2.2 第2课时 双曲线方程及性质的应用-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

本讲义聚焦高中数学双曲线方程及性质的应用，系统梳理双曲线系方程的设法（如共渐近线、共焦点等）、离心率的求法（直接法、齐次式法）及渐近线的应用，构建从基础方程设用到综合性质应用的知识支架，帮助学生逐步掌握核心内容。 该资料通过典型例题（如与椭圆共焦点求双曲线方程）培养学生用数学思维分析问题，结合跟踪训练和易错点分析（如参数取值范围讨论）提升数学语言表达准确性，课中辅助教师引导探究，课后助力学生回顾巩固，有效查漏补缺。

第2课时　双曲线方程及性质的应用 学习目标 1.掌握求双曲线离心率的方法．　2.会解决与渐近线有关的问题．　3.进一步熟悉求双曲线标准方程的方法． 一　双曲线系 　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1，2)； (2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)； (3)过点(2，0)，与双曲线－＝1的离心率相等； (4)与椭圆＋＝1有公共焦点，离心率为. 【解】　(1)由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1，2)的坐标代入方程，解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).由点M(3，－2)在双曲线上得－＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为－＝1. (3)易知所求双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线方程为－＝λ(λ>0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1. (4)因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25).因为e＝，所以＝－1，解得λ＝21.故所求双曲线的标准方程为－＝1. (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程为－＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0). (2)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0). (3)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有公共焦点的双曲线系方程为－＝1(a＞0，b＞0，－a2＜λ＜b2). (4)与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<λ<a2). (5)等轴双曲线方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0). [跟踪训练1] (1)下列有关双曲线－＝1与－＝1的说法正确的是(　　) A．有公共顶点 B．有公共渐近线 C．有公共焦点 D．离心率相等 解析：选B．因为两个双曲线的渐近线均为y＝±x，故B正确；前者的顶点和焦点在x轴上，后者的顶点和焦点在y轴上，故A，C不正确；前者离心率为，后者离心率为，故D不正确． (2)与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．y2－＝1 解析：选A．设所求双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)，因为双曲线过点(2，2)，所以4－＝λ，即λ＝3，所以所求双曲线的标准方程是－＝1. 二　双曲线的离心率 　(1)(2024·河南南阳期末)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是(　　) A．(1，2) B．(1，) C．(，2) D．(2，＋∞) (2)(2024·广西桂林期中)如图，过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)(c>0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线的右支于点P，M为线段PF的中点，O为坐标原点，若|MO|－|MT|＝2a－c，则双曲线的离心率为______________________________________． 【解析】　(1)设直线方程为y＝(x＋c)，与y＝－x联立，可得两直线交点P的坐标为.又F1(－c，0)，F2(c，0)，所以＝，＝，由题意可得·＜0，即－＜0，化简可得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，可得c2＜4a2，即c＜2a，所以e＝＜2，又e＞1，所以1＜e＜2.故选A． (2)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F2(c，0)(c>0)，连接PF2，OM，OT.因为M，O分别是线段PF，FF2的中点，所以|FM|＝|MP|，|FO|＝|OF2|，则|MO|＝|PF2|，由直线FT与圆x2＋y2＝a2相切，可得|FT|＝＝＝b.在双曲线－＝1中，|PF|－|PF2|＝2a，则|MO|－|MT|＝|PF2|－(|PF|－|FT|)＝(|PF2|－|PF|)＋|FT|＝b－a，又|MO|－|MT|＝2a－c，则2a－c＝b－a，整理得3a－c＝b，两边平方整理得5a2－3ac＝0，则双曲线的离心率e＝＝. 【答案】　(1)A　(2) 求双曲线离心率及其范围的常用方法 (1)求双曲线离心率通常有两种方法： ①直接法：若可求得a，c或a，b，则直接利用e＝或e＝求解． ②齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解，此时要注意e＞1的条件． (2)求双曲线离心率的范围，关键是能根据题设中的显性条件或隐性条件构建关于a，b，c的齐次不等式． [跟踪训练2] (1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则C的离心率的取值范围是(　　) A．(，2) B．(，＋∞) C．(1，] D．(1，] 解析：选A． 设PF1与y轴交于Q点，连接QF2，则|QF1|＝|QF2|，所以∠QF1F2＝∠QF2F1.因为∠PF2F1＝3∠PF1F2，故P点在双曲线的右支上，且∠PF2Q＝∠PQF2＝2∠PF1F2，故|PQ|＝|PF2|，而|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，在Rt△QOF1中，|QF1|>|OF1|，即2a>c，故e＝<2，由∠PF2F1＝3∠PF1F2，且三角形内角和为180°，故∠PF1F2<＝45°，则cos ∠PF1F2＝>cos 45°，即>，即e＝>， 所以C的离心率的取值范围是(，2).故选A． (2)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过点F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则双曲线C的离心率为_____________________________________． 解析：如图所示， 设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，因为焦点F2到渐近线的距离为|PF2|＝＝b，所以|OP|＝a，所以|PF1|＝a，因为cos ∠POF1＝－cos ∠POF2，所以＝－，解得c2＝2a2，即e＝. 答案： 三　双曲线的渐近线 　(1)(2024·安徽淮北期中)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，若点(2，)与点(e，2)都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x (2)(2024·广西钦州期中)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足＝0，tan ∠ABF1＝，则该双曲线的渐近线方程为__________． 【解析】　(1)由点(2，)，(e，2)在双曲线－＝1上，得则－＝0，即＝＝e2－1，整理得e4－5e2＋6＝0，解得e2＝2或e2＝3，当e2＝2时，a2＝b2，此时方程－＝1无解，当e2＝3时，b2＝2a2，而－＝1，解得a＝1，b＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B． (2)由＝0可得⊥， 由于A，B关于原点O对称，F1，F2关于原点O对称，所以四边形AF1BF2为矩形，故|AB|＝|F1F2|＝2c，由于tan ∠ABF1＝＝，又|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|AF1|＝2a，所以|BF1|＝3a，|AF1|＝a，因此|AB|＝＝a，故2c＝a，进而可得10a2＝4c2＝4(a2＋b2)，可得＝，所以渐近线方程为y＝±x. 【答案】　(1)B　(2)y＝±x 求双曲线渐近线的方法 (1)求双曲线的渐近线方程的基本步骤 ①利用条件求出a与b的值或建立a与b的等量关系； ②确定双曲线焦点的位置； ③写出双曲线的渐近线方程；当双曲线的焦点在x轴上时，渐近线方程为y＝±x；当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线方程为y＝±x. (2)已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，可由－＝0得到双曲线的渐近线方程为y＝±x. [跟踪训练3] (1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选D．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，由题可知＝2，所以＝＝＝＝，所以＝＝，所以渐近线方程为y＝±x.故选D． (2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，过点F1的直线l与圆C：(x－c)2＋y2＝相切，与双曲线在第四象限交于一点M，且有MF2⊥x轴，则双曲线的渐近线方程为____________． 解析：如图所示， 不妨设直线l与圆C相切于点A，所以CA⊥F1M，所以tan ∠CF1A＝＝，因为|CA|＝，|CF1|＝，|AF1|＝＝c，|F1F2|＝2c，所以|MF2|＝c，M(c，－c)，将M(c，－c)的坐标代入－＝1，可得－＝1，所以－＝1，所以a＝b，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 答案：y＝±x 易错点 以为设双曲线方程为－＝λ什么情况都可以避免分类讨论 [典例展示]　某一双曲线的焦距为12，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线，则此双曲线的标准方程为______________． [错解展示]　设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，所以－＝1.由2λ＋λ＝36，解得λ＝12，所以双曲线的标准方程为－＝1. 正解：因双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)，所以－＝1.当λ>0时，由双曲线的焦距为12，可得2λ＋λ＝36，解得λ＝12，所以双曲线的标准方程为－＝1；当λ<0时，原方程化为－＝1，由双曲线的焦距为12，可得－λ＋(－2λ)＝36，解得λ＝－12，所以双曲线的标准方程为－＝1.综上所述，双曲线的标准方程为－＝1或－＝1. [易错警示]　(1)错解错在以为设双曲线方程为－＝λ什么情况都可以避免分类讨论，本题即使设成－＝λ，也要分类讨论．当λ>0时，双曲线的焦点在x轴上，当λ<0时，双曲线的焦点在y轴上. (2)如果已知双曲线与双曲线－y2＝1有相同的渐近线，且过某一个点P，设成－y2＝λ再代入点P的坐标可以避免分类讨论，因为此时满足条件的双曲线是唯一的．所以不要以为设双曲线方程为－＝λ什么情况都可以避免分类讨论，还是要看具体情况而言． 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x－y＝0，则双曲线C的离心率为(　　) A．2 B． C． D． 解析：选D．依题意，双曲线的一条渐近线方程为2x－y＝0，y＝2x，所以＝2，e＝＝＝＝＝.故选D． 2．(多选)已知双曲线C：－y2＝1，下列对双曲线C判断正确的是(　　) A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4 C．离心率为 D．渐近线方程为x±y＝0 解析：选BD．因为双曲线C：－y2＝1，所以a2＝3，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝4，所以c＝2，所以双曲线的实轴长是2a＝2，虚轴长是2b＝2，A错误；焦距为2c＝4，B正确；离心率为＝，C错误；渐近线方程为y＝±x，D正确．故选BD． 3．渐近线方程为y＝±x且经过点(4，1)的双曲线标准方程为____________________________________________________． 解析：设渐近线方程为y＝±x且经过点(4，1)的双曲线的方程为 －y2＝λ(λ≠0)，将点(4，1)的坐标代入双曲线的方程可得λ＝－12＝3，所以，所求双曲线的方程为－y2＝3，其标准方程为－＝1. 答案：－＝1 4．已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3).若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程． 解：由题意，设双曲线E的方程为－＝t(t≠0).因为点A(2，－3)在双曲线E上，所以－＝t，所以t＝－，所以双曲线E的标准方程为－＝1.又双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，所以双曲线M的标准方程为－＝1. 1．已学习：双曲线的离心率与渐近线方程的求法． 2．须贯通：灵活求解曲线的离心率与渐近线方程． 3．应注意：设双曲线方程未考虑到参数的取值范围致错． 学科网（北京）股份有限公司 $