1.2椭圆的简单性质（一）（7大题型）（题型专练）高二数学北师大版选择性必修第一册

1.2椭圆的简单性质（一） 题型一：长轴、短轴，焦距 1．与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，，进而求得可得答案. 【详解】解：因为椭圆的焦点坐标为， 所以，所求椭圆的焦点坐标为，即， 因为，所求椭圆的短半轴长为， 所以， 所以，， 所以，所求椭圆的方程为：. 故选：A 2．已知椭圆的短轴长和焦距相等，则a的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设及椭圆方程可得，即可求参数a的值. 【详解】由题设易知：椭圆参数，即有，可得． 故选：A 3．已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（ ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】C 【分析】根据焦点的位置和长短轴的关系可求的值. 【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，故， 且椭圆的标准方程为：，所以 所以，故， 故选：C. 4．已知椭圆：的2个焦点与椭圆：的2个焦点构成正方形的四个顶点，则（ ） A． B． C．7 D．5 【答案】A 【分析】根据题意求出椭圆的两个焦点，列式求出的值. 【详解】根据题意，椭圆的两个焦点为，， 椭圆的两个焦点与椭圆的两个焦点构成正方形的四个顶点， 所以椭圆的两个焦点为，， ，且，解得. 故选：A. 5．若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得，由焦点到椭圆上点的最短距离为，结合可得. 【详解】 由题意，当椭圆焦点在轴上，设椭圆方程为：， 由题意，， 所以，，，， 所以椭圆方程为：， 当椭圆焦点在轴上时，同理可得：， 故选：B 题型二：离心率（基础） 1．已知椭圆的焦距为4，则离心率（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论焦点的位置，根据的关系列方程求解即可求出离心率. 【详解】由题：焦距为4，所以 若焦点在轴上，则,此时离心率为， 若焦点在轴上，则（舍）， 故选：C. 2．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由离心率、短轴长以及的关系式，建立方程组，可得答案. 【详解】由题可知，所以. 故选：A. 3．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 4．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角中，由得到的等量关系，结合计算即可得到离心率. 【详解】由已知，得，则, 又在椭圆中通径的长度为，， 故, 即, 解得 故选：C 5．已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正三角形特点用表示，结合椭圆的定义，即可求得离心率. 【详解】是正三角形，， . 故选：. 题型三：通径 1．已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设，令椭圆为且，结合已知有、求椭圆参数，即可得方程. 【详解】由题设，令椭圆为且，其中， 令，则，可得， 由，即，故， 所以，可得（负值舍），则， 故椭圆方程为. 故选：B 2．椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据线段的中点M在y轴上，推出轴，由此可设，代入椭圆方程求出即，再由椭圆定义可得． 【详解】由可知，即， 所以，故不妨设， 因为线段的中点M在轴上，且原点为线段的中点， 所以，所以轴， 设，将代入椭圆方程，得，得， 所以，∴． 故选：D. 3．已知椭圆的左､右两焦点分别为､，离心率，P是椭圆上一点，轴，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离心率可得，再根据可得，即可整理椭圆方程为，代入可求的坐标，即可求得答案 【详解】由题意可得即， 由可得即， 所以椭圆方程为， 当时，解得，所以， 因为，所以， 故选：A 题型四：椭圆的扁平程度 1．椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：根据离心率越小越接近圆判断；法二：根据越接近越接近圆判断. 【详解】法一：A、B、C、D四个选项中离心率分别为，B选项最小. 法二：当椭圆的时可看成圆，最趋近于1的即满足要求，A、B、C、D四个选项中分别为，B选项最接近. 故选：B． 2．下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率越小，越接近于圆，写出各项椭圆的离心率并比较大小，即可得答案. 【详解】由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆， 对于，， 对于，， 对于，， 对于，， 显然的离心率最小. 故选：D 3．椭圆的离心率（）大小决定该椭圆的圆扁程度（离心率趋于0椭圆越圆，离心率越趋于1椭圆越扁），则四个椭圆的形状中，最接近于圆的椭圆是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解. 【详解】椭圆的离心率，椭圆的离心率， 椭圆的离心率，椭圆的离心率， 显然，所以最接近于圆的椭圆是，B正确. 故选：B 4．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长轴长与短轴长的定义，结合的等量关系以及离心率的计算公式，通过比较大小，可得答案. 【详解】设椭圆标准方程为，则， 可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为，故离心率， 则，，， 由，则. 故选：C. 5．如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①；②；③；④.其中正确的是（ ） A．②③ B．①④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】对于①，由建立联系；对于②，根据椭圆的性质及不等式的可加性可以判断；对于③，对式子先变形后就可以对③④作出判断. 【详解】由，，得，故①符合题意； 由图可知，，，故②不符合题意； ，， ，， ，故④不符合题意，③符合题意. 故选:C． 题型五：焦点三角形的面积 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，若，则的面积为（ ） A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义和勾股定理计算求得，再由三角形面积公式计算即可. 【详解】由椭圆的定义可知，，且，因为， 所以，又， 故，所以. 故选：A. 2．椭圆是其焦点，点P是椭圆C上一点，若是直角三角形，则点P到x轴的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分两种情况讨论，是为还是或为，注意的纵坐标的取值范围，将的坐标代入椭圆中，再由角为可得的纵坐标的绝对值，即是到轴的距离． 【详解】解：设，，由题意可得：，，，，所以，所以，，， 因为是直角三角形，当，或结果一样的，则，代入椭圆可得； 当时，而，， 所以，即，，即，解得，不成立， 综上所述， 故选：． 3．设、分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上且满足，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，求出的值，由此可求得的面积. 【详解】在椭圆中，，，则，所以，， 设点，则，可得， ，解得，， 因此，的面积为. 故选：D. 4．设、是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在上，且的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的面积可求得点的坐标，由此可求得的值. 【详解】在椭圆中，，，则，所以，， ，所以，所以， 则， 故选：A. 5．由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需根据题目条件求得，再结合椭圆面积公式即可求解. 【详解】由，可得，则. 因为的面积为，所以，则， 从而，即. 又的离心率为，所以，解得， 从而，则的面积为. 故选：D. 6．已知椭圆C：的焦点为，，第一象限点在C上，且，则的内切圆半径为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义可知，由椭圆方程可知,进而利用向量数量积的坐标运算和第一象限点在C上可求出点的纵坐标，最后利用内切圆的性质和三角形面积公式即可求出答案. 【详解】由已知条件得，，，则,, 设点的坐标为，则，， ，即①， ∵第一象限点在C上，∴则，即②，联立解得, 由椭圆的定义得， 设的内切圆半径为，则， 又∵, ∴，即. 故选：. 题型一：离心率（提升） 1．已知椭圆的右焦点为F，O为坐标原点，过F作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图形，根据题意，借助椭圆对称性和三角函数构造等式，求出，进而得到离心率. 【详解】由题意可得，解得（负值舍去）， 将代入椭圆方程得，且，得，所以， 因此，所以，，故C的离心率为． 故选：C． 2．已知椭圆，C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用面积得到的关系，再结合椭圆，消去，即可得的二次齐次方程，然后转化为离心率求解即可. 【详解】 由可得：， 再由，代入可得：， 整理得：， 解得：， 故选：B. 3．已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据椭圆的定义可得，从而得到点为椭圆的上顶点或下顶点，在中由余弦定理可得的值，最后在中由余弦定理可得结果. 【详解】设，则，， 由，可得， ，所以点为椭圆的上顶点或下顶点， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得，即，. 故选：B. 4．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用勾股定理求出，求出，然后在中应用余弦定理可求出该椭圆离心率的值. 【详解】如下图所示： 由题意可知，设，则， 因为，由勾股定理可得， 即，解得，故， 所以， 由余弦定理可得， 即，因为，故， 故选：A. 5．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率. 【详解】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c, 由斜率为得，， 由正弦定理得, 所以， 故选：D. 题型一：焦点三角形顶点的坐标 1．已知椭圆，，分别为该椭圆的左，右焦点，以为直径的圆与椭圆C在第一象限交于点P，则点P的纵坐标为（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，设出点的坐标，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则， 设，且，则，且， 解得，所以. 故选：B 2．已知是椭圆上的点，为椭圆的右焦点，则使为等腰三角形（为坐标原点）的点的个数为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】分别以的三条边为底边进行讨论. 【详解】，， 则， 若以为底边，则有两个， 若以为底边，则,设， 则，得或或或， 故有4个， 若以为底边，则,设， 则，得或， 故有2个， 综上共有8个， 故选：D. 3．设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得成立的点的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标，利用数量积的坐标表示，整理轨迹方程，联立椭圆方程，可得答案. 【详解】设，由椭圆，则，，即，故，， ，，，整理可得， 联立可得，解得，故点的坐标有，，，， 故选：D. 4．设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第二象限.若为等腰三角形，则点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求得；根据等腰三角形可确定；由椭圆定义知；利用面积桥可求得，代入椭圆方程可求得. 【详解】由椭圆方程得：，， 为等腰三角形且在第二象限 点纵坐标，又在椭圆上 ，解得：或（舍） 故选 5．已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限的一点，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由离心率得，根据椭圆定义及余弦定理求得，然后由两点间距离公式和点在椭圆上列方程组求解． 【详解】设，则， 由，得， 由余弦定理得，解得或（舍去）， 又，在椭圆上， 则，由解得， 故选：C. 6．已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ） A．的面积为 B．内切圆的面积为 C．点P的纵坐标为 D．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和余弦定理求出即可判断A，根据三角形面积求出内切圆半径即可判定B，根据三角形面积建立关系求解判断C，根据椭圆的有界性可判断D. 【详解】对于A：根据椭圆定义可得，则， 在中，由余弦定理， 由①②可得， 所以得面积为，故A错误； 对于B：设内切圆半径为，因为的面积为， 所以，即，解得， 所以内切圆的面积为，故B正确； 对于C：因为的面积为，则， 解得，故C错误； 对于D：设，则，， ， 则当时，的最大值为5，故D错误； 故选：B. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2椭圆的简单性质（一） 题型一：长轴、短轴，焦距 1．与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的短轴长和焦距相等，则a的值为（ ） A．1 B． C． D． 3．已知椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（ ） A．2 B．1 C． D．4 4．已知椭圆：的2个焦点与椭圆：的2个焦点构成正方形的四个顶点，则（ ） A． B． C．7 D．5 5．若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（ ） A． B．或 C． D．以上都不对 题型二：离心率（基础） 1．已知椭圆的焦距为4，则离心率（ ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（ ） A． B． C．1 D． 3．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 题型三：通径 1．已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ） A． B． C． D． 2．椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（ ） A． B． C．2 D．3 3．已知椭圆的左､右两焦点分别为､，离心率，P是椭圆上一点，轴，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型四：椭圆的扁平程度 1．椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（ ） A． B． C． D． 2．下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A． B． C． D． 3．椭圆的离心率（）大小决定该椭圆的圆扁程度（离心率趋于0椭圆越圆，离心率越趋于1椭圆越扁），则四个椭圆的形状中，最接近于圆的椭圆是（ ） A． B． C． D． 4．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（ ）. A． B． C． D． 5．如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①；②；③；④.其中正确的是（ ） A．②③ B．①④ C．①③ D．②④ 题型五：焦点三角形的面积 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为上一点，若，则的面积为（ ） A．3 B．5 C． D． 2．椭圆是其焦点，点P是椭圆C上一点，若是直角三角形，则点P到x轴的距离为（ ） A． B． C． D． 3．设、分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上且满足，则的面积为（ ） A． B． C． D． 4．设、是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在上，且的面积为，则（ ） A． B． C． D． 5．由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆的离心率为分别为的左､右焦点，上一点满足，且的面积为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知椭圆C：的焦点为，，第一象限点在C上，且，则的内切圆半径为（ ） A． B． C．1 D． 题型一：离心率（提升） 1．已知椭圆的右焦点为F，O为坐标原点，过F作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．已知椭圆，C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型一：焦点三角形顶点的坐标 1．已知椭圆，，分别为该椭圆的左，右焦点，以为直径的圆与椭圆C在第一象限交于点P，则点P的纵坐标为（ ） A． B． C． D．1 2．已知是椭圆上的点，为椭圆的右焦点，则使为等腰三角形（为坐标原点）的点的个数为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得成立的点的个数为（ ） A． B． C． D． 4．设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第二象限.若为等腰三角形，则点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 5．已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限的一点，且，则（ ） A． B． C． D． 6．已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ） A．的面积为 B．内切圆的面积为 C．点P的纵坐标为 D．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$