4.1 直线与圆锥曲线的交点-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用课件(北师大版)

该高中数学课件聚焦直线与圆锥曲线的交点问题，系统讲解椭圆、双曲线、抛物线与直线交点的代数判断方法。通过新知探究衔接方程联立与判别式应用，搭建从基础到综合的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合例题变式培养数学思维，通过表格对比不同曲线交点特征发展数学语言表达。如椭圆例1的参数范围求解、双曲线与渐近线关系的讨论，强化逻辑推理与分类讨论能力。学生能掌握解题范式，教师可直接用于课堂教学提升效率。

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.1　直线与圆锥曲线的交点 1 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 学习目标 1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数．　2.会由直线与圆锥曲线的交点个数求参数的取值范围． 返回导航 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 位置关系 解的个数 Δ的值 相交 ______解 Δ______0 相切 ______解 Δ______0 相离 ______解 Δ______0 点拨　椭圆是封闭曲线，当直线过椭圆内一点时，直线和椭圆一定相交． 两 > 一 ＝ 无 < 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 新知学习 探究 返回导航 (1)将直线的方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到一个关于x(或y)的一元二次方程． (2)利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ>0，Δ<0，Δ＝0判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 方法二：直线过点(0，1)，而点(0，1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交，有2个公共点． 新知学习 探究 返回导航 [1，5) 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 二　直线与双曲线的交点问题 　　把直线与双曲线的方程联立得到的方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程根的判别式． (1)当Δ>0时，直线与双曲线有________不同的公共点； (2)当Δ＝0时，直线与双曲线只有________公共点； (3)当Δ<0时，直线与双曲线________公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有________公共点． 两个 一个 没有 一个 新知学习 探究 返回导航 提醒　在直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 新知学习 探究 返回导航 　　　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，若直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围． 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (条件变式)若本例中直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式Δ，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． [注意]　对直线的斜率是否存在进行讨论． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 三　直线与抛物线的交点问题 　　设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当________时，直线与抛物线相交，有两个交点；当________时，直线与抛物线相切，有一个交点；当________时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有________交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一个 新知学习 探究 返回导航 提醒　(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 新知学习 探究 返回导航 　　　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 新知学习 探究 返回导航 ①当Δ＞0，即k＜1且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．综上所述，当k＝1或k＝0时，l与C有一个公共点；当k＜1且k≠0时，l与C有两个公共点；当k＞1时，l与C没有公共点． 新知学习 探究 返回导航 　　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点． 新知学习 探究 返回导航 √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)过点(0，1)且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为________________． y＝x＋1或x＝0 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 28 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ 课堂巩固 自测 返回导航 2 课堂巩固 自测 返回导航 4．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________． 解析：当k＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，则Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，解得k＝1.综上，k＝0或k＝1. 0或1 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：直线与椭圆、双曲线以及抛物线的交点问题． 2．须贯通：直线与圆锥曲线的交点问题． 3．应注意：易忽略直线中斜率不存在的情况及直线与双曲线、抛物线只有一个交点的情况中非Δ＝0的情况． 课堂巩固 自测 返回导航 (，－) $