3.4.1 直线的方向向量与平面的法向量-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

086 课堂检测 固双基 1.已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c= A.-2 B.-1 C.1 D.2 (-4,-6,2),则下列结论正确的是()3.已知向量a=(1,3,0),b=(2,1,1),则向量a A.a⊥c,b⊥c 在向量b上的投影向量c= B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b 停 B(停别 D.以上都不对 c(引 D.(2,4,4) 2.如图，棱长为1的正方体，ABCD-AB,GD4.已知a=(2,-3.0),b=(k,0,3),《a,b> 中，DA·BD的值为 ( 120°，则k= 5.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7, 7,入)，若a,b,c共面，则实数入= 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[21] §4 向量在立体几何中的应用 4.1直线的方向向量与平面的法向量 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.能用向量语言描述直线和平面、理解直线 理解直线的方向向量与平面的法向量是确定空间 的方向向量与平面的法向量 中直线、平面位置的重要量，会求直线的方向向量 2.会用直线的方向向量与平面的法向量 与平面的法向量，培养学生逻辑推理，直观想象的 解题 核心素养 必备知识探新知 知识点1直线的方向向量与直线的向量表示 1.直线的方向向量 如图，设点A,B是直线1上不重合的任意两点，称AB为直线1的方向向量，显a, 然，一条直线有无数个方向向量，根据平行向量的定义可知：这些方向向量都平行， 因此与AB平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量. 2.直线1的向量表示 已知点M是直线1上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线1上的任意 一点P,一定存在实数t,使得MP=ta. 反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线1上.因此，我们把这个式子称为直线 的向量表示。 知识点2平面的法向量与平面的向量表示 1.平面法向量的定义 我们已经知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地，空间中给定一点和一条 ●087 直线后，可以唯一确定过此点与这条直线垂直的平面.因此，如果一条直线1与一个平面α垂直，那 么就把直线l的方向向量n叫作平面ax的法向量，则n⊥ax. 2.平面的向量表示式 如图，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面a的一个法向量，那么对于 平面a内任意一点P,必有MP·n=0.此式称为平面a的一个向量表示式 关键能力 攻重难 ●题型探究 规律方法： 直线的方向向量的求法 题型一直线的方向向量及其应用 求直线AB的方向向 例10)已知直线1的-个方向向量为(-7,3,4)，直线5的一个方 量，就是我与AB共线的任意 非零向量，因此可以在直线 向向量为(x,y,8),且1∥12，则x= ,y= AB上任取不同的两点，以 (2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,1),B(2,6,3),P是线 这两点分别为起点和终点的 向量就是直线AB的方向向 段AB上一点，且满足AP:PB=3:2,则直线AB的一个方向向 量，也可以在与直线AB平 量为 ,点P的坐标为 ●[规律方法] 行的直线上任取不同的两 点，以这两点分别为起点和 )对点训练1 终点的向量同样是直线AB (1)设直线1，l2的方向向量分别为a=（1,2,-2),b=（-2,3, 的方向向量.在做题时，通 常选取坐标易于确定的点作 m),若l1⊥2，则实数m等于 为方向向量的起点与终点， A.1 B.2 如几何体的顶点，棱的中点 或等分点等 C.3 D.4 规律方法： (2)已知直线l的方向向量y=(2,1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,-2, 1.利用待定系裁法求平 面法向量的步骤 )两点，则y= ,2= 设向量 设平面的法向量为 (x,Y, 题型二平面的法向量及求法 选向量 在平面内选取两不共线 例2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 向量AB,AC 方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是 列方程组 方 PC的中点，求平面EDB的一个法向量. 、解方程组 解方程组n·-0. n·At-0, 赋非零值> 取其中一个为非零值 (常取±1) <得结论>得到平面的一个法向量 2.求平面法向量的三个 注意点 (1)选向量：在选取平 面内的向量时，要选取不共 线的两个向量 (2)取特值：在求法向量 的坐标时，可令x,y,z中 个取特殊值，得另两个值、就 是平面的一个法向量 (3)注意0：提前假定 法向量n=(x,y,)的某个 坐标为某特定值时，一定要 注意这个坐标不为0. ·[规律方法] 088 〉对点训练2 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平规律方法： 面ABCD,SM=AB=BC=1,AD=),试建立适当的坐标系。 用向量法证明平 面法向量的实质仍然 (1)求平面ABCD的一个法向量； 是用向量的数量积证 (2)求平面SAB的一个法向量； 明线线垂直，因此， (3)求平面SCD的一个法向量. 其思想方法与证明线 线垂直相同，区别在 于女须证明两次线线 垂直. 题型三证明平面的法向量 例3，在正方体ABCD-ABC,D中，B,F分别是B,CD的中点求证： D,F是平面ADE的法向量， D D ·[规律方法] 》对点训练3 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD,AB∥ CD,AB =AD=2,CD=4. 求证：BC⊥平面BDE. ●易错警示 题意未懂，概念不明致错 例4设直线1与平面a相交，且1的方向向量为a,a的法向量为n,若 《a,m》-号，则1与u所成的角为 ()》 A.3 B骨 C 2 [错解]〈a,n)= 3m,1与α的法向量所在直线所成锐角为3，故选B. 。089 [辨析]在利用平面的法向量和直线的方向向量的夹角求直线与平面所成角时，要注意它们 之间是互余的关系 [正解] 课堂检测 固双基 1.已知A(1,-3,5),B(-1,-1,4)是直线1上 量中，竖坐标为1的是 两，点，则下列可作为直线1的方向向量的是 5.已知几何体ABCD-A,B,C,D1是长方体，建立 空间直角坐标系如图所示.AB=3,BC=4, A（1,1,0) B.（4,-4,2) A41=2. C.(-3,-3,0)D.(4,4,2) (1)求平面B,CD1的一个法向量； 2.已知向量a=(2,4,5)、b=(5,x,y)分别是直 (2)设M(x,y,z)是平面B,CD1内的任意一 线11、12的方向向量，若11∥12，则 点，求x,y,z满足的关系式 A.x=6,y=15 B=3y-月 C.x=10,y=15 D=10y= 3.在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向 量，则下列等式中不成立的是 () A.PA·AB=0 B.PC.BD=0 C.PC.·AB=0 D.PA.CD=0 夯基提能作业 4.若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1, 请同学们认真完成练案[22] 0),B(0,2,3),C(1,1,3),则平面ABC的法向 4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行 关系 1.向量方法是解决立体几 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定 何问题的基本方法，学 会用空间向量刻画基本 定理 图形，是空间向量应用 3.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系， 的基本能力，培养学生 4.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直 直观想象的核心素养 关系 2.掌握用向量方法解决立体 5.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定 定理 几何中平行、垂直问题的 6.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系。 一般方法，培养学生逻辑 7.会用三垂线定理及逆定理解题 推理的核心素养。成d=分×(-)+3×0+(-)x(-)=0, 2.B以点D为原点，DA,DC,DD1所在 直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图 ELB,C,即EF⊥BC. 所示空间直角坐标系，则A(1,0,0), (2)在(1)建立的空间直角坐标系中，C(0,1,1), D(0,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),故 c0,0cc=(0,,0-(0,1,1)=(0,-4,- DA=(1,0,0),BD=(-1,-1,1),则D ·BD=-1,故选B. Gi= 4 3.B向量a=(1,3,0),b=(2,1,1),x 成.G衣=2×0+3×(-4)+()×(-1)=冬， a·b=1×2+3×1+0×1=5,1b1=√22+12+17=6，所以 向量a在向最b上的投影向量c:a6·合=名0 =, (停名名)散选以 3 .'cos(EF,C C)= E㎡.Ct 8 ⑦ 4.-√39a·b=2k,lal=13,1b1=√2+9， G方x -17 .c0s120°= k=-√3阿 4 13×√+9 即异面直线EF与C,G所成角的余弦值为 5.9若a,b,c共面，c=xa+yb, 17 : 2x-y=7, 3)33,o,g) -x+4y=7,∴.入=9. l3x-2y=入， 扇（分》 §4向量在立体几何中的应用 m==√+(+(： 4.1 直线的方向向量与平面的法向量 对点训练4：(1)建立空间直角坐标系，如图所示. 关键能力攻重难 例1：(1)-146由41∥2可知，向量(-7,3,4)和(x,y, 8)共线， 所以7=子=景解得=-14，y=6 (2)(0,6,2) （2 AB=(0,6,2)是直线AB的一 由题意得A(0,0,0),B(0,2,0),D(-2,0,0),C(-2,2,0),个方向向量 P(0,0,2),所以M(0,1,0),N(-1,1,1), 所以M=（-1,0,1),故M,N两点之间的距离1M1= 由AP:PB=32,得心=多应 √(-1)2+02+1下=2. (2)证明：由题易得P7=(-2,0,-2),C⑦=(0，-2,0). 设P,则(x-2,-1)=(0,62 因为M·P元=0，所以MLPi,即MW1PD 即x-2=0,-1-号，解得=2y8号 因为M.C⑦=0，所以M丞⊥C⑦，即MN⊥CD, 所以直线AB的一个方向向量是(0,6,2)，点P的坐标 又PD∩CD=D,PD,CDC平面PCD,所以MN⊥平面PCD. (3)由题易得AP=(0,0,2),因为M=(-1,0,1), 号》 以=哥 对点训练1：(1)B因为11⊥l2, 所以a⊥b,则a·b=(1,2,-2)·(-2,3,m)=-2+6- 2 2m=0,解得m=2.故选B. 2√-1)2+1平2 所以(AP,M)=45°，故直线PA与MW所成的角为45°. ,直线1的方向向量为v=(2,1,3),且直 例5：Ba与b的夹角为钝角 线过A(0,y,3),B(-1,-2,z)两点， .a·b<0且(a,b〉≠180°， .AB=y,AB=（-1,-2-y,2-3)=A(2,1,3), a·b=(3,-2,-3)·(-1,x-1,1) 则=-分2-y=-3=-解得y== 1 3 3 =3×(-1)+(-2)·(x-1)+(-3)×1<0. .x>-2, 例2：如图所示建立空间直角坐 a,6)180即x亭>-2且x≠号放选B 标系. 依题意可得D(0,0,0),P(0,0,1), 课堂检测固双基 1.Ca·b=(-2,-3,1)·(2,0,4)=-4+4=0,所以a⊥b, 0,7）B1.10n. D%- a=(-2,-3,1),c=(-4,-6,2),c=2a,所以a∥c, b·c=(2,0,4)·（-4,-6,2)=-8+8=0,所以b1c,故选C 于是成-(0，)成=1,1， 321 0) BC.DB=-4+4=0, 设平面EDB的法向量为n=(x,y,z),则nLD2,n⊥D2 .BC⊥DB. m成=7+宁=0，取=1，则y=-1=1, .1 又BC·D2=0,.BC⊥DE 于是 又DE∩DB=D,DB,DEC平面BDE,∴.BC⊥平面BDE n·DB=x+y=0, 故平面EDB的一个法向量为n=(1,-1,1). 例4：C(口，》=子，1与a的法向量所在直线所成 对点训练2：以点4为原点，0，B,5所在的直线分别为x锐角为写1与a所成的角为号一号=石故选C 轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 2-3 课堂检测固双基 则A0,0.0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(20,0,s(0,0,1.B由41，-35)，B(-1,-1,4)得=(-2.2-1)，所以(4， ! 1). -4,2)为1的方向向量，故选B. (1):SM⊥平面ABCD, 2.D:l1∥l2,.a∥b, .A=(0,0,1)是平面ABCD的一个 5x y rx=10. 法向量 2=4=5 25 (2).·AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A, 1y=2 AD⊥平面SAB, 3.CPA⊥平面ABCD,∴.BD⊥PA,PA⊥AB,PA⊥CD, ÷动=（号0,0）是平面s4B的-个 又AC⊥BD,AC∩PA=A, ∴.BD1平面PAC,PCC平面PAC,∴.PC⊥BD, 法向量 故ABD成立.故选C. (3)在平面sCD中，D心=(，1,0)，s花=(1,1，-1) 4.(3,3,1)设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 因为A(2,1,0),B(0,2,3),C(1,1,3), 设平面SCD的法向量是n=(x,y,z),则n1D元，nLS元， 所以AB=(-2,1,3),BC=(1,-1,0), m·D交-0得方程组 2x+y=0,.∫x=-2y 所以：=0即-2+y+3:=0,解得=3， 1n.st=0, x+y-z=0, z=-y, 1n.BC=0,1x-y=0, lx=y, 令z=1,则x=y=3, 令y=-1,得x=2,z=1,n=(2,-1,1). 故n=(3,3,1)是平面ABC的一个法向量. 例3：证明：如图，以D为坐标原点，D1,DC,DD,所在直线5.（1)在题图所示的空间直角坐标系A-xyz中，B(3,0,2), 分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长 C(3,4,0),D1(0,4,2), 为1， 由此得B1C=(0,4,-2),CD=(-3,0,2), 则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0 D 设平面B,CD1的一个法向量为a=(x,y,z), 0,1,12)r(0,2 C 则a⊥B乙，a⊥CD,从而a·B,C=0,a·CD=0, 所以Ai=（-1,0,0),D,产= B 所以4y-2z=0,-3x+2z=0, (0,7,-应=(0,1,2） 则化06.不防取：=6，期7=3=4 所以Ad.D,户=(-1,0,0) 所以a=(4,3,6)就是平面B,CD1的一个法向量. (0,7,-=0 (2)由题意可得B1M=(x-3,y,z-2),B,MC平面B1CD1,因 为a=(4,3,6)是平面B,CD1的一个法向量，所以BM⊥a. 花D-(01,)(0,2-=0 即B,M·a=0,即4(x-3)+3y+6(z-2)=0,整理得4x+3y +6z=24, 所以Ad⊥D市，A正1D立 所以xyz满足的关系式为4x+3y+6z=24. 又因为ADOAE=A,所以D,F⊥平面ADE,从而D,F是平面 ADE的法向量. 4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系 对点训练3：证明：平面ADEFL平面ABCD,平面ADEFO平必备知识探新知 面ABCD=AD,AD⊥ED,EDC平面ADEF, 知识点11∥m1L11∥nlLm1∥n1m1⊥2 .EDL平面ABCD. 知识点2投影垂直垂直投影垂直 以点D为原点，DA,DC,DE所在直线分别为x轴y轴、z轴 关键能力攻重难 建立如图所示的空间直角坐标系， 例1：证明：证法一：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直 线分别为x轴y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2, D C 0),S(0,4,1), 所以P0=(-3,2,1),=(-3,2,A 1), B 所以Pd=R感，即P0∥，又R生PQ,AR 则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),BC=(-2,故PQ∥RS. 2,0),D=(2,2,0),D呢(0,0,2)， -322