2.2双曲线的简单几何性质（一）（8大题型）（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

2.2双曲线的简单几何性质（一） 题型一：长轴、短轴，焦距 1．已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线中的关系式，结合，即可求解. 【详解】由题意得：，，， 联立可解得：，即实轴长为 故选：C. 2．若椭圆C：的焦点和顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的方程先求出双曲线的焦点和顶点坐标，再结合即可求解. 【详解】由椭圆可得，，，且焦点在y轴上， 可知椭圆的长轴顶点为，焦点为， 所以双曲线的焦点为，顶点为， 设双曲线方程为，可得，，则， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 3．已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实轴和虚轴的长度列方程即可求解得解. 【详解】由题意可知：实轴长为，虚轴长为， 故，解得， 故双曲线方程为， 故选：C 4．焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出，进而求出双曲线方程. 【详解】令双曲线的实轴长为，焦距为，而虚轴长， 依题意，，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 5．已知F为双曲线（，）的右焦点，A为C的左顶点，点B在C上，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为1，则C的实轴长与虚轴长的比值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用椭圆方程求得点的坐标，结合AB的斜率得到，从而得到关于的齐次方程，进而得到，，由此得解. 【详解】依题意可知，在第一象限，， 将点代入椭圆方程，得，则， 则，又因为AB的斜率为1，所以， 又，所以，即， 解得或（舍去），则， 所以的实轴长为与虚轴长的比值为. 故选：A. 题型二：渐近线 1．双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程易求得，进而可求双曲线的渐近线方程. 【详解】由，则，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：C. 2．已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线定义可得，从而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线定义可知，所以，即， 所以双曲线C：，则渐近线方程为. 故选：B． 3．已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（ ） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据焦点坐标和渐近线方程列出方程组，求出即可得解. 【详解】由题意设双曲线的方程为，则， 解得，故所求实轴长为. 故选：B. 4．已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的焦距为，由条件可求，求双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求，由关系求由此可得结论. 【详解】设双曲线的焦距为，则， 故，所以双曲线的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故选：A. 5．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 题型三：离心率（基础） 1．已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得，化简即可得解. 【详解】由题意可知，，又，所以， 即，所以． 故选：B. 2．已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，且轴.若，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，推得点在双曲线左支上，利用题设条件和双曲线定义可求出，借助于勾股定理建立方程，化简得，即可求得离心率. 【详解】因轴，点为上一点，则点在双曲线左支上，则， 因，联立解得， 在中，由勾股定理，，化简得， 则. 故选：B. 3．设双曲线的右焦点为，以为圆心，半径为的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得焦点到渐近线的距离等于，再借助点到直线距离公式求解作答. 【详解】设双曲线的实半轴为， 由题意，，右焦点，渐近线方程：， 则焦点到渐近线的距离为，解得， 则，故. 故选：B. 4．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，用表示，结合双曲线定义列式求解. 【详解】设双曲线的焦距为， 由，则，又， 所以点在双曲线的右支上，且，， ，解得. 故选：D. 5．已知双曲线的左、右焦点分别为是上的一点，为线段的中点．若，则的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线定义、离心率公式即可求解. 【详解】记的焦距为，依题意，，， 因为为等腰三角形，所以，所以， 故，所以． 故选：C． 题型四：通径（交点） 1．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为，若直线与在第一象限的交点为，且轴，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用双曲线的性质得，从而得到，，结合条件，直接求出，即可求解. 【详解】因为的渐近线方程为，所以，即，故， 又，且轴，在中，令，得， 因为点在第一象限，故，所以， 故选：A. 2．已知双曲线C：（，）的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，，若为等边三角形，则的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得，即，即，整理得即可求解. 【详解】根据题意，不妨取在的上方， 则，，双曲线的渐近线方程为：. 由得： 又为等边三角形，所以， 则，即， 整理得，即， 解得或（舍）， 所以. 故选A. 3．已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过点F且与x轴垂直的直线与C在第一象限交于点E，直线与C的渐近线在第一象限交于点D，若E是的中点，则C的离心率为（ ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的相关概念、焦点坐标与通径以及中点坐标公式，可得所有点的坐标，再将点的坐标带入渐近线方程，根据离心率的计算，可得答案. 【详解】 由题意可得，．因为E是的中点，所以， 经过第一象限的渐近线方程为，所以，所以． 故选：D. 4．已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上的一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先假设点的坐标，按题意求出点、点，最后根据计算求解. 【详解】设点，，，则直线，直线， 故，，由于，故， 从而，故，从而双曲线的离心率为. 故选：A. 5．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为______________． 【答案】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 题型五：焦点三角形的面积 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点到轴的距离为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的方程与几何性质结合三角形面积公式计算. 【详解】由题意知点的横坐标为，代入得， 又， 所以的面积为. 故选：B 2．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可. 【详解】由已知，不妨设， 则，因为， 所以点在以为直径的圆上， 即是以P为直角顶点的直角三角形， 故， 即，又， 所以， 解得，所以 故选：B 3．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且．若的面积为4，则a=（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【详解】，，根据双曲线的定义可得， ，即， ，， ，即，解得， 故选：A. 4．双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为. 故选：A 题型一：离心率（提升） 1．已知，分别是双曲线的左、右焦点，经过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义可知，，结合可得.由可得，利用即可求得，即可求解双曲线的离心率. 【详解】 如图所示，由双曲线的定义可知，. 又，所以，. 因为，所以，所以，所以， 故双曲线的离心率. 故选：A. 2．如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解三角形可得，，根据双曲线的定义可得的关系，由双曲线离心率的定义求双曲线的离心率. 【详解】连接，因为是等边三角形，所以，由已知为直角三角形， 所以，，由双曲线定义可得， ∴，双曲线的离心率， 故选：D． 3．已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得点的坐标，由此建立方程组求出即可求出离心率. 【详解】由，得，由，，不妨令， 由A为双曲线C上的一点，得，又，解得， 所以双曲线C的离心率为. 故选：B 4．已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形为等边三角形确定点的坐标，然后可求出的中点的坐标，然后将其代入双曲线中解得离心率. 【详解】因为，所以正三角形的边长为. 所以点在轴上，且，所以. 所以的中点. 因为的中点在双曲线上，所以. 化简得，继续化简得， 解得. 所以解得. 故选：C. 5．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据图形，取左焦点，证明为平行四边形，推得，由相似比，结合题设条件得到，即可求得离心率. 【详解】 如图，因直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，则点与点关于原点对称， 设点为双曲线的左焦点，连接，因，则四边形为平行四边形， 故，易得， 则，化简得，故. 故选：B. 题型一：焦点到渐近线的距离（特征三角形） 1．设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式可得，设，则可借助面积公式与等面积法得到，再利用离心率公式计算即可得解. 【详解】不妨设垂足在第一象限，由题意可知与渐近线垂直， 如图所示，则， 由点到直线的距离公式可得，又，所以． 设，则，得，从而， 由，解得， 由，得，解得． 从而可得，所以离心率． 故选：D． 2．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由点到线的距离公式可得，由勾股定理可得，从而得，在中，由余弦定理可得，则有，即可得，最后根据离心率公式计算即可. 【详解】由题意得，，双曲线的渐近线方程为， 如图，不妨设点在直线上， 即点在直线上， 则， 在直角中，， 所以， 故， 在中，， 所以， 所以， 故双曲线的离心率. 故选：C. 3．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用双曲线的性质把的三边用，，表示出来，然后用的余弦定理建立起，，的方程，进而可得到答案. 【详解】记为坐标原点，由双曲线的性质可知：在中，，，，． 在中，， 因为，所以，所以， 化简得，即， ，，． 因为，所以． 故选：D 4．已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与：相切，另一条渐近线与交与A，B两点，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用双曲线的离心率求出渐近线，运用圆与渐近线一个相切一个相交，分类讨论即可求出的值. 【详解】由题意， 在中， ，即， ∵， ∴，解得， ∴双曲线的渐近线方程为， 在中，， 设E到直线与的距离分别为，，易得， 若与相切，则， ∴此时直线与相离，不符合题意； 若与相切，则， ∵， ∴， 故选：B. 题型一：双曲线综合应用（解三角形） 1．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（ ） A． B．的离心率为 C．的面积为 D． 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的定义、标准方程和几何性质，结合选项计算依次判断即可. 【详解】A：因为，解得，故A正确； B：双曲线，所以， 的离心率，故B错误； C：因为，所以， 则的面积为，故C正确； D：所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（ ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦距为 D．的面积为 【答案】BCD 【分析】由已知及双曲线的定义得且、，再依次判断各项的正误. 【详解】如图所示，若为直角三角形， 由双曲线的对称性知，且， 设，由双曲线的定义得. 在直角三角形中，由勾股定理得，解得， 所以， 则的面积为：，D正确； 由，得，C正确： 由知，，则，A错误： 双曲线的离心率，B正确， 故选：BCD 3．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点在双曲线上，则下列结论正确的是（ ） A．该双曲线的离心率为 B．若，则或 C．点到两渐近线的距离乘积为 D．若，则的面积为 【答案】AC 【分析】选项A根据双曲线的方程得到，进而可得；选项B由可判断在双曲线的左支上，则；选项C先得到两渐近线方程，进而根据距离公式，联立双曲线方程可得；选项D先由得，进而由可得. 【详解】选项A：由题意，双曲线，，， 故双曲线的离心率为，故A正确； 选项B：若，因，故点在双曲线的左支上， 故，故B错误； 选项C：由题意，双曲线的渐近线方程为，即或， 设，则到的距离为，到的距离为， 因在双曲线上，故，即， 由题意，故C正确； 选项D：若，则，代入可得， 故，故D错误. 故选：AC 4．（多选）已知为双曲线上一点，、为双曲线C的左、右焦点，G和I分别为的重心和内心．若轴，则（ ） A． B．的面积为 C． D．内切圆的半径 【答案】AD 【分析】不妨设点在第一象限，，根据已知条件，由内切圆的性质以及双曲线的定义，求出，，从而可得，的值，由面积公式可解得，再用等面积法化简即得内切圆的半径.从而判断各个选项. 【详解】不妨设点在第一象限，，，分别为与三边的切点． 由切线长定理以及双曲线的定义，得 ， ∴，∴． 设，由为的重心知，，故A正确. 把代入双曲线：可得． ∴， ∴． 所以，故B错误； 若点在第二象限，则，同理可求得，，故C错误. 设内切圆的半径为， 则． 又， ∴，∴．故D正确； 故选：AD. 21 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2双曲线的简单几何性质（一） 题型一：长轴、短轴，焦距 1．已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（ ） A．1 B．2 C． D． 2．若椭圆C：的焦点和顶点分别是双曲线E的顶点和焦点，则双曲线E的标准方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 4．焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知F为双曲线（，）的右焦点，A为C的左顶点，点B在C上，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为1，则C的实轴长与虚轴长的比值为（ ） A． B． C． D． 题型二：渐近线 1．双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（ ） A．3 B．6 C．4 D．8 4．已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ） A． B． C． D． 题型三：离心率（基础） 1．已知，设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，．若，则（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为为上一点，且轴.若，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 3．设双曲线的右焦点为，以为圆心，半径为的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 4．已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为是上的一点，为线段的中点．若，则的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 题型四：通径（交点） 1．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为，若直线与在第一象限的交点为，且轴，则（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线C：（，）的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，，若为等边三角形，则的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 3．已知双曲线的右焦点为F，右顶点为A，过点F且与x轴垂直的直线与C在第一象限交于点E，直线与C的渐近线在第一象限交于点D，若E是的中点，则C的离心率为（ ） A．2 B．3 C． D． 4．已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上的一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 5．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为______________． 题型五：焦点三角形的面积 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点到轴的距离为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 2．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A． B．3 C． D．2 3．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且．若的面积为4，则a=（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 题型一：离心率（提升） 1．已知，分别是双曲线的左、右焦点，经过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且，，，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D．1 4．已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 题型一：焦点到渐近线的距离（特征三角形） 1．设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 3．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 4．已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与：相切，另一条渐近线与交与A，B两点，则（ ） A． B． C．或 D．或 题型一：双曲线综合应用（解三角形） 1．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，且，，则（ ） A． B．的离心率为 C．的面积为 D． 2．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于两点，若为直角三角形，则（ ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的焦距为 D．的面积为 3．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，点在双曲线上，则下列结论正确的是（ ） A．该双曲线的离心率为 B．若，则或 C．点到两渐近线的距离乘积为 D．若，则的面积为 4．（多选）已知为双曲线上一点，、为双曲线C的左、右焦点，G和I分别为的重心和内心．若轴，则（ ） A． B．的面积为 C． D．内切圆的半径 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$