第2章 圆锥曲线 章末综合检测(二)-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

章末综合检测(二)

 (时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．抛物线x＝4y2的准线方程是(　　)

A．x＝－    B．x＝－

C．y＝－    D．y＝－

解析：选A．因为y2＝x，所以2p＝，所以准线方程为x＝－.故选A．

2．中心在坐标原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x－4y＋2＝0上的等轴双曲线方程是(　　)

A．x2－y2＝8    B．x2－y2＝4

C．y2－x2＝8     D．y2－x2＝4

解析：选B．因为双曲线实轴在x轴上且焦点在直线x－4y＋2＝0上，故令y＝0得x＝－2，即c＝2.又因为a＝b且a2＋b2＝c2，所以a2＝b2＝4，所以双曲线方程为－＝1，即x2－y2＝4.故选B．

3．两抛物线x2＝y与y2＝－x的焦点间的距离为(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选B．由题意，抛物线x2＝y与y2＝－x的焦点坐标分别为(0，)，(－，0)，所以两抛物线的焦点间的距离为＝.故选B．

4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为(　　)

A．＋＝1    B．＋y2＝1

C．＋＝1    D．＋＝1

解析：选B．由题设，|AF2|＋|AF1|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，且|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以△AF1B的周长为|AF2|＋|AF1|＋|BF2|＋|BF1|＝4a＝4，即a＝，又e＝＝，可得c＝，则b2＝a2－c2＝1，所以，椭圆C的方程为＋y2＝1.故选B．

5．北京永定河七号桥是丰沙铁路下行线珠窝站和沿河城站间跨越永定河的铁路桥，为中国最大跨度的钢筋混凝土铁路拱桥，全长217.98米，矢高40米，主跨150米，则该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为(　　)

A．70.3米    B．70.5米

C．70.7米    D．70.9米

解析：选A．以拱桥对应的抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系(横坐标与纵坐标的单位均为米)，依题意可得A(75，－40)，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，将A的坐标代入，得p＝＝70.312 5≈70.3，所以该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为70.3米．故选A．

6．已知椭圆C：＋x2＝1(a>1)的离心率为，P为椭圆C上的一个动点，定点A(－1，0)，则|PA|的最大值为(　　)

A．    B．2

C．    D．3

解析：选B．因为椭圆C：＋x2＝1(a>1)的离心率为，所以椭圆的离心率e＝＝＝，又b2＝1，则a2＝2，所以椭圆方程为＋x2＝1，设椭圆上一动点P(x0，y0)，则y＝2－2x，所以|PA|＝＝，因为－1≤x0≤1，所以当x0＝1时，|PA|取最大值2.故选B．

7．如图，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于另一点Q.若|PF1|＝4|QF2|，则直线PF2的斜率为(　　)

A．－2    B．－1  

C．－    D．－

解析：选A．如图，连接QF1，设|QF2|＝x(x>0)，则|PF1|＝4x.因为|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－4x，|QF1|＝2a－x.在△PF1Q中，∠F1PQ＝90°，所以|PF1|2＋|PQ|2＝|QF1|2，即(4x)2＋(2a－4x＋x)2＝(2a－x)2，整理得a＝3x，所以tan ∠PF2F1＝＝＝＝2，所以直线PF2的斜率为k＝tan (180°－∠PF2F1)＝－tan ∠PF2F＝－2.故选A．