培优3 “点差法”的应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

　“点差法”的应用 类型一 利用点差法求直线方程 　已知双曲线方程为3x2－y2＝3. (1)求以定点A(2，1)为中点的弦所在的直线方程； (2)以定点B(1，1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由． 【解】　(1)设以定点A(2，1)为中点的弦的端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，可得x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，① 由端点在双曲线上，可得3x－y＝3，3x－y＝3，两式相减可得3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，将①代入上式，可得以定点A(2，1)为中点的弦所在的直线斜率为＝＝6，则以定点A(2，1)为中点的弦所在的直线方程为y－1＝6(x－2)，即为y＝6x－11，代入双曲线的方程可得33x2－132x＋124＝0，由Δ＝(－132)2－4×33×124＝1 056>0，故所求直线存在，直线方程为y＝6x－11. (2)假设以定点B(1，1)为中点的弦存在，设以定点B(1，1)为中点的弦的端点坐标为(x3，y3)，(x4，y4)，可得x3＋x4＝y3＋y4＝2，② 由端点在双曲线上，可得3x－y＝3，3x－y＝3，两式相减可得3(x3－x4)(x3＋x4)＝(y3－y4)(y3＋y4)，将②代入上式，可得以定点B(1，1)为中点的弦所在的直线斜率为＝＝3，则以定点B(1，1)为中点的弦所在的直线方程为y－1＝3(x－1)，即为y＝3x－2，代入双曲线的方程可得6x2－12x＋7＝0，由Δ＝(－12)2－4×6×7＝－24<0，可得所求直线不存在，故以定点B(1，1)为中点的弦不存在． 　在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们常用的解法如下：设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，分别代入圆锥曲线的方程后相减，得到弦中点的坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，即为“点差法”． 类型二 利用点差法求轨迹方程 　已知椭圆＋y2＝1. (1)求过点P(，)且被P点平分的弦所在直线的方程； (2)过点Q(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程． 【解】　(1)设所求直线与椭圆＋y2＝1的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(，)是弦AB的中点，则两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)·(y1＋y2)＝0，因为＝，＝，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，所以x1－x2＋2(y1－y2)＝0，所以直线AB的斜率kAB＝－.所以直线AB的方程为y－＝－(x－)，即2x＋4y－3＝0. (2)由题意知，割线的斜率存在，设M(x3，y3)，N(x4，y4)是椭圆＋y2＝1上两点，E(x，y)是弦MN的中点，则两式相减得(x3－x4)·(x3＋x4)＋2(y3－y4)(y3＋y4)＝0，因为x＝，y＝，所以x3＋x4＝2x，y3＋y4＝2y，所以2x(x3－x4)＋4y(y3－y4)＝0，所以直线MN的斜率kMN＝＝－(x3≠x4).又kMN＝，所以 ＝－，化简得x2＋2y2－2x－2y＝0(椭圆内部分)，所以截得的弦的中点的轨迹方程为x2＋2y2－2x－2y＝0(椭圆内部分). 　求轨迹方程即求轨迹上任意一点坐标满足的等量关系，和中点弦有关的轨迹，可利用“点差法”建立轨迹方程． 类型三 利用点差法求离心率 　(1)已知A，B，P是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上不同的三点，直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，且k1，k2是关于x的方程4x2＋mx＋3＝0的两个实数根，若＋＝0，则双曲线C的离心率是(　　) A．2 B． C． D． (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上存在两点A，B关于直线y＝x－8对称，且线段AB的中点在直线x－2y－14＝0上，则双曲线的离心率为________． 【解析】　(1)设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0).因为＋＝0，所以点B的坐标为(－x0，－y0).由条件可知k1k2＝，即·＝，即＝.又点P，A在双曲线C上，所以－＝1，－＝1，两式相减得(x2－x)－(y2－y)＝0，即＝，又＝，所以＝，故e＝＝＝. (2)设线段AB的中点为C，则 得C(2，－6)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以又点A，B在双曲线C上，所以两式相减得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1).因为x2－x1≠0，所以·＝，所以kAB×＝.因为点A，B关于直线y＝x－8对称，所以kAB＝－1，所以＝3.所以双曲线的离心率为e＝＝＝2. 【答案】　(1)B　(2)2 　和弦中点有关的离心率问题，可利用“点差法”建立a，b，c之间的关系，求得离心率． 【尝试训练】 1．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b＝(　　) A．2 B． C． D． 解析：选D．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(xP，yP)，则－＝1，－＝1，两式相减可得(x1－x2)·(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以·＝，因为P为线段AB的中点，所以＝＝，又＝kAB＝2，所以＝，即b2＝2，所以b＝.故选D． 2．(2024·江西九江永修县第一中学检测)若椭圆＋＝1的弦AB被点P(1，1)平分，则AB所在直线的方程为(　　) A．9x＋4y－13＝0 B．4x＋9y－13＝0 C．x＋2y－3＝0 D．x＋3y－3＝0 解析：选B．若直线AB⊥x轴，则点A，B关于x轴对称，则直线AB的中点在x轴，不符合题意，所以直线AB的斜率存在，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝y1＋y2＝2，所以两式作差可得＋＝0，即＋＝0，即＋＝0，可得直线AB的斜率为kAB＝＝－，所以直线AB的方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0.故选B． 3．过点M(1，1)作斜率为的直线与双曲线Γ：－＝1相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则双曲线Γ的离心率为________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1，①－＝1，②因为M是线段AB的中点，所以＝1，＝1，因为直线AB的方程是y＝(x－1)＋1，所以y1－y2＝(x1－x2)，①②两式相减可得－＝0，即＝＝＝，所以e＝＝ ＝. 答案： 4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－2，在抛物线C上存在A，B两点关于直线l：x＋y－7＝0对称，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则|OM|的值为________． 解析：由题知＝2，解得p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则y＝8x1，y＝8x2，两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，即kAB＝＝＝，又因为A，B两点关于直线l：x＋y－7＝0对称，所以解得可得M(3，4)，则|OM|＝＝5. 答案：5 5．已知抛物线y2＝2x，过点Q(2，1)作一条直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的中点的轨迹方程为____________________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为M(x，y)，则y1＋y2＝2y.当直线AB的斜率存在时，kAB＝＝，又y＝2x1，y＝2x2，两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，所以2y·＝2，即2y·＝2，即＝x－.当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，弦AB的中点为(2，0)，适合上式．综上，所求轨迹方程为＝x－. 答案：＝x－ 学科网（北京）股份有限公司 $