4.2 直线与圆锥曲线的综合问题-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 学习目标 1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系． 2．掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题． 一　弦长公式 设直线l与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则求弦长|AB|的常用方法有： 1．交点法 将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，求出两交点A，B的坐标，利用两点间的距离公式得弦长，即|AB|＝. 2．公式法 若直线l的斜率k存在，则 |AB|＝；① 若直线l的斜率存在且不为零，则 |AB|＝(k≠0).② 我们称①②为弦长公式．特别地，当直线l的斜率不存在时，|AB|＝|y1－y2|. 　(1)已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，则|AB|＝________． (2)已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－. ①试求动点P的轨迹C的方程； ②设直线l：y＝kx＋1与①中轨迹C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程． 【解】　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程可知，右焦点F(，0)，因为直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y＝x－，联立消去y整理得5x2－8x＋8＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.所以|AB|＝·＝.故填. (2)①设动点P的坐标是(x，y)，由题意得kPA·kPB＝－，所以·＝－，化简整理得＋y2＝1.故动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1(x≠±). ②设直线l与轨迹C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，Δ＝16k2>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝0.所以|MN|＝·＝，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍去).经检验k＝±1符合题意，所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. 求弦长的方法 (1)两点间的距离公式：求出弦的两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解． (2)焦点弦：抛物线的焦点弦可用公式|AB|＝x1＋x2＋p求解． (3)弦长公式：利用弦长公式，采取“设而不求”策略，结合根与系数的关系求解． [注意]　(1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积． (2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论． (3)椭圆、双曲线的通径为，抛物线的通径为2p. [跟踪训练1] (1)抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长为(　　) A． B．2 C． D．15 解析：选A．设直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x2－8x＋1＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝，所以|AB|＝＝. (2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，过左焦点F(－，0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长|AB|＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选D．因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，所以＝，即b＝a.因为左焦点F(－，0)，所以c＝，所以c2＝a2＋b2＝3a2＝3，所以a2＝1，b2＝2，所以双曲线C的方程为x2－＝1.易知直线l的方程为y＝2(x＋)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y整理得x2＋4x＋7＝0，则x1＋x2＝－4，x1x2＝7，所以＝×＝×＝10.故选D． 二　中点弦问题 　已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，求直线AB的方程． 【解】　方法一：易知直线AB的斜率k存在，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)，由 得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，Δ>0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝.又M为AB的中点，所以＝＝2，解得k＝－.故直线AB的方程为x＋2y－4＝0.经检验，所求直线满足题意． 方法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2).因为M(2，1)为AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16，两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.所以＝－＝－＝－，即kAB＝－.故直线AB的方程为x＋2y－4＝0.经检验，所求直线满足题意． 方法三：设直线AB与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于AB的中点为M(2，1)，则另一个交点为B(4－x，2－y).因为A，B两点都在椭圆上，所以 由①－②，化简得x＋2y－4＝0.显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过点A，B的直线只有一条，故直线AB的方程为x＋2y－4＝0. 解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决． (2)点差法：设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借助中点坐标公式即可求得斜率． [跟踪训练2] (1)已知直线l与双曲线－y2＝1的同一支相交于A，B两点，线段AB的中点在直线y＝2x上，则直线AB的斜率为(　　) A．4 B．2 C． D． 解析：选D．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)，由已知，A，B两点在双曲线上，所以两式作差可得·＝kAB·＝，因为点M(x0，y0)在直线y＝2x上，所以＝2，代入上式可得kAB＝，故直线AB的斜率为. (2)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a＞0，b＜0)的渐近线交于A，B两点，且过原点O和线段AB中点的直线的斜率为－，则＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选A．由双曲线ax2＋by2＝1知其渐近线方程上的点满足ax2＋by2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则①－②得a(x－x)＝－b(y－y)，即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2).由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0，所以·＝－.设线段AB的中点为M(x0，y0)，则kOM＝＝＝＝－，又kAB＝＝－1，所以×(－1)＝－，所以＝－. 三　最值问题 　在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值． 【解】　(1)由题意得解得 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设直线AB的方程为y＝－x＋m，联立得3x2－4mx＋2m2－6＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以Δ>0，x1＋x2＝，x1x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝，当m＝0时，满足Δ>0，所以|AB|max＝4. 【变式探究】 (设问变式)若本例条件不变，则△AOB面积的最大值为________． 解析：由本例知|AB|＝，原点到直线AB的距离d＝.所以S△AOB＝··＝≤·＝.当且仅当m＝±时，等号成立，满足Δ>0，所以△AOB面积的最大值为. 答案： 求与圆锥曲线有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围． [跟踪训练3] 已知抛物线y2＝4x，其焦点为F. (1)若点M(1，1)，求以M为中点的抛物线的弦所在的直线方程； (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值． 解：(1)因为点M(1，1)在抛物线y2＝4x含焦点F的区域内，所以中点弦所在的直线存在．设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2，y1＋y2＝2，所以kPQ＝＝＝2(x1≠x2)，所以所求直线方程为2x－y－1＝0. (2)依题意知，直线m，n的斜率存在且不为0，设直线m的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ>0，设方程两根为x3，x4，则x3＋x4＝＋2.由抛物线的定义可知，|AB|＝2＋x3＋x4＝＋4，同理|CD|＝4k2＋4，所以四边形ACBD的面积S＝(4k2＋4)·(＋4)＝8(2＋k2＋)≥8(2＋2)＝32，当且仅当k＝±1时，等号成立，故四边形ACBD面积的最小值为32. 1．已知AB是过抛物线C：y2＝4x焦点的弦，且|AB|＝10，则线段AB中点的横坐标为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选A．因为抛物线C：y2＝4x，所以p＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为弦AB过抛物线的焦点，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝10，则x1＋x2＝8，所以线段AB中点的横坐标为＝4. 2．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________． 解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3. 答案：4，3 3．已知点P(8，1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线方程的一般式为_______________________________________________． 解析：设所求弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x－4y＝4，x－4y＝4，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0，因为线段AB的中点为P(8，1)，所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，所以＝＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，代入x2－4y2＝4满足Δ>0，即直线方程的一般式为2x－y－15＝0. 答案：2x－y－15＝0 4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，求弦AB的长． 解：易得直线AB的方程为y＝(x＋)，代入椭圆方程化简可得7x2＋12x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，所以|AB|＝·＝2 ＝. 1．已学习：弦长问题、中点弦问题、与弦长有关的最值问题． 2．须贯通：直线与圆锥曲线相交的弦长问题． 3．应注意：容易忽略直线斜率不存在的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $