第2章 圆锥曲线 章末综合检测(二)-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

章末综合检测(二) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线x＝4y2的准线方程是(　　) A．x＝－ B．x＝－ C．y＝－ D．y＝－ 解析：选A．因为y2＝x，所以2p＝，所以准线方程为x＝－.故选A． 2．中心在坐标原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x－4y＋2＝0上的等轴双曲线方程是(　　) A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4 解析：选B．因为双曲线实轴在x轴上且焦点在直线x－4y＋2＝0上，故令y＝0得x＝－2，即c＝2.又因为a＝b且a2＋b2＝c2，所以a2＝b2＝4，所以双曲线方程为－＝1，即x2－y2＝4.故选B． 3．两抛物线x2＝y与y2＝－x的焦点间的距离为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．由题意，抛物线x2＝y与y2＝－x的焦点坐标分别为(0，)，(－，0)，所以两抛物线的焦点间的距离为＝.故选B． 4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：选B．由题设，|AF2|＋|AF1|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，且|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以△AF1B的周长为|AF2|＋|AF1|＋|BF2|＋|BF1|＝4a＝4，即a＝，又e＝＝，可得c＝，则b2＝a2－c2＝1，所以，椭圆C的方程为＋y2＝1.故选B． 5．北京永定河七号桥是丰沙铁路下行线珠窝站和沿河城站间跨越永定河的铁路桥，为中国最大跨度的钢筋混凝土铁路拱桥，全长217.98米，矢高40米，主跨150米，则该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为(　　) A．70.3米 B．70.5米 C．70.7米 D．70.9米 解析：选A．以拱桥对应的抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系(横坐标与纵坐标的单位均为米)，依题意可得A(75，－40)，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，将A的坐标代入，得p＝＝70.312 5≈70.3，所以该拱桥对应的抛物线的焦点到其准线的距离约为70.3米．故选A． 6．已知椭圆C：＋x2＝1(a>1)的离心率为，P为椭圆C上的一个动点，定点A(－1，0)，则|PA|的最大值为(　　) A． B．2 C． D．3 解析：选B．因为椭圆C：＋x2＝1(a>1)的离心率为，所以椭圆的离心率e＝＝＝，又b2＝1，则a2＝2，所以椭圆方程为＋x2＝1，设椭圆上一动点P(x0，y0)，则y＝2－2x，所以|PA|＝＝，因为－1≤x0≤1，所以当x0＝1时，|PA|取最大值2.故选B． 7．如图，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于另一点Q.若|PF1|＝4|QF2|，则直线PF2的斜率为(　　) A．－2 B．－1 C．－ D．－ 解析：选A．如图，连接QF1，设|QF2|＝x(x>0)，则|PF1|＝4x.因为|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－4x，|QF1|＝2a－x.在△PF1Q中，∠F1PQ＝90°，所以|PF1|2＋|PQ|2＝|QF1|2，即(4x)2＋(2a－4x＋x)2＝(2a－x)2，整理得a＝3x，所以tan ∠PF2F1＝＝＝＝2，所以直线PF2的斜率为k＝tan (180°－∠PF2F1)＝－tan ∠PF2F＝－2.故选A． 8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若∠MF1N＝60°，且|F1N|＝2|F1M|，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选D．如图所示，不妨设M在左支，设右焦点为F2，连接MF2，NF2，由对称性知四边形MF1NF2为平行四边形，由|F1N|＝2|F1M|得|F2M|＝2|F1M|，由双曲线定义知，|F2M|－|F1M|＝2a，所以|F1M|＝2a，|F2M|＝|F1N|＝4a，因为∠MF1N＝60°，所以∠F1MF2＝120°.在△MF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|cos 120°，即4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×(－)，整理得c2＝7a2，即a2＋b2＝7a2，所以＝，则C的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线－＝1的左焦点F1与抛物线y2＝－4x的焦点重合，F2是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有(　　) A．抛物线的准线方程为x＝1 B．双曲线的实轴长为4 C．双曲线的一条渐近线方程为2x－y＝0 D．P为双曲线上一点，若|PF1|＝，则|PF2|＝ 解析：选BD．对于A，抛物线y2＝－4x的准线方程为x＝，故A错误；对于B，由抛物线方程可得F1(－，0)，所以a2＋3＝7，解得a＝2，所以双曲线的实轴长为2a＝4，故B正确；对于C，双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±2y＝0，故C错误；对于D，由双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝|－|PF2||＝2a＝4，解得|PF2|＝<－2(舍)或|PF2|＝，故D正确．故选BD． 10．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(0，)且垂直于长轴的弦长为1，则(　　) A．椭圆方程为＋＝1 B．椭圆方程为x2＋＝1 C．过焦点F且长度为3的弦有2条 D．过焦点且长度为的弦只有一条 解析：选BC．由题意得c2＝a2－b2＝3，且由＋＝1得x＝±，则解得 因此椭圆的方程为x2＋＝1，因此A错误，B正确；因为过焦点F且长度为3的弦所在直线l的斜率显然存在，且不为0，所以设直线l的方程为y＝kx＋，设直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝3.由得(4＋k2)x2＋2kx－1＝0，Δ＝(2k)2＋4(4＋k2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝，则|AB|＝·|x1－x2|＝·＝·＝，由＝3，得k2＝8，即k＝±2，即直线l的方程为y＝±2x＋，因此C正确；因为椭圆x2＋＝1的长轴长为4，而>4，所以过焦点且长度为的弦不存在，因此D错误．故选BC． 11．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)与圆O：x2＋y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法正确的是(　　) A．若直线l的斜率为，则|MN|＝8 B．|MF|＋2|NF|的最小值为3＋2 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为(0，)，则点M的横坐标为 D．若点G(2，2)，则△GFM周长的最小值为3＋ 解析：选BCD．由题意得点(1，2)在抛物线C：y2＝2px上，所以22＝2p，解得p＝2，所以C：y2＝4x，则F(1，0)，设直线l：x＝my＋1，与y2＝4x联立得y2－4my－4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以|MN|＝|y1－y2|＝·＝4(1＋m2)，当直线l的斜率为，即m＝时，|MN|＝16，A项错误；＋＝＋＝＝＝＝1，则|MF|＋2|NF|＝(|MF|＋2|NF|)·(＋)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当|MF|＝1＋，|NF|＝1＋时，等号成立，B项正确； 如图，过点M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为D1，则MM1∥OF，DD1是梯形OFMM1的中位线，由抛物线的定义可得|MM1|＝|MM′|－|M1M′|＝|MF|－1，所以|DD1|＝＝＝，所以以MF为直径的圆与y轴相切，所以点(0，)为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为，又D为MF的中点，所以点M的纵坐标为，又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为，C项正确；过点G作GH垂直于准线，垂足为H，所以△GFM的周长为|MG|＋|MF|＋|GF|＝|MG|＋|MM′|＋≥|GH|＋＝3＋，当且仅当点M的坐标为(1，2)时取等号，D项正确．故选BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离为，则点P到F2的距离为________． 解析：设双曲线－＝1的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距长为c，所以a＝4，b＝3，c＝5，F1(－5，0)，F2(5，0)，当点P在双曲线的左支时，|PF2|≥a＋c＝9，|PF2|－|PF1|＝2a＝8，又|PF1|＝，所以|PF2|＝；当点P在双曲线的右支时，|PF2|≥c－a＝1，|PF1|－|PF2|＝2a＝8，解得|PF2|＝，矛盾，不存在点P满足条件. 综上，点P到F2的距离为. 答案： 13．设椭圆＋＝1上一点P到左焦点F的距离为4，若点M满足＝(＋)，则||＝__________． 解析：由椭圆＋＝1得a＝5，b＝4，设椭圆的右焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝10，又点P到左焦点F的距离为4，所以|PF′|＝6，因为＝(＋)，则M为PF的中点，又O为FF′的中点，所以|OM|＝|PF′|＝3，即||＝3. 答案：3 14．已知F为抛物线C：x2＝4y的焦点，点P为抛物线C外一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，若PA⊥PB，则·＋2的最小值为__________． 解析：由题可知直线PA，PB斜率存在，设直线PA的方程为y＝kx＋m(k，m∈R，k≠0).由得x2－4kx－4m＝0，所以Δ＝16k2＋16m＝0，即m＝－k2，所以直线PA的方程为y＝kx－k2，同理可得直线PB的方程为y＝－x－. 由可得 由可得 由可得 所以A(2k，k2)，B(－，)，P(k－，－1)，F(0，1)，所以＝(－2k，1－k2)，＝(，1－)，＝(－k，2)，所以·＋2＝－2－(k2＋)＋2(k2＋＋2)＝2＋k2＋≥4，当且仅当k2＝，即k＝±1时，等号成立，所以·＋2的最小值为4. 答案：4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若其右焦点为F(，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是C上的两点，直线MN与曲线E：x2＋y2＝b2(x>0)相切，且M，N，F三点共线，求线段|MN|的长． 解：(1)由题意，椭圆半焦距c＝且e＝＝，则a＝，又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)由(1)得，曲线E：x2＋y2＝1(x>0).当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不合题意；当直线MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)又M，N，F三点共线，可设直线MN：y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1，联立得4x2－6x＋3＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝·＝. 16．(本小题满分15分)已知点O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点F到直线y＝x的距离为. (1)求C的标准方程； (2)若直线y＝kx＋b与C交于与点O不重合的A，B两点，且直线OA，OB的斜率之积为－2，求的值． 解：(1)由题意得F(，0)，点F到直线y＝x的距离d＝＝＝，所以p＝2，C的标准方程为y2＝4x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＝，x2＝，所以直线OA，OB的斜率之积为·＝·＝＝－2，所以y1y2＝－8，由题意知k≠0，由y＝kx＋b得x＝－，代入y2＝4x得y2－＋＝0，所以y1y2＝＝－8，＝－2.此时Δ＝－＝＋32>0，所以的值为－2. 17．(本小题满分15分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(，0)，且C的一条渐近线经过点D(，1). (1)求双曲线C的标准方程； (2)是否存在过点P(2，1)的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为双曲线C的右焦点为F(，0)，所以c＝，可得a2＋b2＝6，又因为双曲线C的一条渐近线经过点D(，1)，可得＝，即a2＝2b2，联立方程组解得所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2)不存在．假设存在符合条件的直线l，易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得x－x＝2(y－y)，所以·＝，因为AB的中点为P(2，1)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以k×＝，解得k＝1，直线l的方程为y－1＝x－2，即y＝x－1，把直线y＝x－1代入－＝1，整理得x2－4x＋6＝0，可得Δ＝(－4)2－4×6<0，该方程没有实根，所以假设不成立，即不存在过点P(2，1)的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P. 18．(本小题满分17分)已知抛物线E：y2＝x的焦点为F，过x轴正半轴上一点M的直线l与抛物线E交于A，B两点，O为坐标原点，且·＝6. (1)求点M的坐标； (2)设点F关于直线OB的对称点为C，求四边形OABC面积的最小值． 解：(1)设直线l的方程为x＝my＋n，与y2＝x联立，可得y2－my－n＝0，需满足Δ＝m2＋4n>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝m，y1y2＝－n，由于y1y2<0，所以n>0，由·＝6可得x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝n2－n＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)，则x＝my＋3过x轴正半轴上一点(3，0)，即点M的坐标为(3，0). (2)由题意知F(，0)，结合(1)知y1y2＝－3，不妨设y1>0，所以y2＝－，则S△OAB＝|OM||y1－y2|＝(y1－y2)＝(y1＋)，由于C，F关于OB对称，故S△OBC＝S△OBF＝|OF|·|y2|＝，故S四边形OABC＝S△OAB＋S△OBC＝y1＋＝(4y1＋)≥×2＝，当且仅当4y1＝，即y1＝时，等号成立，故四边形OABC面积的最小值为. 19．(本小题满分17分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，椭圆的离心率为e＝，动点Q在曲线C上，且△ABQ的面积的取值范围是(0，2]，过点D(，0)的直线l与椭圆交于M，N两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若点M在第一象限，求k－3kBN的取值范围． 解：(1)由条件e＝＝，即a＝2c，b＝c，S△ABQ∈(0，2]，也即ab＝2，解得a＝2，b＝，c＝1.从而椭圆C的方程为＋＝1. (2)由题意得A(－2，0)，B(2，0).当直线l的斜率不存在时，M(，)，N(，－)，＝＝，k－3kBN＝()2－3×＝－；当直线l的斜率存在时，不妨设l：y＝k(x－)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得(4k2＋3)x2－4k2x＋k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.从而＝·＝ ＝ ＝ ＝＝，也即恒有＝.因为点M在第一象限，从而kMA∈(0，)，从而k－3kBN＝k－5kMA＝(kMA－)2－在kMA∈(0，)内的取值范围是(，0)，综上，k－3kBN的取值范围为(，0). 学科网（北京）股份有限公司 $