3.1 空间向量基本定理-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3．1　空间向量基本定理 学习目标 1.了解空间向量基本定理，了解基的意义．　2.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基表示其他向量的方法．　3.会用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题． 一　空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果向量a，b，c是空间三个____________的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得___________. 2．基 (1)如果向量a，b，c是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是__________________，这个集合可以看成是由向量a，b，c生成的，这时{a，b，c}叫作空间向量的一组基，其中a，b，c都叫作___________. (2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基． 点拨　(1)一组基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示．选用不同的基，同一向量的表达式也可能不同； (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0； (3)空间的一组基是指一个向量组是由三个不共面的空间向量构成的；一个基向量是指这组基中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． [答案自填] 不共面　p＝xa＋yb＋zc　{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}　基向量 角度1　空间向量的基 　已知{i，j，k}是空间向量的一组基，且＝i＋2j－k，＝－3i＋j＋2k，＝i＋j－k，试判断{，，}能否作为空间向量的一组基． 【解】　假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x ＋y 成立，即i＋2j－k＝x(－3i＋j＋2k)＋y(i＋j－k)＝(－3x＋y)i＋(x＋y)j＋(2x－y)k.因为{i，j，k}是空间向量的一组基，所以i，j，k不共面，所以此方程组无解．即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立，所以，，不共面．故{，，}能作为空间向量的一组基． 判断给出的三个向量能否构成空间向量的一组基，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑这三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． [跟踪训练1] (多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间向量的一组基，则下列可以作为空间向量的一组基的有(　　) A．{a，b，x} B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c} 解析：选BCD．如图所示，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝，由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．所以B，C，D可以作为空间向量的一组基． 角度2　用空间向量的基表示向量 　如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是线段BC′，B′C′的中点，试用空间向量的一组基{a，b，c}表示向量，. 【解】　由题意及题图可知，＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋(－)＋＝＋＋＝(b＋c＋a).连接A′N(图略).＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝a＋b＋c. 【变式探究】 (条件变式)若把本例中的“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？ 解：因为M为线段BC′的中点，N为线段B′C′的中点，所以＝(＋)＝b＋a.连接AB′，AC′(图略).＝(＋)＝(＋＋)＝＋＋＝＋(－)＋＝＋－＝b＋a－c. 用空间向量的基表示向量的步骤 (1)定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间向量的一组基. (2)找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量．结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． [跟踪训练2] 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，M，N分别为线段PC，PD上的点，且|PM|＝2|MC|，N为线段PD的中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值． 解：方法一：如图所示， 取PC的中点E，连接NE，则＝－.因为＝＝＝－，＝－＝－＝，连接AC，则＝－＝＋－，所以＝－＝－－(＋－)＝－－＋.因为，，不共面，所以x＝－，y＝－，z＝. 方法二：＝－＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－(－＋＋)＝－－＋.因为，，不共面，所以x＝－，y＝－，z＝. 二　空间向量基本定理的应用 　(1)(多选)对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是(　　) A．＝＋＋ B．＝＋＋ C．＝＋＋ D．＝2－－ (2)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为线段DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：，，为共面向量． 【解】　(1)选BC．方法一：对于A，＝＋＋，不能转化成＝x＋y的形式，故A不正确； 对于B，因为＝＋＋，所以3＝＋＋，所以－＝(－)＋(－)，所以＝＋，所以＝－－， 所以P，A，B，C四点共面．故B正确； 对于C，＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋.所以－＝＋，所以＝＋，所以P，A，B，C四点共面，故C正确； 对于D，＝2－－，无法转化成＝x＋y的形式，故D不正确． 方法二：当点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求． (2)证明：设＝a，＝b，＝c，则＝b－a，因为M为线段DD1的中点，所以＝c－a，又因为AN∶NC＝2∶1，所以＝＝(b＋c)，所以＝－＝(b＋c)－a＝(b－a)＋(c－a)＝＋，所以，，A1M为共面向量． 证明空间三向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． (2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面． [跟踪训练3] 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在线段B1B和D1D上，且|BE|＝|BB1|，|DF|＝|DD1|. (1)证明：A，E，C1，F四点共面； (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值． 解：(1)证明：连接(图略).因为＝＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋，所以，，共面，又它们有公共点A，所以A，E，C1，F四点共面． (2)因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，又＝x＋y＋z，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝. 1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间向量的一组基，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 解析：选B．当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以构成空间向量的一组基，否则无法构成，当{a，b，c}为空间向量的一组基时，一定有a，b，c为非零向量．因此p是q的必要不充分条件．故选B． 2．(多选)在空间四点O，A，B，C中，若{，，}是空间向量的一组基，则下列说法中正确的是(　　) A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点不共面 D．O，A，B，C四点中任意三点不共线 解析：选ACD．若四点共线，则，，共面，，，构不成空间向量的一组基，A正确；若四点共面，则，，共面，，，构不成空间向量的一组基，B错误，C正确；若有三点共线，则这四点共面，，，构不成空间向量的一组基，D正确．故选ACD． 3．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|＝2|CD|，点O为空间任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量＝_____________.(用a，b，c表示) 解析：由题意可知，＝－2，所以－＝－2(－)，所以b－a＝－2(－c)，所以＝a－b＋c. 答案：a－b＋c 4.如图，在正方体OABC-O′A′B′C′中，设＝a，＝b，＝c. (1)用向量a，b，c表示向量，； (2)设点G，H分别是正方形BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用向量a，b，c表示向量. 解：(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.＝＋＝－＋＝b－a＋c. (2)方法一：连接OG，OH(图略)，则＝＋＝－＋＝－(＋)＋(＋)＝－＋＝(c－b). 方法二：连接O′C(图略)，则＝＝(－)＝(c－b). 1．已学习：空间向量基本定理、四点共面的充要条件． 2．须贯通：用基向量表示空间向量． 3．应注意：(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件； (2)运算错误，利用基向量表示向量时计算要细心． 学科网（北京）股份有限公司 $