第二章 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦直线与圆锥曲线的综合问题，系统梳理弦长公式（含斜率分类讨论、判别式验证）、弦长最值（函数法与数形结合）、中点弦问题（点差法应用）等核心知识点，通过知识梳理搭框架、例题解析示方法、跟踪训练强技能，构建“原理-应用-拓展”的学习支架，助力学生逐步掌握综合解题思路。 资料以数学思维培养为核心，分层设计例题与训练，引导学生经历“观察-推理-建模”过程。如中点弦问题用点差法推导斜率与中点关系，培养逻辑推理能力；弦长最值结合函数求最值，渗透数学建模思想。强调判别式、分类讨论等细节，培养严谨思维。课中辅助教师系统授课，课后学生可借例题反思与练习巩固，有效弥补知识盲点。

4．2　直线与圆锥曲线的综合问题 [学习目标]　1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系.2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题.3.中点弦问题． 一、弦长公式及应用 问题1　已知直线l：y＝kx＋m上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的长度如何表示？ 提示　|AB|＝ ＝|x1－x2| ＝ . 知识梳理 当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有以下两种： (1)|AB|＝|x1－x2| ＝. (2)|AB|＝|y1－y2| ＝(k≠0)． 注意点： (1)一定先有判别式大于零，才有两根之和、两根之积． (2)对于斜率不确定的问题，要分类讨论． (3)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB，弦长|AB|＝x1＋x2＋p. (4)椭圆、双曲线的通径长为. 例1　(1)若直线y＝x－1与双曲线x2－＝1相交于A，B两点，求|AB|. 解　联立直线与双曲线方程得方程组 消去y，得x2＋2x－3＝0.① 方法一　由方程①解得x1＝1，x2＝－3，代入y＝x－1得y1＝0，y2＝－4， 不妨设A，B两点的坐标分别为(1,0)，(－3，－4)， 则|AB|＝＝4. 方法二　Δ＝22－4×(－3)＝16>0， 设方程①的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝－2，x1x2＝－3， 则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16， 则|AB|＝|x1－x2|＝×4＝4. (2)已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－. ①试求动点P的轨迹C的方程； ②设直线l：y＝kx＋1与①中曲线C交于M，N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程． 解　①设动点P的坐标是(x，y)， 由题意得kPA·kPB＝－， ∴·＝－， 化简整理得＋y2＝1. 故点P的轨迹C的方程是＋y2＝1(x≠±)． ②设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由 得(1＋2k2)x2＋4kx＝0. Δ＝16k2>0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝0. ∴|MN|＝·＝， 整理得k4＋k2－2＝0， 解得k2＝1或k2＝－2(舍去)． 经检验k＝±1符合题意， ∴直线l的方程为y＝±x＋1， 即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. 反思感悟　(1)求弦长的两种方法 ①求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解． ②结合根与系数的关系，利用弦长公式 |AB|＝或 |AB|＝(k≠0)求解． (2)已知弦长求参数值，关键是利用弦长公式，得到关于参数的方程，注意求得结果要验证是否满足判别式大于0，否则需舍去． 跟踪训练1　(1)过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为________． 答案　2 解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB的斜率为－2且过点(1,0)，得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，Δ＝12>0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，|AB|＝·＝×＝2. (2)椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q两点，且|PQ|＝，则椭圆方程为________________． 答案　＋＝1 解析　∵e＝，∴b2＝a2. ∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2， 与x＋2y＋8＝0联立消去y，得2x2＋16x＋64－a2＝0， 由Δ>0得a2>32. ∴x1＋x2＝－8，x1x2＝， 由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]， ∴a2＝36，b2＝9. ∴椭圆方程为＋＝1. 二、弦长的最值问题 例2　在平面直角坐标系中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2,1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值． 解　(1)由题意得∴ ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)设直线AB的方程为y＝－x＋m， 联立得3x2－4mx＋2m2－6＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴ ∴|AB|＝|x1－x2|＝， 当m＝0时，满足Δ>0，|AB|max＝4. 延伸探究　本例条件不变，求△AOB面积的最大值． 解　由本例知|AB|＝， 原点到直线的距离d＝. ∴S△AOB＝·· ＝≤·＝. 当且仅当m＝±时，等号成立，满足Δ>0， ∴△AOB面积的最大值为. 反思感悟　求与圆锥曲线有关的最值、范围问题的方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围． 跟踪训练2　已知抛物线y2＝4x，其焦点为F. (1)若点M(1,1)，求以M为中点的抛物线的弦所在的直线方程； (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值． 解　(1)∵点M在抛物线y2＝4x含焦点F的区域内，∴中点弦所在的直线存在． 设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则y＝4x1，y＝4x2， kPQ＝＝＝2(x1≠x2)， ∴所求直线方程为2x－y－1＝0. (2)依题意知，直线m，n的斜率存在，设直线m的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与抛物线方程联立， 得 消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ>0， 设其两根为x3，x4，则x3＋x4＝＋2. 由抛物线的定义可知，|AB|＝2＋x3＋x4＝＋4， 同理|CD|＝4k2＋4， ∴四边形ACBD的面积 S＝(4k2＋4)·＝8≥32. 当且仅当k＝±1时取得最小值． 三、中点弦问题 问题2　已知椭圆的方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦AB的中点为M(x0，y0)，你能求出kOM·kAB的值吗？ 提示　将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得将两式作差并整理得＋＝0， 由弦AB的中点为M(x0，y0)． 若x1≠x2，则＝－，即·＝－，从而kAB·＝－， 即kAB·kOM＝－. 知识梳理 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率． 例3　已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，则直线AB的方程为____________． 答案　x＋2y－4＝0 解析　方法一　易知直线AB的斜率k存在， 设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)， 由 得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，Δ>0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两根， 于是x1＋x2＝. 又M为AB的中点， ∴＝＝2，解得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 经检验，所求直线满足题意． 方法二　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵M(2,1)为AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上， 则x＋4y＝16，x＋4y＝16， 两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0， 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝－＝－＝－， 即kAB＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 经检验，所求直线满足题意． 方法三　设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)， 由于AB的中点为M(2,1)， 则另一个交点为B(4－x,2－y)． ∵A，B两点都在椭圆上， ∴ ①－②，化简得x＋2y－4＝0. 显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过点A，B的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 反思感悟　涉及弦的中点，还可以使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆、双曲线或抛物线方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系． 跟踪训练3　直线l与双曲线－y2＝1的同一支相交于A，B两点，线段AB的中点在直线y＝2x上，则直线AB的斜率为(　　) A．4 B．2 C. D. 答案　D 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)， 由已知，A，B两点在双曲线上， 所以 两式作差可得·＝kAB·＝， 点M(x0，y0)在直线y＝2x上，所以＝2，代入上式可得kAB＝，故直线AB的斜率为. 1．知识清单： (1)弦长问题． (2)与弦长有关的最值问题． (3)中点弦问题． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况． 1．AB是过抛物线C：y2＝4x焦点的弦，且|AB|＝10，则线段AB的中点横坐标为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　A 解析　因为抛物线C：y2＝4x，所以p＝2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为直线AB过抛物线的焦点， 所以|AB|＝x1＋x2＋2＝10， 则x1＋x2＝8， 所以AB中点的横坐标为＝4. 2．直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　联立 消去y并整理得2x2－11x＋8＝0， Δ＝121－4×2×8＝57>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝4， ∴|AB|＝·＝×＝. 3．直线x＋4y＋m＝0与椭圆＋y2＝1交于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为1，则m的值是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　A 解析　∵x＋4y＋m＝0， ∴y＝－x－， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 两式相减，得＝－＝－. ∵AB中点的横坐标为1， ∴纵坐标为， 将点代入直线y＝－x－， 解得m＝－2. 4．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________． 答案　4,3 解析　过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝， 即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3. [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分 1．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，PQ为过F1且垂直于x轴的弦，则Q， △PF2Q的周长为36. 所以4a＝36，a＝9. 由已知得＝5，即＝5. 解得c＝6，所以＝，即e＝. 2．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由 消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0， ∴弦的中点的横坐标是x＝×＝， 代入直线方程y＝x－1中，得y＝－， ∴弦的中点坐标是. 3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　易求直线AB的方程为y＝(x＋)． 由 消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝×＝. 4．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为(　　) A．6 B．15 C．20 D．12 答案　D 解析　由已知得a＝5，b＝3，c＝＝4， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则S△ABF＝|OF||y1－y2|≤|OF|·2b ＝×4×6＝12. 5．已知点(2,2)是双曲线－＝1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为(　　) A．x＋4y－10＝0 B．2x－y－2＝0 C．4x＋y－10＝0 D．4x－y－6＝0 答案　D 解析　设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则－＝1，－＝1， 两式相减得－＝0， 所以k＝＝＝＝4. 所以此弦所在的直线方程为y－2＝4(x－2)， 即4x－y－6＝0. 6．已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为(　　) A．18 B．36 C．45 D．60 答案　B 解析　不妨设抛物线的解析式为y2＝2px(p>0)， 则焦点为F，对称轴为x轴，准线为x＝－.如图，过点P作PD⊥AB于点D. ∵直线l经过抛物线的焦点，A，B是l与C的交点，又AB⊥x轴， ∴|AB|＝2p＝12， ∴p＝6. 又∵点P在准线上， ∴|DP|＝＋＝p＝6， ∴S△ABP＝|DP|·|AB|＝×6×12＝36. 7．(5分)已知双曲线x2－y2＝m(m≠0)与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则m＝________. 答案　9 解析　联立方程组 得y2＝， 由此得m>0，y＝±，故x＝±2， |AB|＝2|OA|＝2＝2， 解得m＝9. 8．(5分)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，则直线AB的方程为________________；若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________． 答案　x＋2y－3＝0　 解析　由题意可知，直线方程的点斜式为y－1＝－(x－1)，整理得x＋2y－3＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 因为M是线段AB的中点， 所以＝1，＝1. 又＝－， ①②两式相减可得 ＋＝0， 即＋＝0. 整理得a＝b，c＝＝b， 所以e＝＝＝，即椭圆C的离心率为. 9．(10分)已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 解　把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1，得4x2＋(x＋m)2＝1， 即5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*) 则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20>0， 解得－<m<. 设直线与椭圆的两个交点的横坐标分别为x1，x2. 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 根据弦长公式，得 ·＝， 解得m＝0. 因此，所求直线的方程为y＝x. 10．(12分)已知双曲线的方程是－y2＝1. (1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程；(6分) (2)过点P(3,1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰好被P点平分，求直线l′的方程．(6分) 解　(1)设直线l的方程为y＝x＋m， 代入双曲线方程， 得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0， Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0， ∴m2>3. 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则x1＋x2＝－m，x1x2＝. 由弦长公式得|AB|＝|x1－x2| ＝＝， ∴＝， 即m＝±5，满足m2>3， ∴直线l的方程为y＝x±5. (2)设直线l′与双曲线交于A′(x3，y3)，B′(x4，y4)两点， 点P(3,1)为A′B′的中点， 则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2. 由x－4y＝4，x－4y＝4， 两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0， ∴＝， ∴l′的方程为y－1＝(x－3)， 即3x－4y－5＝0. 把此方程代入双曲线方程， 整理得5y2－10y＋＝0， 满足Δ>0， 即所求直线l′的方程为3x－4y－5＝0. 11．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋m， 由 消去y得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0， Δ＝(8m)2－4×5×4(m2－1)＝80－16m2>0， 即0≤m2<5. 则x1＋x2＝－，x1x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2| ＝· ＝· ＝·， ∴当m＝0时，|AB|取得最大值. 12．直线l经过点(4,2)，且与抛物线C：y2＝4x交于P，Q两点，若P与Q的纵坐标之和为4，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋2＝0 B．x－2y－6＝0 C．x－y－2＝0 D．x－2y＝0 答案　C 解析　由题意得直线l经过点(4,2)，且斜率存在，设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y－2＝k(x－4)， 即x＝＋4， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ∵P与Q的纵坐标之和为4， 即y1＋y2＝4，可知k>0， 联立方程组 得ky2－4y＋8－16k＝0， 则y1＋y2＝＝4，得k＝1. 故所求直线方程为x－y－2＝0. 13．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则的值是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　方法一　由 消去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)， 则x1＋x2＝，∴x0＝， 代入y＝1－x得y0＝. 由题意知＝，∴＝. 方法二　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为(x0，y0)，将M，N代入mx2＋ny2＝1，得 作差得＝－×，① 又＝－1，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， 则①式即×＝1，∴＝＝. 14．(5分)已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________． 答案　32 解析　设直线AB的方程为x＝my＋4， 代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16， 所以y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32， 当m＝0时，y＋y取最小值，最小值为32. 15.(5分)如图，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l与一条南北走向的公路m，有一商城A的部分边界是椭圆的四分之一，这两条公路为椭圆的对称轴，椭圆的长半轴在公路l上且长为2，短半轴在公路m上且长为1(单位：千米)．根据市民建议，欲新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与椭圆形商城A相切，当公路PQ最短时，OQ为________千米． 答案　 解析　以点O为坐标原点，公路l，m所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，由题意设PQ所在直线的方程为y＝kx＋b， 易得b>1，－>2， 联立 可得x2＋2kbx＋b2－1＝0， 则Δ＝(2kb)2－4(b2－1)＝0， 即k2＝(b2－1)． ∵P，Q(0，b)， ∴|PQ|2＝＋b2＝＋b2＝＋b2＝4＋＋b2＝5＋＋(b2－1)≥5＋2＝9， 当且仅当b2－1＝，即b＝时取等号， 即|OQ|＝. 16．(13分)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点． (1)求椭圆E的方程；(5分) (2)设过点A的直线l与椭圆E交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．(8分) 解　(1)设点F(c,0)， 因为直线AF的斜率为，A(0，－2)， 所以＝，c＝. 又因为＝，b2＝a2－c2， 解得a＝2，b＝1， 所以椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由题意可知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx－2， 联立 消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0， Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>， x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|PQ|＝ ＝· ＝. 又点O到直线l的距离d＝， 所以S△OPQ＝d|PQ|＝. 设＝t>0，则4k2＝t2＋3. S△OPQ＝＝≤＝1， 当且仅当t＝2，即＝2， 即k＝±时取等号，满足k2>， 所以△OPQ的面积最大时，直线l的方程为 y＝x－2或y＝－x－2， 即x－2y－4＝0或x＋2y＋4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $