∥β，则平面α的法向量与平面β的法向量共线，即(－2，－4，k)＝λ(1，2，－2)，即解得故选A． 3．(2024·陕西渭南期末)已知直线l的一个方向向量为e＝(－1，1，2)，平面α的一个法向量为n＝(，λ，－1)(λ∈R)，若l⊥α，则实数λ＝__________________. 解析：因为l⊥α，所以e与n共线，则存在实数m使得e＝mn，且mn＝(m，λm，－m)，可得解得 答案：－ 4.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ. 证明：如图， 以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz. 设DA＝1，则D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，所以·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ，所以PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. 1．已学习：用向量法研究立体几何中的平行关系与垂直关系、与平行垂直有关的存在性问题． 2．须贯通：用向量法证明立体几何中的平行与垂直关系，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内． 学科网（北京）股份有限公司 $