课时达标检测(23) 空间向量基本定理(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

课时达标检测(二十三)　空间向量基本定理 基础达标 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知{a,b,c}是空间的一组基,p=a+b,q=a-b,一定可以与向量p,q构成空间另一组基的是 (C) A.a B.b C.c D.p-2q 解析　因为a,b,c不共面,所以p,q,c不共面。若存在x,y∈R,使c=xp+yq=(x+y)a+(x-y)b成立,则a,b,c共面,这与已知{a,b,c}是空间的一组基矛盾,故p,q,c不共面。 2.已知空间的一组基{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x与y的值分别是 (B) A.x=-1,y=1 B.x=1,y=-1 C.x=-1,y=-1 D.x=1,y=1 解析　因为m与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+λc,则有解得 3.在四面体OABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为 (A) A. B. C. D. 解析　 如图所示,连接AG1并延长,交BC于点E,则E为BC的中点,=(+)=(-2+),A==(-2+)。因为OG=3GG1,所以OG=OG1。则=O=(+A)=+-+=++,所以x=,y=,z=。 4.在正方体ABCD⁃A'B'C'D'中,O1,O2,O3分别是AC,AB',AD'的中点,以{,,}为一组基,=x+y+z,则x,y,z的值是 (A) A.x=y=z=1 B.x=y=z= C.x=y=z= D.x=y=z=2 解析　=++=(+)+(+)+(+)=++=++,由空间向量基本定理得x=y=z=1。 5.空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且=2,N为BC的中点,则为 (B) A.a-b+c B.-a+b+c C.a+b-c D.a+b-c 解析　=++=+-+(-)=-++=-a+b+c。 6.如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=,E,F分别是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心,则E,F两点间的距离为 (C) A.1 B. C. D. 解析　设=2i,=2j,A=k,则=A+A1=i+j+k,=+=++(B-)=2i+j+k,||=|-|==。 7.在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,P为正方体内一动点(包括表面),若=x+y+z,且0≤x≤y≤z≤1,则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是 (D) A.1 B. C. D. 解析　 根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理,知满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD⁃A1C1D1内,满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1⁃BB1C1内,故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图),即三棱锥A⁃A1C1D1内,其体积是××1×1×1=。 二、填空题 8.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,设=a,=b,A=c,A1C1与B1D1的交点为E,则= -a+b+c 。(用a,b,c表示)  解析　 如图,=B+B1=A+(B1+B1)=A+(-)=-a+b+c。 9. 如图,在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,M为△A1B1C1的重心,若=a,=b,=c,则= a-b+c 。(用a,b,c表示)  解析　=+=+=+(-)=+-=-+=a-b+c。 10.{a,b,c}为空间的一组基,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则x= 0 ,y= 0 ,z= 0 。  解析　若x,y,z中存在一个不为0的数,不妨设x≠0,则a=-b-c,所以a,b,c共面。这与{a,b,c}是基矛盾,故x=y=z=0。 11.已知直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为  。  解析　如图所示,设=a,=b,=c,则<a,b>=120°,c⊥a,c⊥b,因为=+=-a+c,=+=b+c,cos<,>== = ===。 三、解答题 12.在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点。 (1)试用向量a,b,c表示,; (2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值。 解　(1) 如图,=+=-+-=a-b-c,=+=+=-(+)+(+)=(a-c)。 (2)=(+)=(-+)=(-c+a-b-c)=a-b-c,所以x=,y=-,z=-1。 13. 如图,三棱柱ABC⁃A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N。设=a,=b,=c。 (1)试用a,b,c表示向量; (2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长。 解　(1)=++=++=(c-a)+a+(b-a)=a+b+c。 (2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×=5,所以|a+b+c|=,所以||=|a+b+c|=,即|MN|=。 素养升级 14. 如图,直三棱柱ABC⁃A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点。 (1)求证:CE⊥A'D; (2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值。 解　(1)证明:设=a,=b,CC=c,根据题意,|a|=|b|=|c|且a·b=b·c=c·a=0,所CE=b+cA'D=-c+b-a。所CEA'D=-c2+b=0。所CEA'D,即CE⊥A'D。 (2)因为AC=-a+c,所以|AC|=|a|。又||=|a|,AC·=(-a+c)·=c2=|a|2,所以cos<AC,>==,即异面直线CE与AC'所成角的余弦值为。 15.如图,正四面体V⁃ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M。 (1)求证:AO,BO,CO两两垂直; (2)求<,>。 解　(1)证明:设=a,=b,=c,正四面体的棱长为1,则=(a+b+c),=(b+c-5a),=(a+c-5b),=(a+b-5c),a·b=a·c=b·c,|a|=|b|=|c|,所以·=(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)=(18×1×1×cos 60°-9)=0,所以⊥,即AO⊥BO。同理,AO⊥CO,BO⊥CO。所以AO,BO,CO两两垂直。 (2)=+=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c),所以||==。又||==,·=(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=,所以cos<,>==。所以<,>=。 学科网（北京）股份有限公司 $$