4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦用向量方法研究立体几何位置关系，涵盖线线、线面、面面平行与垂直的向量表述及证明，通过表格梳理向量与几何关系的等价性，搭建从立体几何旧知到向量方法的学习支架。 其亮点在于结合正方体、四棱锥等实例，以数学思维引导逻辑推理，用向量语言精确表达几何关系，通过探究性问题培养创新意识。帮助学生掌握转化思想，教师可借助例题与训练提升教学效率。

4.2　用向量方法研究 立体几何中的位置关系 1 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 学习目标 1.理解线面的位置关系与向量的联系．　2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行、垂直关系．　3.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的平行、垂直关系． 返回导航 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　用向量语言描述空间中的几何关系 　　设直线l，m的方向向量分别为l，m，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 线、面间的位置关系 与向量间的等价关系 图示 平行 线线平行l∥m l∥m或l与m重合⇔l∥m 线面平行l∥α l∥α或l⊂α⇔l⊥n1   面面平行α∥β α∥β或α与β重合⇔n1∥n2 新知学习 探究 返回导航 线、面间的位置关系 与向量间的等价关系 图示 垂 直 线线垂直l⊥m l⊥m⇔l⊥m   线面垂直l⊥α l⊥α⇔l∥n1   面面垂直α⊥β α⊥β⇔n1⊥n2 新知学习 探究 返回导航 　　　(1)(多选)(2024·安徽阜阳期中)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(　　) A．两条不重合直线l1，l2的一个方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，则l1∥l2 B．两个不同的平面α，β的一个法向量分别是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，则α⊥β C．不在平面α内的直线l的一个方向向量a＝(1，－1，2)，平面α的一个法向量是u＝(6，4，－1)，则l⊥α D．不在平面α内的直线l的一个方向向量a＝(0，3，0)，平面α的一个法向量是u＝(－5，0，0)，则l∥α √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 【解析】　对于A，因为a＝－b，所以直线l1，l2的方向向量共线，又两条直线不重合，故l1∥l2，故A正确； 对于B，因为u·v＝－6＋8－2＝0，所以u⊥v，故α⊥β，故B正确； 对于C，由a＝(1，－1，2)，u＝(6，4，－1)，可知a，u不共线，故l⊥α不成立，故C错误； 对于D，因为a＝(0，3，0)，u＝(－5，0，0)，所以a·u＝0，所以a⊥u，又l不在平面α内，所以l∥α成立，故D正确．故选ABD． 新知学习 探究 返回导航 (2)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中 点，则直线CE垂直于(　　)  A．直线AC　 B．直线BD C．直线A1D D．直线A1D1 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 　　用向量法判定(或证明)线面平行或垂直，实质上就是转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直或共线． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知n＝(1，2，－1)为平面α的一个法向量，a＝(－2，λ，1)为直线l的一个方向向量．若l∥α，则λ＝________． 新知学习 探究 返回导航 (2)已知两平面α，β的法向量分别为u1＝(1，0，1)，u2＝(0，2，0)，则平面α，β的位置关系为_________． 解析：由题意得u1·u2＝0，所以u1⊥u2，所以平面α，β的位置关系为垂直． 垂直 新知学习 探究 返回导航 二　利用向量证明平行关系 　　　如图，已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N， P分别是AD1，BD，B1C的中点．证明： (1)MN∥平面CC1D1D； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)平面MNP∥平面CC1D1D. 新知学习 探究 返回导航 利用向量法证明平行问题的两种途径 (1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 三　利用向量证明垂直关系 　　　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中点， G是BB1的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝2EO.求证： (1)DG⊥AC； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)DB1⊥平面CD1O； 新知学习 探究 返回导航 (3)平面CDE⊥平面CD1O. 新知学习 探究 返回导航 利用向量法证明线面、面面垂直的策略 (1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直． (2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0即可． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱 CC1上的动点． (1)求证：A1E⊥BD； 新知学习 探究 返回导航 (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定点E的位置． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)劣弧AB上是否存在点M，使得OB1∥平面AD1M.猜想并证明． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 解决立体几何中的探索性问题的常用方法 (1)猜想法：即先通过对空间图形的理解，猜想点、线、面在某种特殊位置时可能会满足条件，然后再尝试证明． (2)向量法：假设存在，利用参数标记位置，然后根据要满足的条件求出参数值，从而判定是否存在． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练4] 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD， 底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； 新知学习 探究 返回导航 (2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 34 √ 1．若直线l的一个方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的一个法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 解析：由已知可得，n＝－2a，所以a∥n，所以l⊥α.故选B． 课堂巩固 自测 返回导航 √ 2．(2024·陕西西安月考)设平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k).若α∥β，则k＝(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：用向量法研究立体几何中的平行关系与垂直关系、与平行垂直有关的存在性问题． 2．须贯通：用向量法证明立体几何中的平行与垂直关系，体现了转化与化归的思想方法． 3．应注意：通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内． 课堂巩固 自测 返回导航 － $