培优2 离心率的求法-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

　离心率的求法 类型一 利用焦点三角形求离心率 　(1)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A，B.若|AF2|＝|BF2|，则双曲线C的离心率为(　　) A． B． C．2 D． (2)如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为________． 【解析】　(1) 设|AF1|＝t，则|AF2|＝t＋2a＝|BF2|，从而|BF1|＝t＋4a，进而|BA|＝4a.如图，过F2作F2H⊥AB，交AB于点H，则|AH|＝2a，所以|F1H|＝t＋2a＝|AF2|.在Rt△F1F2H中，|F2H|＝2c sin 30°＝c，|F1H|＝2c cos 30°＝c＝|AF2|.在Rt△AF2H中，(c)2－c2＝(2a)2，即2c2＝4a2，所以e＝.故选A． (2)方法一：如图，连接AF1，由△F2AB是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝c，所以2a＝(－1)c，则该双曲线的离心率e＝＝＋1. 方法二：如图，连接AF1，易得∠F1AF2＝90°，令β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，则该双曲线的离心率e＝＝＝＋1. 【答案】　(1)A　(2)＋1 　已知椭圆或双曲线上一点P，焦点分别为F1，F2，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，则有：在椭圆中e＝，在双曲线中e＝. 类型二 利用齐次方程求离心率 　(1)(2024·广西桂林期中)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别为左、右焦点，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，点P到点F1的距离是点P到点F2的距离的3倍，则双曲线C的离心率是(　　) A． B． C．2 D． (2)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则该椭圆的离心率为________． 【解析】　(1)设双曲线C的半焦距为c(c>0)，由题意可知，|PF1|＝3|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，可得|PF1|＝3|PF2|＝3a，因为PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即9a2＋a2＝4c2，整理得＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝.故选B． (2)在△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，即a2＋b2＋a2＝a2＋2ac＋c2，将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝.因为0＜e＜1，所以e＝. 【答案】　(1)B　(2) 　若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解得到离心率． 类型三 求离心率的取值范围 　(1)设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，点Q(c，)在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且|PF1|＋|PQ|<5|F1F2|恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　) A．(，) B．(，) C．(，) D．(，1) (2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在点P使＝，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 【解析】　(1)因为点Q(c，)在椭圆的内部，所以＋<1，①而a2＝b2＋c2，②由①②得a4<4b4，即a2<2b2.所以e＝< ＝.因为|PF1|＋|PQ|<5|F1F2|，而|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2a－|PF2|＋|PQ|<10c，即|PQ|－|PF2|<10c－2a，易得|PQ|－|PF2|≤|QF2|＝，因为P是椭圆C上的动点，且|PF1|＋|PQ|<5|F1F2|恒成立，所以|PQ|－|PF2|≤|QF2|＝<10c－2a，所以a<4c，即e＝>，所以椭圆的离心率的取值范围是(，). (2)在△PF1F2中，由正弦定理可得＝，所以e＝＝＝，即|PF1|＝|PF2|，则点P在双曲线的右支上，且点P不在直线F1F2上，画出草图如图所示． 由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF2|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝.又由双曲线的性质知|PF2|＞c－a，则＞c－a，即c2－2ac－a2＜0，所以e2－2e－1＜0，解得－＋1＜e＜＋1.又e∈(1，＋∞)，所以e∈(1，＋1). 【答案】　(1)A　(2)(1，＋1) 　求离心率取值范围的方法 (1)通过设点的坐标，利用圆锥曲线上点的坐标的范围，转化为离心率的取值范围． (2)利用焦半径的范围得到a与c的不等式从而求离心率的取值范围．椭圆的焦半径|PF|∈[a－c，a＋c]；对于双曲线，当P与焦点同侧时|PF|≥c－a，异侧时|PF|≥c＋a. 【尝试训练】 1．已知点P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，点F1，F2分别为C的左、右焦点，并满足PF1⊥PF2，|OP|＝|PF2|，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C．－1 D． 解析：选C．方法一：由题意知，θ＝∠F1PF2＝，α＝∠PF1F2＝，β＝∠PF2F1＝.所以e＝＝＝＝－1. 方法二：由PF1⊥PF2，得△F1PF2为直角三角形，则|OP|＝|OF2|＝c，又|OP|＝|PF2|，所以|PF2|＝c，由|PF1|＋|PF2|＝2a，可得|PF1|＝2a－c，则(2a－c)2＋c2＝4c2，即c2＋2ac－2a2＝0，所以e2＋2e－2＝0，又0<e<1，解得e＝－1.故选C． 2．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长F2T交双曲线E的左支于点P.若|PF2|>2|TF2|，则双曲线E的离心率的取值范围是(　　) A．(2，) B．(，＋∞) C．(2，＋∞) D．(，) 解析：选D．如图，连接PF1，OT，过F1作F1M⊥PF2于点M，则OT⊥PF2，O为F1F2 的中点，所以|MF1|＝2|OT|＝2a，|MF2|＝2|TF2|＝2b，令|PF2|＝t>0，则|PF1|＝t－2a，kPF2＝－，所以|PM|＝|PF2|－|MF2|＝t－2b，在△PMF1中，(t－2a)2＝(2a)2＋(t－2b)2，解得t＝＝|PF2|，因为|PF2|>2|TF2|，所以>2b，即<2，所以e＝<，且PF2与左支有交点，所以kPF2＝－>－，即>1，所以e>，所以e∈(，).即双曲线E的离心率的取值范围是(，).故选D． 3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过C的右焦点F作垂直于渐近线的直线l交两渐近线于A，B两点，A，B两点分别在第一、四象限，若＝，则双曲线C的离心率为(　　) A． B．2 C． D． 解析：选A． 由题意知，双曲线的右焦点F(c，0)，渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，如图所示．由点到直线的距离公式可知，|AF|＝＝b，又c2＝a2＋b2，所以|OA|＝a，因为＝，即|BF|＝2b，设∠AOF＝α，由双曲线的对称性可知∠AOB＝2α，而tan α＝，tan 2α＝＝，由正切二倍角公式可知，tan 2α＝＝＝，即＝，化简可得a2＝3b2，即＝，由双曲线离心率公式可知，e＝＝＝＝. 4．设F1，F2分别为椭圆C1：＋＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：－＝1(a2>b2>0)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2＝90°，若椭圆C1的离心率e1∈[，]，则双曲线C2的离心率e2的取值范围是__________________________________________________． 解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，由椭圆及双曲线定义得|MF1|＋|MF2|＝2a1，|MF1|－|MF2|＝2a2，解得|MF1|＝a1＋a2，|MF2|＝a1－a2，因为∠F1MF2＝90°，所以(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝4c2，a＋a＝2c2，＋＝2，因为e1∈[，]，e∈[，]，∈[，]，所以＝2－∈[，]，则e2∈[，]，因为a2>b2，则<1，由e2＝＝<，所以1<e2<，因此e2∈[，). 答案：[，) 学科网（北京）股份有限公司 $