3.4.1直线的方向向量与平面的法向量（第1课时）（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的方向向量概念、向量表示及点在直线上的充要条件，通过知识回顾空间向量解立体几何步骤、点的位置向量等内容搭建支架，衔接平面与空间方向向量的类比，引导学生自然过渡到新知学习。 其亮点是以数学抽象和逻辑推理为核心，通过类比探究平面到空间方向向量的概念，结合充要条件证明及典例（如线段比例、垂直问题的向量转化）培养核心素养。课堂小结系统梳理知识、方法与思想，学生能提升抽象和运算能力，教师可借助完整流程和实例高效开展教学。

3.4.1直线的方向向量与平面的法向量(第一课时) 第三章 向量在立体几何中的应用 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 能用向量语言描述直线，掌握直线的方向向量的概念，提升数学抽象能力. 会求直线的方向向量，利用直线的方向向量解决简单的问题，提升逻辑推理能力. 理解点在直线上的充要条件，能综合应用方向向量解决空间直线上的点、线位置关系及度量问题. 2.立体几何研究的基本对象有哪些？ 立体几何问题 空间向量问题 转化 形 数 运用向量方法求解 知识回顾 解决 几何特征代数表述 1.你能说说用空间向量解决立体几何问题的基本步骤吗？ 点 直线 平面 3.如何用向量的方法描述空间的一个点？ 4.如何用向量的方法描述空间的一条直线？ 知识回顾 在空间中，取一定点O,那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量来表示，向量就是点P 的位置向量. O P 基点 l 新知探究 探究1：直线的方向向量 问题1：在平面几何中，如何用向量描述直线方向向量？ 用=t表示过点A,B的直线l，其中称为直线l的方向向量. A B P 问题2：类比到空间，确定空间的一条直线需要什么条件？ 两点确定一条直线 直线上一点及该直线的方向确定一条直线 新知探究 探究1：直线的方向向量 问题3：你能否类比平面几何中直线的方向向量的定义，确定空间的一条直线的方向向量的概念你能否？ 如图， l A B 设点A,B是直线l上不重合的任意两点， 称为直线l的方向向量. 新知探究 探究1：直线的方向向量 追问1：空间中直线l的方向向量唯一吗？ 不唯一，与平行的非零向量都是直线l的方向向量，因此直线l的方向向量有无数个. 如图， l A B 设点A,B是直线l上不重合的任意两点， 称为直线l的方向向量. 追问2：方向向量的“非零性”有何意义？ 零向量的方向任意，无法确定直线方向，因此直线的方向向量必须是非零向量. 新知探究 探究1：直线的方向向量 即使训练：分别写出x轴、y轴、z轴的一个方向向量坐标. x轴的一个方向向量: 如图， l A B 设点A,B是直线l上不重合的任意两点， 称为直线l的方向向量. (1,0,0) y轴的一个方向向量: (0,1,0) z轴的一个方向向量: (0,0,1) 新知探究 探究2：直线的向量表示 问题4：已知直线l上定点M，方向向量为，任取l上一点P,则与有何关系？ 因为直线l的一个方向向量为，所以∥，故存在唯一的实数t使得 = t l M P 反之，满足上式的点P一定在直线l上. 新知探究 探究2：直线的向量表示 已知直线l上定点M，方向向量为，点P为l上任意一点,则称 l M P = t 为直线l的向量表示. 即使训练：若点P在直线AB上，如何用向量式子表示？ =t 追问1：若点O为空间任意定点，点P在直线AB上，如何用与表示？ = + = + t 追问2：能否用与表示？ = + t = + t = + t 新知探究 探究2：直线的向量表示 证明 如图，根据直线的向量表示可知点P在直线AB上等价于存在实数t，使得 =t. 追问3：现在你能否证明定点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O，存在实数t使得. 又因为=, , 所以 整理，得 l A B P O 新知探究 探究2：直线的向量表示 已知直线l上定点M，方向向量为，点P为l上任意一点,则称 l M P = t 为直线l的向量表示. 定点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O，存在实数t使得 . = + t 等式的作用： ①判定A、B、P三点共线； ②判定A、B、O、P四点共面. 例1 在空间直角坐标系中，已知点A(4,2,0),B(1,3,3),点E是线段AB上的一点,且AE=AB,求点E的坐标. 典例分析 分析 先用向量表示AE=AB，再利用向量的坐标运算来解决问题. 解 设点E的坐标为. 由题意可知, 且, 所以, 即 解得 所以点E的坐标为. 该题体现了“几何线段关系→向量线性关系→代数坐标运算”的转化链，是“数形结合”的典型体现. 分析 先表示共线向量： 例2 在空间直角坐标系中，已知点,B(2,3,3),C(0,1,2),点D为直线AB上的一点,且CD⊥AB,求. 典例分析 再推导的表达式：= 最后利用CD⊥AB得到数量积为0： 解得λ的值，即得. 该题中向量模长的比例关系，常见的点在直线上的变形，可引入λ来求解. 例2 在空间直角坐标系中，已知点,B(2,3,3),C(0,1,2),点D为直线AB上的一点,且CD⊥AB,求. 典例分析 解 依题意知, , 因为点D为直线AB上的一点, 所以存在实数λ, 使得, 则 由, 使得, 即, 解得. 所以. 1.一个质点从点出发,做匀速直线运动,每秒的速度向量为(0,1,1),求该质点在运动1s,2s,5s后所在位置的坐标. 巩固训练 2.已知点,,2,(点O为坐标原点),求点C的坐标，并写出直线BC 的一个方向向量的坐标. 3.在空间直角坐标系中,已知点,,求直线AB与坐标平面xOy的交点C 的坐标. 1.一个质点从点出发,做匀速直线运动,每秒的速度向量为(0,1,1),求该质点在运动1s,2s,5s后所在位置的坐标. 巩固训练 解 依题意知，若设原点为, 则t s后, 1s后所在位置为； 2s后所在位置为； 5s后所在位置为. 2.已知点,,2,(点O为坐标原点),求点C的坐标，并写出直线BC 的一个方向向量的坐标. 巩固训练 解 设, 因为点 所以,, 因为, 所以 解得 所以, 此时, 所以直线BC 的一个方向向量的坐标. 3.在空间直角坐标系中,已知点,,求直线AB与坐标平面xOy的交点C 的坐标. 巩固训练 解 设交点, 因为点 所以,, 则, 所以 解得 所以, 此时, 所以直线AB 与坐标平面的交点的坐标为. 基本知识： (1) 直线的方向向量： (2) 直线的向量表示： 基本方法： 几何问题 → 向量问题 → 课堂小结 (3) 点在直线上的充要条件： 基本思想： (1) 类比思想； (2) 数形结合思想. 代数问题 → 几何结论 非零 平行于直线 无数个 = t = + t 基础作业： 习题3-4A组第1题，第4题，B组第2题，第3题 拓展练习： 思考如何类比“直线的方向向量”定义“平面的法向量”？ 布置作业 感谢聆听! $