4.1 直线与圆锥曲线的交点-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4．1　直线与圆锥曲线的交点 学习目标 1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数．　2.会由直线与圆锥曲线的交点个数求参数的取值范围． 一　直线与椭圆的交点问题 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的值 相交 ______解 Δ______0 相切 ______解 Δ______0 相离 ______解 Δ______0 点拨　椭圆是封闭曲线，当直线过椭圆内一点时，直线和椭圆一定相交． [答案自填] 两　>　一　＝　无　< 　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 【解】　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，①则由方程①得Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程①有两个不相等的实数根．这时直线l与椭圆C有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相等的实数根．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程①没有实数根．这时直线l与椭圆C没有公共点． (1)将直线的方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到一个关于x(或y)的一元二次方程． (2)利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ>0，Δ<0，Δ＝0判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况． [跟踪训练1] (1)直线y＝x＋1与椭圆＋＝1的公共点有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 解析：选C．方法一：联立直线与椭圆的方程，得消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交，有2个公共点． 方法二：直线过点(0，1)，而点(0，1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交，有2个公共点． (2)若直线y＝kx＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围为________． 解析：方法一(代数法)：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知0＜m＜5.由消去y得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.又直线与椭圆总有公共点，所以Δ≥0对于一切实数k恒成立，即(10k)2－4(m＋5k2)×5(1－m)≥0，即5k2≥1－m对一切实数k恒成立，所以1－m≤0，即m≥1.故实数m的取值范围为[1，5). 方法二(几何法)：已知直线y＝kx＋1过定点(0，1).因为椭圆＋＝1的焦点在x轴上，所以0＜m＜5，则短半轴长为.由图(图略)可知只要定点(0，1)在椭圆内或椭圆上，直线与椭圆就恒有公共点，所以≥1，即m≥1.故实数m的取值范围为[1，5). 答案：[1，5) 二　直线与双曲线的交点问题 把直线与双曲线的方程联立得到的方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程根的判别式． (1)当Δ>0时，直线与双曲线有________不同的公共点； (2)当Δ＝0时，直线与双曲线只有________公共点； (3)当Δ<0时，直线与双曲线________公共点． 当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有________公共点． 提醒　在直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． [答案自填] 两个　一个　没有　一个 　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，若直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围． 【解】　联立消去y得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).若直线l与双曲线有两个不同的公共点，即方程(*)有两个不同的实数解，则得－<k<且k≠±1. 【变式探究】 (条件变式)若本例中直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围． 解：联立消去y得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).由得k＝±，此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点；当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为x＝，故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，且只有一个公共点．故当k＝±或k＝±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点． (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式Δ，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． [注意]　对直线的斜率是否存在进行讨论． [跟踪训练2] 已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率可能出现的情况． 解：当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意；当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0时，k＝±2，直线l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；当4－k2≠0时，令Δ＝0，得k＝.综上，当k＝或k＝±2或k不存在时，直线l与双曲线只有一个公共点． 三　直线与抛物线的交点问题 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当________时，直线与抛物线相交，有两个交点；当________时，直线与抛物线相切，有一个交点；当________时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有________交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 提醒　(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． [答案自填] Δ>0　Δ＝0　Δ<0　一个 　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点． 【解】　联立消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*) 当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，所以直线l与C只有一个公共点(，1)，此时直线l平行于x轴． 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k). ①当Δ＞0，即k＜1且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．综上所述，当k＝1或k＝0时，l与C有一个公共点；当k＜1且k≠0时，l与C有两个公共点；当k＞1时，l与C没有公共点． 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点． [跟踪训练3] (1)(多选)过定点P(0，1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程为(　　) A．x＝0 B．y＝1 C．y＝x＋1 D．y＝x＋1 解析：选ABD．如图所示， 若直线的斜率不存在，则过点P(0，1)的直线方程为x＝0，由解得即直线x＝0与抛物线只有一个公共点．若直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx＋1，由消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.当k＝0时，解得y＝1，即直线y＝1与抛物线只有一个公共点；当k≠0时，Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，解得k＝，即直线y＝x＋1与抛物线只有一个公共点．综上，所求的直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1. (2)过点(0，1)且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为________________． 解析：过点(0，1)且斜率不存在的直线方程为x＝0，与抛物线y2＝4x相切．当过点(0，1)的直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1.由消去x，得ky2－4y＋4＝0.当k＝0时，直线方程为y＝1，直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线相交，不合题意；当k≠0时，由直线与抛物线相切，得Δ＝0，即16－16k＝0，解得k＝1，所以直线方程为y＝x＋1.故所求直线方程为y＝x＋1或x＝0. 答案：y＝x＋1或x＝0 1．已知椭圆＋＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，则直线l与椭圆的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．相交且过右端点 解析：选C．由题意知，x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0，1)，因为＋<1，所以点(0，1)在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交，但不一定过右端点. 故选C． 2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A．(1，) B．(1， ] C．(，＋∞) D．[，＋∞) 解析：选C．因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则由题意得>2，所以e＝＝> ＝. 3．直线y＝－x＋4与双曲线－＝1上支的交点个数为____________． 解析：由可得7x2＋72x＝0，解得x＝－或x＝0.当x＝－时，y＝；当x＝0时，y＝4，所以直线y＝－x＋4与双曲线上支的交点个数为2. 答案：2 4．已知直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________． 解析：当k＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，则Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，解得k＝1.综上，k＝0或k＝1. 答案：0或1 5．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的中点P的坐标为________． 解析：因为直线AB过椭圆＋＝1的右焦点F2(1，0)，且斜率为2，所以直线AB的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.由方程组 得交点A(0，－2)，B(，)(或A(，)，B(0，－2))，所以线段AB的中点P的坐标为(，－). 答案：(，－) 1．已学习：直线与椭圆、双曲线以及抛物线的交点问题． 2．须贯通：直线与圆锥曲线的交点问题． 3．应注意：易忽略直线中斜率不存在的情况及直线与双曲线、抛物线只有一个交点的情况中非Δ＝0的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $