强化课 抛物线的性质及应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

　抛物线的性质及应用 题型1　与抛物线焦点弦有关的性质 　(1)已知抛物线y2＝8x，O为坐标原点，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，满足|AB|＝10，则△OAB的面积为(　　) A．4 B．4 C．5 D．5 (2)(2024·江西吉安期末)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点B在第一象限)，若＝4，则直线l的斜率为__________． 【解析】　(1)方法一：由题意y2＝8x，所以p＝4，所以F(2，0).若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x＝2，y2＝16，所以y＝±4，此时|AB|＝8，不成立；故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意k≠0，所以k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，Δ＝64k2＋64>0，所以x1＋x2＝4＋.由于直线AB过焦点，由抛物线定义得|AB|＝10＝x1＋＋x2＋，所以k2＝4，k＝±2，所以直线AB的方程为y＝±2(x－2)，故原点O到直线AB的距离d＝＝，所以S△OAB＝|AB|·d＝4.故选A． 方法二：设直线AB与抛物线的对称轴的夹角为θ，则|AB|＝＝＝10，可得sin 2θ＝，即sin θ＝，所以S△OAB＝＝16×＝4. (2)方法一：由题意得F(0，2)，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x2>0，由已知x1＝－4x2，联立故x2－8kx－16＝0，故有结合x1＝－4x2(x2>0)得 方法二：设直线l与y轴的夹角为θ， 得到抛物线的准线方程为y＝－2，与y轴交于点T，过点B作BM⊥准线于点M，交x轴于点N，作BE⊥y轴于点E，则|ET|＝|BM|，由抛物线定义可得|BF|＝|BM|＝|ET|＝|FT|－|EF|，其中|FT|＝4，|EF|＝|BF|·cos θ，故|BF|＝4－|BF|·cos θ，解得|BF|＝，同理可得|AF|＝，因为＝4，所以|AF|＝4|FB|，即＝4×，解得cos θ＝，则sin θ＝，由于点B在第一象限，所以k<0，则k＝－. 【答案】　(1)A　(2)－ 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过焦点F(，0)的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，α为直线AB与抛物线的对称轴的夹角，则 (1)焦半径长公式： 坐标式：|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋； 夹角式：|AF|＝，|BF|＝(点A在x轴上方，点B在x轴下方). (2)焦点弦长公式：|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝. (3)通径长公式：|AB|＝2p(通径最短). (4)|AF|，|BF|的数量关系：＋＝，|AF|·|BF|＝＝. (5)△AOB的面积：S△AOB＝，＝. [跟踪训练1] (1)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A作准线l的垂线，垂足为E，当点A的坐标为(3，y1)时，△AEF为正三角形，则此时△OAB的面积为(　　) A．4 B．3 C．5 D．6 解析：选A．由抛物线定义得|AE|＝|AF|＝3＋，由△AEF为正三角形知，直线AB的倾斜角为60°，|EF|＝2p，故3＋＝2p，解得p＝2，直线AB的方程为y＝(x－)，A(3，6)，抛物线方程为y2＝4x，联立得3x2－10x＋9＝0，所以点B的坐标为(，－2)，所以S△OAB＝××|6－(－2)|＝4.故选A． (2)(多选)已知A，B是抛物线C：y2＝4x上两动点，F为抛物线C的焦点，则(　　) A．直线AB过焦点F时，|AB|最小值为4 B．直线AB过焦点F且倾斜角为60°时(点A在第一象限)，|AF|＝2|BF| C．若AB中点M的横坐标为3，则|AB|最大值为8 D．若点A坐标为(4，4)，且直线AF，AB斜率之和为0，AF与抛物线的另一交点为D，则直线BD的方程为4x＋8y＋7＝0 解析：选ACD．对于A，直线AB过焦点F，当AB垂直于x轴时，|AB|取最小值2p＝4，故A正确；对于B，由题意，如图所示作图，则θ＝60°，作AG⊥x轴于点G，BE⊥x轴于点E，AC⊥准线于点C，BH⊥准线于点H，则|GF|＝|AF|cos θ，|EF|＝|BF|cos θ，|AC|＝|GF|＋p，|BH|＝p－|EF|，即|AF|＝|GF|＋p，|BF|＝p－|EF|，|AF|＝|AF|cos θ＋p，|BF|＝p－|BF|cos θ，|AF|＝，|BF|＝，所以|AF|＝＝4，|BF|＝＝，故B错误；对于C，由于A，B为两动点，所以|AB|≤|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋2＝8，当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，故C正确；对于D，依题意，F(1，0)，设A(xA，yA)，D(xD，yD)，联立方程得两式相减得(yA＋yD)(yA－yD)＝4(xA－xD)，kAF＝＝＝，故yD＝－1，即D(，－1)，由题意，kAB＝0－kAF＝－，同理可得B(，－7)，故直线BD的方程为4x＋8y＋7＝0，故D正确．故选ACD． 题型2　与抛物线焦点弦有关的三个圆 　已知斜率为k的直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点M(－1，－1)满足·＝0，求弦AB的长． 【解】　方法一：由题意知，抛物线C的准线方程为x＝－1，即－＝－1，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，其焦点为F(1，0).因为直线l过抛物线的焦点F(1，0)，所以直线l的方程为y＝k(x－1).因为·＝0，所以M在以AB为直径的圆上．设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组两式相减可得＝＝k，设AB的中点为Q(x0，y0)，则y0＝.因为点Q(x0，y0)在直线l上，所以x0＝＋1，所以点Q(＋1，)是以AB为直径的圆的圆心．由抛物线的定义知，圆Q的半径r＝＝＝＝＋2，因为|QM|2＝(x0＋1)2＋(y0＋1)2＝(＋2)2＋(＋1)2＝r2，所以(＋2)2＋(＋1)2＝(＋2)2，解得k＝－2，所以弦长|AB|＝2r＝2(＋2)＝2×(＋2)＝5. 方法二：因为点M(－1，－1)在抛物线C的准线上，所以－＝－1，解得p＝2，即y2＝4x.因为·＝0，所以点M在以AB为直径的圆D上．又点M在抛物线的准线上，所以点M是准线与圆D相切的切点，由此可得，直线MD∥x轴，即yM＝yD＝－1，又yD·kAB＝p，所以kAB＝＝－2.设焦点弦的倾斜角为θ，则tan θ＝－2，于是sin θ＝，由焦点弦长公式可得，|AB|＝＝5. 如图，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，准线l：x＝－，过焦点F(，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 (1)以抛物线焦点弦AB为直径的圆M与抛物线的准线l：x＝－相切； (2)以焦半径AF，BF为直径的圆C和圆D与y轴相切； (3)分别以AB，AF，BF为直径的圆之间的关系：圆C与圆D外切；圆C与圆D既与y轴相切，又与圆M相内切． [跟踪训练2] (2024·河南信阳联考)已知倾斜角为的直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与该抛物线交于点A，B，且以AB为直径的圆与直线x＝－1相切，则|AB|＝(　　) A．4 B． C． D． 解析：选B．设抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l：x＝－， 过点A，B分别作l的垂线，垂足为C，D，设A，B的中点为M，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，即以AB为直径的圆与l：x＝－相切，又以AB为直径的圆与直线x＝－1相切，故直线x＝－1即为抛物线的准线，所以p＝2，所以y2＝4x，所以直线AB的方程为y＝(x－1)，与y2＝4x联立，整理得3x2－10x＋3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.故选B． 题型3　抛物线的平均性质 　设抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点P(x0，2)满足|PF|＝2. (1)求抛物线E的方程； (2)两条不同直线l1，l2均过点F，且l1交抛物线E于A，C两点，l2交抛物线E于B，D两点．设直线AB和CD分别与x轴交于点M(x1，0)和点N(x2，0)，求x1x2的值． 【解】　(1)因为|PF|＝2，所以x0＋＝2，即x0＝2－，将P(2－，2)代入抛物线方程中，得4＝2p(2－)，解得p＝2，故抛物线E的方程为y2＝4x. (2)方法一：设A(，y1)，B(，y2)，C(，y3)，D(，y4)，设直线AC：x＝ty＋1，联立可得y2－4ty－4＝0，故y1y3＝－4，同理y2y4＝－4.若y1＋y2≠0，则y3＋y4≠0，则直线AB：y＝(x－)＋y1，令y＝0，则x1＝－，同理x2＝－，所以x1x2＝＝1.若y1＋y2＝0，则y3＋y4＝0，此时x1＝，x2＝，x1x2＝＝1.综上，x1x2＝1. 方法二：如图， 由抛物线的性质，可得所以x1x2＝.又因为所以x1x2＝1. 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过抛物线对称轴上一点D(m，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2＝m2，y1y2＝－2pm. [跟踪训练3] 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点O为坐标原点，直线l过定点T(t，0)(其中t>0，t≠1)与抛物线C相交于A，B两点(点A位于第一象限). (1)当t＝4时，求证：OA⊥OB； (2)如图，连接AF，BF并延长交抛物线C于点A1，B1，设△ABF和△A1B1F的面积分别为S1和S2，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由． 解：(1)证明：设直线l方程为x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线l与抛物线C的方程，得消去x，得y2－4my－16＝0，所以y1y2＝－16.所以·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝·＋y1y2＝＋y1y2＝16－16＝0，即OA⊥OB. (2)是定值．设直线l方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x得y2－4my－4t＝0，故y1y2＝－4t.设A1(x3，y3)，B1(x4，y4)，设直线A1A的方程为x＝ny＋1，联立消去x得y2－4ny－4＝0，从而y1＋y3＝4n，y1y3＝－4，则y3＝－，同理可得y4＝－，所以＝＝＝＝＝t2，即为定值，定值为t2. 学科网（北京）股份有限公司 $