第2章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线与圆锥曲线的综合问题，涵盖弦长公式及应用、与弦长有关的最值问题、中点弦问题等核心知识点。通过问题导入（如推导两点距离公式）衔接直线与圆锥曲线位置关系，搭建从代数运算到几何应用的学习支架。 其亮点是以问题驱动教学，结合椭圆、双曲线、抛物线实例（如中点弦用点差法、焦点弦长计算），培养数学思维中的推理能力与运算能力。反思感悟总结方法，帮助学生构建知识体系，既提升学生综合解题能力，也为教师提供结构清晰的教学资源，提高教学效率。

4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 第二章　§4　直线与圆锥曲线的位置关系 <<< 1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系. 2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题. 3.掌握点差法在中点弦问题中的运用. 学习目标 一、弦长公式及应用 二、与弦长有关的最值(范围)问题 课时对点练 三、中点弦问题 随堂演练 内容索引 弦长公式及应用 一 提示　|AB|＝ ＝|x1－x2| ＝ . 已知直线l：y＝kx＋m上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的长度如何表示？ 问题1 当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有以下两种： (1)|AB|＝|x1－x2| ＝. (2)|AB|＝|y1－y2| ＝(k≠0). 知识梳理 (1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积. (2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论. (3)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB，弦长|AB|＝x1＋x2＋p. (4)椭圆、双曲线的通径长为. 注 意 点 <<< 7 　(1)若直线y＝x－1与双曲线x2－＝1相交于A，B两点，求|AB|. 例 1 8 联立直线与双曲线方程得方程组 消去y，得x2＋2x－3＝0. ① 方法一　由方程①解得x1＝1，x2＝－3，代入y＝x－1得y1＝0，y2＝－4， 不妨设A，B两点的坐标分别为(1，0)，(－3，－4)， 则|AB|＝＝4. 方法二　Δ＝22－4×(－3)＝16>0， 设方程①的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝－2，x1x2＝－3， 解 9 则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16， 则|AB|＝|x1－x2|＝×4＝4. 解 10 (2)已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－. ①试求动点P的轨迹C的方程； 设动点P的坐标是(x，y)， 由题意得kPA·kPB＝－， ∴·＝－， 化简整理得＋y2＝1. 故点P的轨迹C的方程是＋y2＝1(x≠±). 解 11 ②设直线l：y＝kx＋1与①中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程. 12 设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由 得(1＋2k2)x2＋4kx＝0. Δ＝16k2>0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝0. ∴|MN|＝·， 整理得k4＋k2－2＝0， 解 13 解得k2＝1或k2＝－2(舍去). 经检验k＝±1符合题意， ∴直线l的方程为y＝±x＋1， 即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. 解 14 (1)求弦长的两种方法 ①求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解. ②结合根与系数的关系，当斜率k存在(A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与圆锥曲线的交点)时，利用弦长公式 |AB|＝或 |AB|＝(k≠0)求解. (2)已知弦长求参数值，关键是利用弦长公式，得到关于参数的方程，注意求得结果要验证是否满足判别式大于0，否则需舍去. 反 思 感 悟 15 　(1)过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为　　　　. 跟踪训练 1 2 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB的斜率为－2且过点(1，0)，得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，Δ＝12>0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝· ×＝2. 解析 16 (2)椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q两点，且|PQ|＝，则椭圆方程为　　　　　　. ＝1 17 ∵e＝，∴b2＝a2. ∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2， 与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0， 由Δ>0得a2>32. ∴x1＋x2＝－8，x1x2＝， 由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]， ∴a2＝36，b2＝9. ∴椭圆方程为＝1. 解析 18 二 与弦长有关的最值(范围)问题 　(课本例6)　已知直线l过椭圆C：+＝1的中心，且交椭圆C于A，B两点，求|AB|的取值范围. 例 2 20 (1)当直线l的斜率不存在时(如图(1))，直线l：x＝0，代入 椭圆方程解得A(0，)，B(0，－)，所以|AB|＝2. (2)当直线l的斜率存在时(如图(2))，设直线l的方程为y＝kx. 将椭圆方程化简、整理，得x2+2y2＝4. 将直线和椭圆方程联立， 得 将②代入①，得x2+2(kx)2＝4， 解 21 化简、整理，得(2k2+1)x2＝4. ③ 显然，无论k取何值，方程③都有实数解， xA＝，xB＝－. 由两点间的距离公式，可得 |AB|＝ ＝ ＝＝4. ④ 解 22 为了便于求|AB|的取值范围，将④进行变形整理，得 |AB|＝4. 因为4k2+2≥2，由不等式的性质可得0<≤， 所以2<|AB|≤4. 综合(1)和(2)的结果，|AB|的取值范围为[2，4]. 解 23 　在平面直角坐标系中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； 例 2 由题意得∴ ∴椭圆C的方程为＝1. 解 24 (2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值. 25 设直线AB的方程为y＝－x＋m， 联立得3x2－4mx＋2m2－6＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴ ∴|AB|＝|x1－x2|＝， 当m＝0时，满足Δ>0，|AB|max＝4. 解 26 本例条件不变，求△AOB面积的最大值. 延伸探究 由本例知|AB|＝， 原点到直线的距离d＝. ∴S△AOB＝·· ＝≤·. 当且仅当m＝±时，等号成立，满足Δ>0， ∴△AOB面积的最大值为. 解 27 求与圆锥曲线有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理. (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解. (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围. 反 思 感 悟 28 如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F. (1)求以M(1，1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程； 跟踪训练 2 由题意知，中点弦所在的直线斜率存在. 设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则＝4x1，＝4x2，kPQ＝＝2， ∴所求直线方程为2x－y－1＝0. 解 29 (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值. 30 依题意知，直线m，n的斜率存在且均不为0，设直线m的方程为y＝k(x －1)，与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2－(2k2＋ 4)x＋k2＝0，设其两根为x3，x4，则x3＋x4＝＋2. 由抛物线的定义可知，|AB|＝2＋x3＋x4＝＋4， 同理可得|CD|＝4k2＋4， ∴四边形ACBD的面积S＝(4k2＋4)·＝8≥32，当 且仅当k＝±1时等号成立，此时所求四边形ACBD面积最小，为32. 解 31 中点弦问题 三 提示　将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得将两式作差并 整理得＝0， 由弦AB的中点为M(x0，y0). 若x1≠x2，则＝－，即·＝－，从而kAB·＝－， 即kAB·kOM＝－. 已知椭圆的方程为＝1(m>0，n>0，m≠n)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦AB的中点为M(x0，y0)，你能求出kOM·kAB的值吗？ 问题2 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率. 知识梳理 已知椭圆＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为　　　　　　 . 例 3 x＋2y－4＝0 35 方法一　易知直线AB的斜率k存在， 设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)， 由 得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，Δ>0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两根， 于是x1＋x2＝. 又M为AB的中点， 解析 36 ∴＝2，解得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 经检验，所求直线满足题意. 方法二　设点A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵M(2，1)为AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上， 则＋4＝16，＋4＝16， 解析 37 两式相减，得()＋4()＝0， 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝－＝－＝－， 即kAB＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 经检验，所求直线满足题意. 解析 38 方法三　设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)， 由于AB的中点为M(2，1)， 则另一个交点为B(4－x，2－y). ∵A，B两点都在椭圆上， ∴ ①－②，化简得x＋2y－4＝0. 显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过点A，B的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 解析 39 涉及弦的中点，还可以使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆、双曲线或抛物线方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系. 反 思 感 悟 40 直线l与双曲线－y2＝1的同一支相交于A，B两点，线段AB的中点在直线y＝2x上，则直线AB的斜率为 A.4 B.2 C. D. 跟踪训练 3 √ 41 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)， 由已知，A，B两点在双曲线上， 所以 两式作差可得·＝kAB·， 点M(x0，y0)在直线y＝2x上，所以＝2，代入上式可得kAB＝，故直线AB的斜率为. 解析 42 1.知识清单： (1)弦长问题. (2)与弦长有关的最值(范围)问题. (3)中点弦问题. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.AB是过抛物线C：y2＝4x焦点的弦，且|AB|＝10，则线段AB中点的横坐标为 A.4 B.3 C.2 D.1 √ 因为抛物线C：y2＝4x，所以p＝2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为直线AB过抛物线的焦点， 所以|AB|＝x1＋x2＋2＝10，则x1＋x2＝8， 所以AB中点的横坐标为＝4. 解析 1 2 3 4 2.直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 联立 消去y并整理得2x2－11x＋8＝0， Δ＝121－4×2×8＝57>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝4， ∴|AB|＝·×. 解析 1 2 3 4 3.直线x＋4y＋m＝0与椭圆＋y2＝1交于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为1，则m的值是 A.－2 B.－1 C.1 D.2 √ 1 2 3 4 ∵x＋4y＋m＝0， ∴y＝－x－， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 两式相减，得＝－＝－. ∵AB中点的横坐标为1，∴纵坐标为， 将点代入直线y＝－x－，解得m＝－2. 解析 1 2 3 4 4.过椭圆＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为　　　　. 4，3 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的 弦，因为c＝1，将x＝1代入＝1，得＝1，解得y2＝， 即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A B B D ACD 9 题号 8 11 12 13 14 15 答案 x+2y－3＝0　 B AC BCD 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知焦点F， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 若AB⊥x轴，则|AB|＝2p<p， 所以直线AB的斜率存在，设为k， 则直线AB的方程为y＝k，k≠0. 由 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 消去y整理得k2x2－(k2p+2p)x+＝0，Δ>0， 由根与系数的关系得x1+x2＝p+. 所以|AB|＝x1+x2+p＝2p+p， 解得k＝±2. 所以AB所在直线的方程为y＝2或y＝－2， 即2x－y－p＝0或2x+y－p＝0. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设直线l的方程为y＝x+m， 代入双曲线方程， 得3x2+8mx+4(m2+1)＝0， Δ＝(8m)2－4×3×4(m2+1)＝16(m2－3)>0， ∴m2>3. 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则x1+x2＝－m，x1x2＝. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由弦长公式得|AB|＝|x1－x2| ＝， ∴， 即m＝±5，满足m2>3， ∴直线l的方程为y＝x±5. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设直线l'与双曲线交于A'(x3，y3)，B'(x4，y4)两点， 点P(3，1)为A'B'的中点， 则x3+x4＝6，y3+y4＝2. 由－4＝4，－4＝4， 两式相减得(x3+x4)(x3－x4)－4(y3+y4)(y3－y4)＝0， ∴， ∴l'的方程为y－1＝x－3)， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即3x－4y－5＝0. 把此方程代入双曲线方程， 整理得5y2－10y+＝0， 满足Δ>0， 即所求直线l'的方程为3x－4y－5＝0. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设点F(c，0)， 因为直线AF的斜率为，A(0，－2)， 所以，c＝. 又因为，b2＝a2－c2， 解得a＝2，b＝1， 所以椭圆E的方程为+y2＝1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由题意可知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx－2， 联立 消去y得(1+4k2)x2－16kx+12＝0， Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x1+x2＝，x1x2＝. 所以|PQ|＝ ＝· ＝. 又点O到直线l的距离d＝， 所以S△OPQ＝d|PQ|＝. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设＝t>0，则4k2＝t2+3. S△OPQ＝≤＝1， 当且仅当t＝2，即＝2， 即k＝±时取等号，满足k2>， 所以△OPQ的面积最大时，直线l的方程为y＝x－2或y＝－x－2， 即x－2y－4＝0或x+2y+4＝0. 基础巩固 1.椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，PQ为过F1且垂直于x轴的弦，则Q， △PF2Q的周长为36. 所以4a＝36，a＝9. 由已知得＝5，即＝5. 解得c＝6，所以，即e＝. 解析 2.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由 消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0， ∴弦的中点的横坐标是x＝×， 代入直线方程y＝x－1中，得y＝－， ∴弦的中点坐标是. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，且|AB|＝8，那么抛物线的方程为 A.y2＝2x B.y2＝4x C.y2＝8x D.y2＝6x √ 因为直线AB过焦点F， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋p＝8， 所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易求直线AB的方程为y＝(x＋). 由 消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝×. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知点(2，2)是双曲线＝1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为 A.x＋4y－10＝0 B.2x－y－2＝0 C.4x＋y－10＝0 D.4x－y－6＝0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝1，＝1， 两式相减得 －＝0， 所以k＝＝4. 所以此弦所在的直线方程为y－2＝4(x－2)， 即4x－y－6＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知椭圆M：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1斜率不为0的直线l交该椭圆于A，B两点，则 A.M的长轴长为6 B.△AF1F2的周长为8 C.△ABF2的周长为12 D.△AF1F2面积的最大值为2 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得a＝3，b＝，c＝2，则M的长轴长为6，△AF1F2的周长为2a＋2c＝10，△ABF2的周长为4a＝12，故A，C项正确，B项错误； 当A为M的短轴端点时，△AF1F2的面积最大，且最大值为×2c×b＝2，故D项正确. 解析 7.已知双曲线x2－y2＝m(m≠0)与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则m＝　　 . 9 联立方程组 得y2＝， 由此得m>0，y＝±，故x＝±2， |AB|＝2|OA|＝2＝2， 解得m＝9. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＝1(a>b>0)相交于A，B两点，则直线AB的方程为　　　　　　　；若M是线段AB的中点，则 椭圆C的离心率为　　　. x＋2y－3＝0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，直线方程的点斜式为y－1＝－(x－1)，整理得x＋2y－3＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 因为M是线段AB的中点， 所以＝1，＝1. 又＝－， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①②两式相减可得 ＝0， 即＝0. 整理得a＝b，c＝＝b， 所以e＝，即椭圆C的离心率为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交 于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在直线的方程. 由题意知焦点F， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 若AB⊥x轴，则|AB|＝2p<p， 所以直线AB的斜率存在，设为k， 则直线AB的方程为y＝k，k≠0. 由 消去y整理得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，Δ>0， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由根与系数的关系得x1＋x2＝p＋. 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＋p， 解得k＝±2. 所以AB所在直线的方程为y＝2或y＝－2， 即2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知双曲线的方程是－y2＝1. (1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线l的方程为y＝x＋m， 代入双曲线方程， 得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0， Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0， ∴m2>3. 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则x1＋x2＝－m，x1x2＝. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由弦长公式得|AB|＝|x1－x2| ＝， ∴， 即m＝±5，满足m2>3， ∴直线l的方程为y＝x±5. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)过点P(3，1)作直线l'，使其被双曲线截得的弦恰好被P点平分，求直线l'的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线l'与双曲线交于A'(x3，y3)，B'(x4，y4)两点， 点P(3，1)为A'B'的中点， 则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2. 由－4＝4，－4＝4， 两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0， ∴， ∴l'的方程为y－1＝(x－3)， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即3x－4y－5＝0. 把此方程代入双曲线方程， 整理得5y2－10y＋＝0， 满足Δ>0， 即所求直线l'的方程为3x－4y－5＝0. 解 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为 A.18 B.36 C.45 D.60 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不妨设抛物线的解析式为y2＝2px(p>0)， 则焦点为F，对称轴为x轴，准线为x＝－. 如图，过点P作PD⊥AB于点D. ∵直线l经过抛物线的焦点，A，B是l与C的交点， 又AB⊥x轴，∴|AB|＝2p＝12，∴p＝6. 又∵点P在准线上， ∴|DP|＝＝p＝6， ∴S△ABP＝|DP|·|AB|＝×6×12＝36. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C交于M，N两点，且点P(1，1)为线段MN的中点，则下列说法正确的是 A.椭圆C的离心率为 B.△PF1F2的面积为1 C.直线l的方程为x＋3y－4＝0 D.|MN|＝ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，由题知a2＝6，b2＝2，则c2＝4， 所以离心率e＝，A正确； 对于B，设点P的纵坐标为yP，则yP＝1，|F1F2|·yP＝×4×1 ＝2，B错误； 对于C，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝1，＝1，两式相减得＝－， 因为P(1，1)为线段MN的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＝－， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即直线MN的斜率为－，所以直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋3y －4＝0， 经检验符合题意，C正确； 对于D，联立得2x2－4x－1＝0，Δ＝16＋8＝24>0，x1＋ x2＝2，x1x2＝－， 所以|MN|＝·，D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)已知双曲线C：x2－＝1，则下列说法正确的是 A.双曲线y2－＝1与双曲线C有相同的渐近线 B.双曲线C的离心率等于实轴长 C.直线x＝被双曲线C截得的弦长为 D.直线y＝kx(k∈R)与双曲线C的公共点个数只可能是0或2 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 双曲线C：x2－＝1的焦点在x轴上，且a＝1，b＝，则c＝ ＝2， 其渐近线方程为y＝±x， 对于A，由双曲线y2－＝1的渐近线方程为y＝±x，与双曲线C的渐 近线不相同，所以A错误； 对于B，由双曲线C的离心率e＝＝2，实轴长为2a＝2，所以B正确； 对于C，由x＝代入双曲线C：x2－＝1中，可得y＝±， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即交点的坐标为，所以截得的弦长为， 所以C正确； 对于D，由得x2(3－k2)＝3， 当k＝±时，此时直线y＝±x与双曲线C的渐近线重合，与双曲线C没有公共点，即交点的个数为0； 当k2≠3时，x2＝，若k2>3，则x2(3－k2)＝3无解，所以直线y＝kx与 双曲线C没有公共点，即交点的个数为0； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若0≤k2<3，即－<k<3，则由x2(3－k2)＝3得x＝±有两个解，所以直线y＝kx与双曲线C有两个公共点，即交点的个数为2； 综上，直线y＝kx(k∈R)与双曲线C的公共点个数只可能是0或2，所以D正确. 解析 14.设直线l：3x＋4y－6＝0，椭圆C：＋y2＝1，将椭圆C绕着其中心O逆时针旋转90°(旋转过程中椭圆C的大小形状不变，只是位置变化)与椭圆C'：＋x2＝1重合，旋转过程中椭圆C与直线l交于A，B两点，则|AB|的最大值为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由运动的相对性，可把椭圆C视为不动，直线l绕原点O顺时针旋转90°， 原点到直线l的距离为， 当直线l旋转到斜率不存在时，可得直线l的方程为x＝，则可得|AB|＝； 当斜率存在时，斜率k∈∪， 设直线l在旋转过程中的方程为y＝kx＋m，其中，所以m2＝(1＋k2)，联立直线方程y＝kx＋m与椭圆C的方程得x2＋2kmx ＋m2－1＝0， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以Δ＝4k2＋1－m2＝>0，即k2>， 由弦长公式得|AB|＝＝·， 令4k2＋1＝t， 所以|AB|＝ ＝≤×. 当且仅当，即k2＝时取等号，经检验当k＝－时，符合题意， 综上，|AB|max＝. 解析 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l与一条南北走向的公路m，有一商城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴在公路l上且长为2，短半轴在公路m上且长为1(单位：千米).根据市民建议，欲新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与椭圆形商城A相切，当公路PQ最短时，OQ为　　 千米. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以点O为坐标原点，公路l，m所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，由题意设PQ所在直线的方程为y＝kx＋b， 易得b>1，－>2， 联立 可得x2＋2kbx＋b2－1＝0， 则Δ＝(2kb)2－4(b2－1)＝0， 即k2＝(b2－1). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵P，Q(0，b)， ∴|PQ|2＝＋b2＝＋b2＝＋b2＝4＋＋b2＝5＋＋(b2－1)≥5＋2＝9， 当且仅当b2－1＝，即b＝时取等号， 即|OQ|＝. 解析 16.已知点A(0，－2)，椭圆E：＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求椭圆E的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点F(c，0)， 因为直线AF的斜率为，A(0，－2)， 所以，c＝. 又因为，b2＝a2－c2， 解得a＝2，b＝1， 所以椭圆E的方程为＋y2＝1. 解 (2)设过点A的直线l与椭圆E交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由题意可知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx－2， 联立 消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0， Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>， x1＋x2＝，x1x2＝. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以|PQ|＝ ＝· ＝. 又点O到直线l的距离d＝， 所以S△OPQ＝d|PQ|＝. 设＝t>0，则4k2＝t2＋3. S△OPQ＝≤＝1， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当且仅当t＝2，即＝2， 即k＝±时取等号，满足k2>， 所以△OPQ的面积最大时，直线l的方程为 y＝x－2或y＝－x－2， 即x－2y－4＝0或x＋2y＋4＝0. 解 第二章　§4　直线与圆锥曲线的位置关系 <<< $