3.1 空间向量基本定理-课后达标检测-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

1．已知{a，b，c}是空间向量的一组基，则可以与向量m＝a＋2b，n＝a－c构成空间向量另一组基的向量是(　　) A．2a＋2b－c B．a＋4b＋c C．b－c D．a－2b－2c 解析：选C．因为2a＋2b－c＝(a＋2b)＋(a－c)，a＋4b＋c＝2(a＋2b)－(a－c)，a－2b－2c＝2(a－c)－(a＋2b)，所以向量2a＋2b－c，a＋4b＋c，a－2b－2c均与向量m，n共面，故A，B，D错误，而C选项b－c不能转化为b－c＝x m＋yn的形式，所以b－c与m，n不共面．故选C． 2．(2024·江西省丰城拖船中学检测)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，若＝x＋y＋z，则(　　) A．x＝1，y＝，z＝－ B．x＝1，y＝，z＝ C．x＝，y＝1，z＝－ D．x＝－，y＝1，z＝ 解析：选B．因为＝＋＝＋＝＋＋＝＋＋，所以x＝1，y＝，z＝.故选B． 3.(2024·陕西宝鸡月考)如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，且|OM|＝2|MA|，|BN|＝|NC|，则＝(　　) A．a＋b＋c B．a＋b－c C．－a＋b＋c D．a－b＋c 解析：选C．连接ON(图略)，因为|BN|＝|NC|，即N为线段BC的中点，所以＝(＋)，因为|OM|＝2|MA|，所以＝，＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.故选C． 4．(2024·江西省宜丰中学期末)对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：＝＋＋，则(　　) A．O，A，B，C四点必共面 B．P，A，B，C四点必共面 C．O，P，B，C四点必共面 D．O，P，A，B，C五点必共面 解析：选B．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足＝x＋y＋z(x，y，z∈R)且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面．而＝＋＋，其中＋＋＝1，所以P，A，B，C四点共面．故选B． 5．(2024·安徽亳州检测)若{a，b，c}为空间向量的一组基，则下列各项中能构成空间向量另一组基的是(　　) A．{b＋c，2b，b－c} B．{a＋2b，3a，a－b} C．{a＋b，c，a－b} D．{a＋b，c，a＋b＋c} 解析：选C．因为2b＝b＋c＋(b－c)，所以b＋c，2b，b－c是共面向量，则{b＋c，2b，b－c}不能构成空间向量的另一组基，故A错误；因为3a＝a＋2b＋2(a－b)，所以a＋2b，3a，a－b是共面向量，则{a＋2b，3a，a－b}不能构成空间向量的另一组基，故B错误；设a＋b＝xc＋y(a－b)＝y a－y b＋x c，可得此方程组无解，所以a＋b，c，a－b是不共面的向量，则能构成空间向量的另一组基，故C正确；因为a＋b＋c＝(a＋b)＋c，所以a＋b，c，a＋b＋c是共面向量，则不能构成空间向量的另一组基，故D错误．故选C． 6.(多选)(2024·江西吉安期末)如图，在四面体OABC中，M，N分别是边OA，CB上的点，且|AM|＝2|MO|，|CN|＝2|NB|，点G是线段MN的中点，则以下向量表示正确的是(　　) A．＝＋＋ B．＝－＋ C．＝－＋ D．＝＋＋ 解析：选BD．对于D，连接ON(图略)，由题意可知，在四面体OABC中，＝2，＝2，点G是线段MN的中点，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝(＋)＝×＋(＋)＝＋＋，故D正确；对于A，＝－＝－＋＋，故A错误；对于B，＝－＝－＋，故B正确；对于C，＝－＝＋－，故C错误．故选BD． 7．已知空间向量的一组基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c.若向量m与n共线，则x＝________，y＝________． 解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使得m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc.所以解得 答案：2　－2 8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，用{，， }作为空间向量的一组基，则＝__________________． 解析：因为2＝2＋2＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，所以＝(＋＋). 答案：(＋＋) 9．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若点P在平面ABC内，且＝＋＋m，则实数m＝________． 解析：方法一：由已知条件可得＝＋(－)＋m(－)＋(m－)，即＝＋m＋(m－).又点P在平面ABC内，所以m－＝0，所以m＝. 方法二：因为点P在平面ABC内，所以＋＋m＝1，所以m＝. 答案： 10.(2024·江西新余期中)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)若＝x a＋y b＋z c，求实数x，y，z的值． 解：(1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，＝－＝－(＋)＝a－b－c，连接AC，由E，F分别是AD1，BD的中点，得＝－＝(＋)－(＋)＝a－c. (2) ＝－＝(＋)－(＋)＝－－＝a－b－c，而＝x a＋y b＋z c，且a，b，c不共面，所以x＝，y＝－，z＝－1. 11．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足＝，＝，＝，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B．因为＝x＋y＋z＝x＋y＋，点O在平面B1GF内，所以x＋y＋＝1，同理可得＋＋z＝1，解得x＋y＝，z＝.所以x＋y＋z＝. 12．(多选)下列条件中，点M与点A，B，C一定共面的是(　　) A．＝3－－ B．＝＋＋ C．＋＋＝0 D．＋＋＋＝0 解析：选AC．A选项中，3－1－1＝1，四点共面；B选项中，＋＋≠1，四点不共面；C选项中，＝－－，则点M，A，B，C共面；D选项中，＝－－－，－1－1－1≠1，四点不共面．故选AC． 13.如图所示，在正方体OABC-O1A1B1C1中，点G为△ACO1的重心，若＝a，＝b，＝c，＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝________． 解析：易知△ACO1为正三角形，连接OB，设AC， BO相交于点M，连接O1M，如图所示，显然点G在线段O1M上，且满足O1G＝2，由－＝2(－)，得＝＋，即＝×(＋)＋＝＋＋＝a＋b＋c，所以x＝y＝z＝，可得x＋y＋z＝1. 答案：1 14.如图，已知在直三棱柱ABC-A′B′C′中，|AC|＝|BC|＝|AA′|，∠ACB＝90°，点D，E分别为线段AB，BB′的中点． (1)求证：CE⊥A′D； (2)求向量与夹角的余弦值． 解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间向量的一组基．根据题意，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0.因为＝b＋c，＝－c＋b－a，所以·＝－c2＋b2＝0，所以CE⊥A′D. (2)因为＝－a＋c，＝b＋c，所以||＝|a|，||＝|a|，·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，所以cos 〈，〉＝＝，即向量与夹角的余弦值为. 15．已知四面体OABC，G1是△ABC的重心，G是线段OG1上一点，且|OG|＝3|GG1|，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为(　　) A．，， B．，， C．，， D．，， 解析：选A．如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为线段BC的中点，所以＝(＋)＝(－2＋)，＝＝(－2＋)，因为＝3，所以＝＝(＋AG1)＝(＋－＋)＝＋＋.所以x＝，y＝，z＝.故选A． 16．(2024·江西宜春期末)在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，＝k，＝k，＝k，＝k． (1)当k＝时，试用，，表示； (2)证明：E，F，G，H四点共面． 解：(1)＝＋＝＋－＝＋－＝＋＝＋＋. (2)证明：连接AC(图略)，设＝λ＋μ(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则＝－＝k－k＝k＝k(λ＋μ)＝kλ＋kμ＝λk(－)＋μk(－) ＝λ(－)＋μ(－)＝λ＋μ，则，，共面且有公共点E，则E，F，G，H四点共面． 学科网（北京）股份有限公司 $